2019届二轮复习选择填空题解题策略中点弦问题学案（全国通用） 6页

第一篇 圆锥曲线 专题04 中点弦问题 学 ‎ 一、用点差法求斜率及常用公式 在圆锥曲线中涉及弦中点问题，如果涉及斜率，则常用点差法求斜率，关于点差法求斜率的方法，证明过程如下：‎ 直线与椭圆交于A,B两点，是弦AB的中点，求直线AB的斜率。‎ ‎【解析】设，点A,B在椭圆上，所以 学 ‎ ‎ …………………………………….①‎ ‎ …………………………………….②‎ ‎ ①-②得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ . ‎ 这是一个标准的点差法求斜率的例题，不过需要注意最后的结论，因为方法过程简单但是繁琐，在小题里面可以直接利用结论来求出相关的斜率，常用结论如下：‎ ‎1、斜率为 的直线l交椭圆于两点且AB的中点为，则，焦点在y轴上时有 ‎2、斜率为 的直线l交双曲线于两点且AB中点为，则，焦点在y轴上时有 ‎3、斜率为 的直线l交抛物线于两点且AB中点为，则 学- ‎ 例1：已知双曲线的右焦点是抛物线的焦点，直线与抛物线相交于 A,B两个不同的点，点是AB的中点，则的面积是（ ）‎ ‎ ‎ 例2：如图，椭圆的焦点为，过的直线交椭圆于点M,N，交y轴于点H，若，H是 线段的三等分点，则的周长为_______.‎ ‎【解析】的周长等于，直线MN斜率必定存在，设其为 ，则可得，‎ 中点坐标为 _ _ . ‎ 所以 根据中点弦结论可知 则，因为H是的中点，可得 将N点代入椭圆方程中整理可得，结合b=2解得 故的周长为 二、利用导数法求解中点弦问题 探究：在点差法中我们设了两个点，每个点中又有两个量，能不能减少未知量的个数，利用中点坐标公式我们可以将四个未知量变成两个，如下：‎ 例：过点作一条直线l交椭圆于点，若点A恰好是弦的中点，求直线l的方 程。‎ ‎【解析】设，用中点坐标公式求得，因此代入椭圆中有：‎ ‎ ………………………………………………………….①‎ ‎ …………………………………….……②‎ ‎ ①-②化简得：………………………….…③‎ ‎ 接下来用图像反映三个式子的位置关系：‎ 从图左中可以看出点A其实是两个椭圆的对称点，而过A点的直线则是两个椭圆的公共弦，两个椭圆式子相减得到公共弦，这跟两个圆方程相减得到相交弦方程一样。‎ 那么如果点A的位置不在椭圆内而在椭圆上的话，从上面可知点A依旧是两椭圆的对称点，此时两个椭圆的位置关系相切，如上图右。所以再重复一遍上面的 点差法我们得到过点A的直线其实就是原椭圆的切线，过程略。直接给出椭圆的切线方程：‎ 因此我们可以得到以下结论：椭圆上点处的切线方程为 所以上面的结论可以直接用来写出椭圆的切线方程，当然先用导数求得斜率，再用点斜式写出切线方程也可以，只不过没有上面的 结论简洁直接，但是这跟用导数法求斜率有什么关系？我们继续以这个例题为例：‎ 例：过点作一条直线l交椭圆于点，若点A恰好是弦的中点，求直线l的方 程。‎ 很多学生问点A又不在椭圆上，为什么求导可以直接代入点A呢，其实很简单，点A虽然不在椭圆上，但是一定在把椭圆按比例缩小的椭圆上，此时对缩小之后的椭圆进行求导可以发现不改变原椭圆方程求导之后的结果，因此可以直接对原椭圆方程进行求导，代入点求得过点A的直线的斜率。‎ 例3：过椭圆内一点引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在的直线方程。‎ 例4：已知双曲线，经过点能否作出一条直线l，使与双曲线交于A,B两点，且点M是 线段AB的中点，若存在这样的直线，求出方程，如果不存在，说明理由。‎ ‎【解析】法一：公式法 假设存在这样的直线，当直线的斜率存在时，设其为 ，套公式 解得 =2‎ 法二：导数法 对双曲线进行求导得：，将代入得，即 =2‎ 此时直线的方程为，如果存在这条直线，则直线和双曲线必有两个交点，直线和方程联立得 ‎，不符合有两个交点，故不存在这样的直线；‎ 当直线的斜率不存在时，直线的方程为不符合中点条件，故综上所述，不存在这样的直线 ‎ ‎