【数学】2020届一轮复习人教A版空间几何体的表面积和体积课时作业 10页

‎1.‎ 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=(　　)‎ A.1‎ B.2‎ C.4‎ D.8‎ 答案B 解析由条件及几何体的三视图可知该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成的.其表面积由一个矩形的面积、两个半圆的面积、圆柱的侧面积的一半及一个球的表面积的一半组成.‎ ‎∴S表=2r×2r+2×πr2+πr×2r+×4πr2=5πr2+4r2=16+20π,解得r=2.‎ ‎2.(2018浙江,3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.2 B.4 C.6 D.8‎ 答案C 解析由三视图可知该几何体为直四棱柱.‎ ‎∵S底=×(1+2)×2=3,h=2,∴V=Sh=3×2=6.‎ ‎3.‎ 如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上,AB=AC,侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形,则侧面ABB1A1的面积为(　　)‎ A. B.1‎ C. D.‎ 答案C 解析由题意知,球心在侧面BCC1B1的中心O上,BC为△ABC所在圆面的直径,所以∠BAC=90°,△‎ ABC的外接圆圆心N是BC的中点,同理△A1B1C1的外心M是B1C1的中点.‎ 设正方形BCC1B1的边长为x,‎ 在Rt△OMC1中,OM=,MC1=,OC1=R=1(R为球的半径),所以=1,即x=,则AB=AC=1.‎ 所以侧面ABB1A1的面积S=×1=.‎ ‎4．[2019·开封市高三考试]某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：由三视图知该几何体底面扇形的圆心角为120°，即该几何体是某圆锥的三分之一部分，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，所以该几何体的体积V＝××π×22×4＝π，故选D.‎ 答案：D ‎5．[2019·山东潍坊模拟]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)‎ A．4＋2 B．4＋4 C．6＋2 D．6＋4 解析：由三视图还原几何体和直观图如图所示，易知BC⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，所以BC⊥PC，又AP＝AC＝BC＝2，所以PC＝＝2，又AB＝2，所以S△PBC＝S△PAB＝×2×2＝2，S△ABC＝S△PAC＝×2×2＝2，所以该几何体的表面积为4＋4.‎ 答案：B ‎6．[2018·福州高三期末]已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一球面上，则这个球的体积等于(　　)‎ A.π B.π C．16π D．32π 解析：设该圆锥的外接球的半径为R，依题意得，R2＝(3－R)2＋()2，解得R＝2，所以所求球的体积V＝πR3＝π×23＝π，故选B.‎ 答案：B ‎7．[2018·福州高三期末]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为(　　)‎ A．14 B．10＋4 C.＋4 D.＋4 解析：解法一　由三视图可知，该几何体为一个直三棱柱切去一个小三棱锥后剩余的几何体，如图所示．所以该多面体的表面积S＝2×＋×(22－12)＋×22＋2×2＋××()2＝＋4，故选D.‎ 解法二　由三视图可知，该几何体为一个直三棱柱切去一个小三棱锥后剩余的几何体，如图所示．所以该多面体的表面积S＝S三棱柱表－S三棱锥侧＋S三棱锥底＝－3×＋××()2＝＋4，故选D.‎ 答案：D ‎8．[2019·山西八校联考]已知一个球的表面上有A，B，C三个点，且AB＝AC＝BC＝2，若球心到平面ABC的距离为1，则该球的表面积为(　　)‎ A．20π B．15π C．10π D．2π 解析：设球心为O，△ABC的中心为O′，因为AB＝AC＝BC＝2，所以AO′＝×3＝2，因为球心到平面ABC的距离为1，所以OO′＝1，所以AO＝＝，故该球的表面积S＝4π×(OA)2＝20π.故选A.‎ 答案：A ‎9．[2019·石家庄摸底考试]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为(　　)‎ A. B. C．8(2π＋1) D．16(π＋1)‎ 解析：由三视图得该几何体为圆锥与正四棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为2，高为4，正四棱锥的底面边长为2，高为2，所以该几何体的体积为×2×2×2＋×π×22×4＝，故选B.‎ 答案：B ‎10．[2019·南昌调研]已知三棱锥P－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC满足AB＝2，∠ACB＝90°，PA为球O的直径且PA＝4，则点P的底面ABC的距离为(　　)‎ A. B．2 C. D．2 解析：取AB的中点O1，连接OO1，如图，在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝90°，所以△ABC所在小圆O1是以AB为直径的圆，所以O1A＝，且OO1⊥AO1，又球O的直径PA＝4，所以OA＝2，所以OO1＝＝，且OO1⊥底面ABC，所以点P到平面ABC的距离为2OO1＝2.‎ 答案：B 二、填空题 ‎11．[2019·南昌模拟]如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC＝2CD＝2AD＝2，若将直角梯形绕BC边旋转一周，则所得几何体的表面积为________．‎ 解析：本题考查几何体的表面积．所得几何体的表面积是底面圆半径为1、高为1的圆柱的下底面积、侧面积和底面圆半径为1、高为1的圆锥的侧面积之和，即为π＋2π＋π＝(3＋)π.‎ 答案：(3＋)π ‎12．[2019·山东潍坊模拟]已知正四棱柱的顶点在同一个球面上，且球的表面积为12π，当正四棱柱的体积最大时，正四棱柱的高为________．‎ 解析：设正四棱柱的底面边长为a，高为h，球的半径为r，由题意知4πr2＝12π，所以r2＝3，又2a2＋h2＝(2r)2＝12，所以a2＝6－，所以正四棱柱的体积V＝a2h＝h，则V′＝6－h2，由V′>0，得02，所以当h＝2时，正四棱柱的体积最大，Vmax＝8.‎ 答案：2‎ ‎13．[2019·福州四校联考]已知三棱锥A－BCD的所有顶点都在球O的球面上，AB为球O的直径，若该三棱柱的体积为，BC＝3，BD＝，∠CBD＝90°，则球O的体积为________．‎ 解析：设A到平面BCD的距离为h，∵三棱锥的体积为，BC＝3，BD＝，∠CBD＝90°，∴××3××h＝，∴h＝2，∴球心O到平面BCD的距离为1.设CD的中点为E，连接OE，则由球的截面性质可得OE⊥平面CBD，∵△BCD外接圆的直径CD＝2 ‎，∴球O的半径OD＝2，∴球O的体积为.‎ 答案： ‎14．[2018·江苏卷，10]如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．‎ 解析：本题考查组合体体积的计算．‎ 多面体由两个完全相同的正四棱锥组合而成，其中正四棱锥的底面边长为，高为1，‎ ‎∴其体积为×()2×1＝，∴多面体的体积为.‎ 答案： ‎15．[2019·广东广州调研]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为(　　)‎ A．4＋4＋2 B．14＋4 C．10＋4＋2 D．4‎ 解析：如图，该几何体是一个底面为直角梯形，有一条侧棱垂直于底面的四棱锥S－ABCD.连接AC，因为AC＝＝2‎ eq (5)，SC＝＝2，SD＝SB＝＝2，CD＝＝2，SB2＋BC2＝(2)2＋42＝24＝SC2，故△SCD为等腰三角形，△SCB为直角三角形．过D作DK⊥SC于点K，则DK＝＝，△SCD的面积为××2＝2，△SBC的面积为×2×4＝4.所求几何体的表面积为×(2＋4)×2＋2××2×2＋4＋2＝10＋4＋2，选C.‎ 答案：C ‎16．[2019·河北联盟考试]某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是(　　)‎ A．13 B．14‎ C．15 D．16‎ 解析：所求几何体可看作是将长方体截去两个三棱柱得到的几何体，在长方体中还原该几何体，如图中ABCD－A′B′C′D′所求，长方体的长、宽、高分别为4,2,3，两个三棱柱的高为2，底面是两直角边长分别为3和1.5的直角三角形，故该几何体的体积V＝4×2×3－2××3××2＝15，故选C.‎ 答案：C ‎17．[2019·广州调研]如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为________．‎ 解析：依题意可得该几何体的直观图为图中所示的三棱锥B－CDE，且长方体的长、宽、高分别为2,1,1，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,1)，C(0,1,0)，D(1,2,0)，E(0,2,0)，设球心为P(x，y，z)，依题意可得|PB|＝|PC|＝|PD|＝|PE|.由|PD|＝|PE|得(x－1)2＋(y－2)2＋z2＝x2＋(y－2)2＋z2，解得x＝.由|PC|＝|PE|得x2＋(y－1)2＋z2＝x2＋(y－2)2＋z2，解得y＝.由|PB|＝|PE|得x2＋y2＋(z－1)2＝x2＋(y－2)2＋z2，解得z＝.故P，故三棱锥外接球的半径R＝|PB|＝＝，故该三棱锥的外接球的表面积S＝4π×＝11π.‎ 答案：11π