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- 2021-06-16 发布
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2020届一轮复习人教B版 空间向量基本定理 作业
1.下列命题是真命题的有( )
①空间中的任何一个向量都可用a,b,c表示;②空间中的任何一个向量都可用基底a,b,c表示;③空间中的任何一个向量都可用不共面的三个向量表示;④平面内的任何一个向量都可用平面内的两个向量表示.
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
解析:根据基底的含义可知②③是真命题.
答案:C
2.设命题p:a,b,c是三个非零向量;命题q:a,b,c为空间的一个基底,则命题p是命题q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
解析:若a,b,c为非零向量,则a,b,c不一定为空间的一个基底,但若a,b,c为空间的一个基底,则a,b,c肯定为非零向量,所以p是q的必要不充分条件.
答案:B
3.已知a,b,c是不共面的三个向量,则下列选项中能构成空间一个基底的一组向量是( )
A.2a,a-b,a+2b B.2b,b-a,b+2a
C.a,2b,b-c D.c,a+c,a-c
解析:设a+2b=λ(2a)+μ(a-b),得λ=32,μ=-2,
所以2a,a-b,a+2b共面.同理可得B,D选项中的三个向量分别共面,均不能构成空间的一个基底.
答案:C
4.
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是四边形BB1C1C的中心,且AA1=a,AB=b,AC=c,则A1D=( )
A.12a+12b+12c
B.12a-12b+12c
C.12a+12b-12c
D.-12a+12b+12c
解析: A1D=A1C1+C1D=AC+12(C1C+C1B1)=c+12(-AA1+CA+AB)=c-12a+12(-c)+12b=-12a+12b+12c.
答案:D
5.已知平行六面体OABC-O'A'B'C'中,OA=a,OO'=b,OC=c.若D是四边形OABC的中心,则( )
A.O'D=-a+b+c
B.O'D=-b+12a+12c
C.O'D=12a-b-12c
D.O'D=12a+12c-12b
解析: O'D=O'O+OD=-b+12(OA+OC)
=-b+12a+12c.
答案:B
6.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点,若A1B1=a,A1D1=b,A1A=c,且f=-12a+12b+c,k=12a+12b+c,h=12a-12b+c,则在f,k,h中与B1M相等的向量是 .
解析:求与B1M相等的向量,就是用基向量a,b,c线性表示B1M.B1M=B1B+BM=A1A+12(BA+BC)=-12A1B1+12A1D1+A1A=-12a+12b+c=f.
答案:f
7.如图,已知四面体O-ABC,M是OA的中点,G是△ABC的重心,用基底OA,OB,OC表示向量MG的表达式为 .
解析: MG=MA+AG=12OA+23AD=12OA+23(OD-OA)=12OA+2312OB+12OC-OA=-16OA+13OB+13OC.
答案:-16OA+13OB+13OC
8.如图,已知ABCD-A'B'C'D'是平行六面体,设M是底面ABCD的对角线的交点,N是侧面BCC'B'对角线BC'上的点,且分BC'的比是3∶1,设MN=αAB+βAD+γAA',则α,β,γ的值分别为 , , .
解析:∵MN=MB+BN=12DB+34BC'
=12(DA+AB)+34(BC+CC')
=12(-AD+AB)+34(AD+AA')
=12AB+14AD+34AA',
∴α=12,β=14,γ=34.
答案:12 14 34
9.导学号90074030如图,已知PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,G为△PDC的重心,AB=i,AD=j,AP=k,试用基底i,j,k表示向量PG,BG.
解 PG=23PN=2312(PC+PD)
=13(PA+AB+AD+AD-AP)
=13AB+23AD-23AP
=13i+23j-23k.
BG=BC+CN+NG=BC+CN+13NP
=AD-12DC-13PN
=AD-12AB-16AB+13AD-13AP
=23AD-23AB+13AP
=-23i+23j+13k.
B组
1.在以下3个命题中,真命题的个数是( )
①三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基底,则a,b,c共面.
②若两个非零向量a,b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则a,b共线.
③若a,b是两个不共线向量,而c=λa+μb(λ,μ∈R且λμ≠0),则{a,b,c}构成空间的一个基底.
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:①②是真命题,③是假命题.
答案:C
2.
如图,在四面体O-ABC中,OA=a,OB=b,OC=c,点M在OA上,且OA=2OM,N为BC中点,则MN等于( )
A.12a-23b+12c
B.-12a+12b+12c
C.12a+12b-12c
D.-23a+23b-12c
解析: MN=ON-OM=12(OB+OC)-12OA=-12a+12b+12c.
答案:B
3.已知A-BCD是四面体,O为△BCD内一点,则AO=13(AB+AC+AD)是O为△BCD的重心的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
解析:若O为△BCD的重心,则AO=13(AB+AC+AD),反之也成立.
答案:C
4.
如图,若P为平行四边形ABCD所在平面外的一点,且G为△PCD的重心,若AG=xAB+yAD+zAP,试求x+y+z的值.
解取CD的中点H,连接PH(图略).∵G为△PCD的重心,
∴PG=23PH.
∴AG=AP+PG=AP+23PH
=AP+23×12(PC+PD)=AP+13PC+13PD
=AP+13(AC-AP)+13(AD-AP)
=13AP+13AC+13AD
=13AP+23AD+13AB.
∴x=13,y=23,z=13,∴x+y+z=43.
5.在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,∠ACB=90°,EA⊥平面ABCD,EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,AB=2EF.若M是线段AD的中点,求证:GM∥平面ABFE.
证明∵EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,∠ACB=90°,
∴∠EGF=90°,△ABC∽△EFG.
∵AB=2EF,
∴AC=2EG.
∵M为AD的中点,∴MA=12DA.
∴MG=MA+AE+EG=12DA+AE+12AC=12CB+12AC+AE=12AB+AE=AF.
∴MG∥AF.
又AF⫋平面ABFE,GM⊈平面ABFE,
∴GM∥平面ABFE.
6.
导学号90074031如图,在平行六面体ABCD-EFGH中,已知M,N,R分别是AB,AD,AE上的点,且AM=MB,AN=12ND,AR=2RE,求平面MNR分对角线AG所得的线段AP与AG的比.
解设AP=mAG,由AG=AB+AD+AE=2AM+3AN+32AR,得AP=2mAM+3mAN+32mAR.
∵P,M,R,N四点共面,
∴2m+32m+3m=1,解得m=213,即APAG=213.