【数学】2020届一轮复习人教B版直接证明与间接证明数学归纳法作业 7页

直接证明与间接证明、数学归纳法 ‎(30分钟　60分)‎ 一、选择题(每小题5分，共25分)‎ ‎1.要证a2+b2-1-a2b2≤0,只需证明(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.2ab-1-a2b2≤0 B.a2+b2-1-≤0‎ C.-1-a2b2≤0 D.(a2-1)(b2-1)≥0‎ 答案D 解析在各选项中,只有(a2-1)(b2-1)≥0⇒a2+b2-1-a2b2≤0,故选D.‎ ‎2.分析法又称执果索因法,若用分析法证明“设a>b>c,且a+b+c=0,求证:a”索的因应是(　　)‎ A.a-b>0 B.a-c>0‎ C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0‎ 答案C 解析a⇔b2-ac<3a2⇔(a+c)2-ac<3a2⇔a2+2ac+c2-ac-3a2<0⇔-2a2+ac+c2<0⇔2a2-ac-c2>0⇔(a-c)(2a+c)>0⇔(a-c)(a-b)>0.故选C.‎ ‎3.设x>0,P=2x+2-x,Q=(sin x+cos x)2,则(　　)‎ A.P>Q B.P0,所以P>2.又(sinx+cosx)2=1+sin2x,而sin2x≤1,所以Q≤2.于是P>Q.故选A.‎ ‎4.利用反证法证明“若x2+y2=0,则x=y=0”时,应假设(　　)‎ A.x,y都不为0 B.x≠y,且x,y都不为0‎ C.x≠y,且x,y不都为0 D.x,y不都为0‎ 答案D 解析原命题的结论是x,y都为0,利用反证法时,应假设x,y不都为0.‎ ‎5.已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.‎ 其中正确命题的个数是 (　　)‎ A.1　　　　B‎.2　‎　　　C.3　　　　D.4‎ ‎【解析】选B.若l⊥α，m⊂β，α∥β，则l⊥β，所以l⊥m，①正确；若l⊥α，m⊂β，l⊥m，α与β可能相交，②不正确；若l⊥α，m⊂β，α⊥β，l与m可能平行或异面，③不正确；若l⊥α，m⊂β，l∥m，则m⊥α，所以α⊥β，④正确.‎ 二、填空题(每小题5分，共15分)‎ ‎6.等式“=”的证明过程：“等式两边同时乘以得，左边=·===1，右边=1，左边=右边，所以原不等式成立”，应用了_______的证明方法.(填“综合法”或“分析法”) ‎ ‎【解析】由综合法的特点可知，此题的证明用的是综合法.‎ 答案：综合法 ‎7.设n∈N*，则-_____ -(填“>”“<”或“=”).‎ ‎【解析】要比较-与-的大小，即判断(-)-(-)=(+)-(+)的符号，‎ 因为(+)2-(+)2‎ ‎=2[-]‎ ‎=2(-)<0，‎ 所以-<-.‎ 答案：<‎ ‎8.用反证法证明“若函数f(x)=x2+px+q，则|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于”时，假设内容是_______.  ‎ ‎【解析】“|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于”的反面是“|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于”.‎ 答案：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于 三、解答题(每小题10分，共20分)‎ ‎9.求证抛物线y2=2px(p>0)，以过焦点的弦为直径的圆必与x=-相切. ‎ ‎【证明】‎ 如图，作AA′、BB′垂直于准线，取AB的中点M，作MM′垂直于准线.‎ 要证明以AB为直径的圆与准线相切，只需证|MM′|=|AB|，‎ 由抛物线的定义：|AA′|=|AF|，|BB′|=|BF|，‎ 所以|AB|=|AA′|+|BB′|，‎ 所以只需证|MM′|=(|AA′|+|BB′|)‎ 由梯形的中位线定理知上式是成立的.‎ 所以，以过焦点的弦为直径的圆必与x=-相切. ‎ ‎10.求证：1- + - +… +-=++… +(n∈N*). ‎ ‎【证明】①当n=1时，左边=1-=，‎ 右边=，所以等式成立.‎ ‎②假设n=k(k∈N*)时， 1-+-+…+-=++…+成立.‎ 那么当n=k+1时，‎ ‎1-+-+…+-+-=++…++-‎ ‎=++…+++‎ ‎=++…++，‎ 所以n=k+1时，等式也成立.‎ 综上，对于任意n∈N*，等式都成立.‎ ‎(20分钟　40分)‎ ‎1.(5分)证明命题“f(x)=ex+在(0，+∞)上是增函数”，一个同学给出的证法如下：‎ 因为f(x)=ex+，‎ 所以f′(x)=ex-，又因为x>0，‎ 所以ex>1，0<<1，‎ 所以ex->0，即f′(x)>0，‎ 所以f(x)在(0，+∞)上是增函数.‎ 他使用的证明方法是 (　　)‎ A.综合法 B.分析法 C.反证法 D.以上都不是 ‎【解析】选A.该证明方法符合综合法的定义，应为综合法.‎ ‎2.(5分)若a，b，c∈R，且ab+bc+ac=1，则下列不等式成立的是 (　　)‎ A.a2+b2+c2≥2 B.(a+b+c)2≥3‎ C.++≥2 D.abc(a+b+c)≤‎ ‎【解析】选B.因为a2+b2≥2ab，a2+c2≥‎2ac，b2+c2≥2bc，将三式相加得2(a2+b2+c2)≥2ab+2bc+‎2ac，即a2+b2+c2≥1，又因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+‎2ac，‎ 所以(a+b+c)2≥1+2×1=3.‎ ‎3.(5分)在△ABC中，若sin Asin B0，所以cos C<0， 即△ABC一定是钝角三角形.‎ ‎4.(12分)已知数列，，，…，，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明. ‎ ‎【解析】S1==，S2= +=，‎ S3= + =，‎ S4= +=.‎ 可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n+1.‎ 于是猜想Sn=，‎ 下面我们用数学归纳法证明这个猜想.‎ ‎①当n=1时，左边=S1=，‎ 右边===，‎ 猜想成立.‎ ‎②假设当n=k(k∈N*)时猜想成立，即 ‎+++… + =，‎ 当n=k+1时，‎ ‎+++…++‎ ‎=+‎ ‎=‎ ‎==，‎ 所以，当n=k+1时猜想也成立.‎ 由①②知，猜想对任意n∈N*都成立.‎ ‎5.(13分)设a1，a2，a3，a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列. ‎ ‎(1)证明：，，，依次构成等比数列.‎ ‎(2)是否存在a1，d，使得a1，，，依次构成等比数列.并说明理由.‎ ‎【解析】(1)由已知，==2d是常数(n=1，2，3)，‎ 所以，，，依次构成等比数列.‎ ‎(2)令a1+d=a，则a1，a2，a3，a4分别为a-d，a，a+d，a+2d(a>d，a>-2d，d≠0).假设存在a1，d，使得a1，，，依次构成等比数列，则=a1，且=，即a4=(a-d)(a+d)3，且(a+d)6=a2(a+2d)4.‎ 令t=，则1=(1-t)(1+t)3，且(1+t)6=(1+2t)4，(-0，a1+3d>0，=a1，且=，‎ 所以=a1，①‎ 且=，即=(a1+d)，②‎ 联立①②，得=a1(a1+d)，即=a1，化简得 d3‎-6a1d2-3d=0，即d(d2‎-6a1d-3)=0，‎ 所以d=0(舍)，d=(3±2)a1，‎ 但d=(3±2)a1不是①②的解，‎ 所以不存在a1，d，使得a1，，，依次构成等比数列.‎