2019届二轮复习圆锥曲线综合应用学案（全国通用） 18页

一、考纲要求：‎ ‎1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；‎ ‎2.了解圆锥曲线的简单应用；‎ ‎3.理解数形结合的思想．‎ 二、概念掌握和解题上注意点：‎ ‎ 1.判断直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线与圆锥曲线方程联立，消去x(或y)，判断该方程组解的个数，方程组有几组解，直线与圆锥曲线就有几个交点.但应注意两点：‎ (1）.消元后需要讨论含x2(或y2)项的系数是否为0.‎ (2）.重视“判别式Δ”起的限制作用.‎ ‎2.对于选择题、填空题，要充分利用几何条件，借助数形结合的思想方法直观求解，优化解题过程.‎ ‎3.处理中点弦问题的常用方法 (1）.点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率.‎ (2）.根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程，将其转化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.‎ 三、高考考题题例分析 例1.(2017·全国卷Ⅰ)设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4.‎ ‎(1)求直线AB的斜率，‎ ‎(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．‎ ‎【答案】(1)1；(2) y＝x＋7.‎ ‎(2)由 y＝，得y′＝.‎ 例2. (2017浙江高考)如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y)－0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．‎ ‎(1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；‎ ‎(2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ；(2) (，2)．‎ ‎【解析】设M(x1，y1)，则由题意知y1>0.‎ ‎(2)由题意t＞3，k＞0，A(－，0)．‎ 将直线AM的方程y＝k(x＋)代入＋＝1得 ‎(3＋tk2)x2＋2·tk2x＋t2k2－3t＝0.‎ 由x1·(－)＝得x1＝，‎ 故|AM|＝|x1＋|＝.‎ 由题设，直线AN的方程为y＝－(x＋)，‎ 故同理可得|AN|＝.‎ 由2|AM|＝|AN|得＝，‎ 即(k3－2)t＝3k(2k－1)．‎ 当k＝时上式不成立，因此t＝.‎ t＞3等价于＝＜0，‎ 即＜0.‎ 由此得或解得＜k＜2.‎ 因此k的取值范围是(，2)．‎ 例5.(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)．当m变化时，解答下列问题：‎ ‎(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；‎ ‎(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．‎ ‎【答案】见解析 ‎(2)证明：BC的中点坐标为，可得BC的中垂线方程为y－＝x2.‎ 由(1)可得x1＋x2＝－m，‎ 所以AB的中垂线方程为x＝－.‎ 联立 又x＋mx2－2＝0，可得 所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径r＝.‎ 故圆在y轴上截得的弦长为2＝3，‎ 即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值 圆锥曲线综合应用练习题 一、选择题 ‎1．若直线y＝kx与双曲线－＝1相交，则k的取值范围是 (　　)‎ A．　　 B． C． D．∪ ‎【答案】C ‎【解析】　双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，若直线与双曲线相交，数形结合，得k∈‎ eq lc( c)(avs4alco1(－f(2,3)，f(2,3))).‎ ‎2．已知直线y＝2(x－1)与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，点M(－1，m)，若·＝0，则m＝ (　　)‎ A． B． C． D．0‎ ‎3．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为 (　　) ‎ A．1 B．1或3‎ C．0 D．1或0‎ ‎【答案】D　‎ ‎【解析】由得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0，若k＝0，则y＝2，符合题意．‎ 若k≠0，则Δ＝0，‎ 即64－64k＝0，解得k＝1，‎ 所以直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个共公点时，k＝0或1.‎ ‎4．方程x＝所表示的曲线是 (　　)‎ A．双曲线的一部分　　　 B．椭圆的一部分 C．圆的一部分 D．直线的一部分 ‎【答案】B ‎【解析】x＝两边平方，可变为x2＋4y2＝1(x≥0)，表示的曲线为椭圆的一部分．‎ ‎5．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是 (　　)‎ A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0‎ C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0‎ ‎【答案】D　‎ ‎【解析】由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0，得2x－y＋5＝0.‎ ‎6．已知动圆Q过定点A(2,0)且与y轴截得的弦MN的长为4，则动圆圆心Q的轨迹C的方程为 (　　)‎ A．y2＝2x B．y2＝4x C．x2＝2y D．x2＝4y ‎【答案】B　‎ ‎7．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为 (　　)‎ A．－＝1 B．＋＝1‎ C．－＝1 D．＋＝1‎ ‎【答案】D　‎ ‎【解析】因为M为AQ垂直平分线上一点，‎ 则|AM|＝|MQ|，‎ 所以|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为以点C，A为焦点的椭圆，所以a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，‎ 所以椭圆的方程为＋＝1. 学 ‎ ‎8．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若＝2，且·＝1，则点P的轨迹方程是 (　　)‎ A．x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)‎ B．x2－3y2＝1(x＞0，y＞0)‎ C．3x2－y2＝1(x＞0，y＞0)‎ D．3x2＋y2＝1(x＞0，y＞0)‎ ‎【答案】A　‎ ‎9．已知直线l：y＝2x＋3被椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有 (　　)‎ ‎①y＝2x－3；②y＝2x＋1；③y＝－2x－3；④y＝－2x＋3.‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎【答案】C　‎ ‎【解析】直线y＝2x－3与直线l关于原点对称，直线y＝－2x－3与直线l关于x轴对称，直线y＝－2x＋3与直线l关于y轴对称，故有3条直线被椭圆C截得的弦长一定为7.‎ ‎10．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 (　　)‎ A．＋＝1 B．＋＝1‎ C．＋＝1 D．＋＝1‎ ‎【答案】A　‎ ‎【解析】因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝(x－3)，代入椭圆方程＋＝1消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，‎ 所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2.又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，a＝3，‎ 所以E的方程为＋＝1.‎ ‎11．已知两定点A(0，－2)，B(0,2)，点P在椭圆＋＝1上，且满足||－||＝2，则·为 (　　)‎ A．－12　　　　　　 B．12‎ C．－9 D．9‎ ‎【答案】D　‎ ‎12.抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线x－y＝0与抛物线C交于A，B两点．若P(1,1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为 (　　)‎ A．y＝2x2 B．y2＝2x C．x2＝2y D．y2＝－2x ‎【答案】B　‎ ‎【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程为y2＝2px，则两式相减可得2p＝·(y1＋y2)＝kAB·2＝2，即可得p＝1，∴抛物线C的方程为y2＝2x.‎ 二、填空题 ‎13．已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长为 ．‎ ‎【答案】16　‎ ‎【解析】直线l的方程为y＝x＋1，‎ 由得y2－14y＋1＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝14，‎ ‎∴|AB|＝y1＋y2＋p＝14＋2＝16.‎ ‎14．已知(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则l的方程是 ．‎ ‎【答案】x＋2y－8＝0　‎ ‎15．已知椭圆＋＝1(00，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为 ．‎ ‎【答案】2＋　‎ ‎【解析】如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为，又直线l过右焦点F(c,0)，则直线l的方程为y＝(x－c)．‎ 因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得－＝1，‎ 化简得y＝－b或y＝b(点P在x轴下方，故舍去)．‎ 故点P的坐标为(2a，－b)，‎ 代入直线方程得－b＝(2a－c)，‎ 化简可得离心率e＝＝2＋.学 ‎ 三、解答题 ‎17．已知椭圆与抛物线y2＝4x有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)过点P(0,1)的直线与该椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，若＝2，求△AOB的面积．‎ ‎【答案】(1) ＋＝1；(2) ‎18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p>0)．‎ ‎(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；‎ ‎(2)当p＝1时，若抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求线段PQ的中点M的坐标．‎ ‎【答案】(1) y2＝8x；(2) (1，－1)．‎ ‎【解析】　(1)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为.‎ 由点在直线l：x－y－2＝0上，‎ 得－0－2＝0，即p＝4.‎ 所以抛物线C的方程为y2＝8x.‎ ‎19．已知定点F(0,1)，定直线l：y＝－1，动圆M过点F，且与直线l相切．‎ ‎(1)求动圆M的圆心轨迹C的方程；‎ ‎(2)过点F的直线与曲线C相交于A，B两点，分别过点A，B作曲线C的切线l1，l2两条切线相交于点P，求△PAB外接圆面积的最小值. ‎ ‎【答案】(1) x2＝4y；(2) 4π.‎ ‎【解析】　(1)法一：设圆心M到直线l的距离为d，‎ 由题意|MF|＝d.‎ 设圆心M(x，y)，则有＝|y＋1|.‎ 化简得x2＝4y.‎ 所以点M的轨迹C的方程为x2＝4y.‎ 法二：设圆心M到直线l的距离为d，‎ 由题意|MF|＝d.‎ 根据抛物线的定义可知，点M的轨迹为抛物线，‎ 焦点为F(0,1)，准线为y＝－1.‎ 所以点M的轨迹C的方程为x2＝4y.‎ 法二：设lAB：y＝kx＋1，‎ 代入x2＝4y中，得x2－4kx－4＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.‎ 所以|AB|＝·|x1－x2|＝4(k2＋1)．‎ 因为曲线C：x2＝4y，即y＝，所以y′＝.‎ 所以直线l1的方程为y－y1＝(x－x1)，‎ 即y＝x－.①‎ 同理可得直线l2的方程为y＝x－.②‎ 联立①②，解得即P(2k，－1)．‎ 因为·＝(x1－2k，y1＋1)·(x2－2k，y2＋1)‎ ‎ ＝x1x2－2k(x1＋x2)＋4k2＋y1y2＋(y1＋y2)＋1＝0，‎ 所以PA⊥PB，即△PAB为直角三角形．‎ 所以△PAB的外接圆的圆心为线段AB的中点，线段AB是外接圆的直径．‎ 因为|AB|＝4(k2＋1)，所以当k＝0时，线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π.‎ 因为AB的中点M的坐标为(2k,2k2＋1)，‎ 所以AB的中垂线方程为y－(2k2＋1)＝－(x－2k)，‎ 因为PA的中垂线方程为y－(k2－k)＝(k＋)[x－(2k－)]，‎ 联立上述两个方程，解得其交点坐标为N(2k,2k2＋1)．‎ 因为点M，N的坐标相同，‎ 所以AB的中点M为△PAB的外接圆的圆心．‎ 所以△PAB是直角三角形，且PA⊥PB，‎ 所以线段AB是△PAB外接圆的直径．学 ‎ 因为|AB|＝4(k2＋1)，‎ 所以当k＝0时，线段AB最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π.‎ ‎20．已知椭圆C：＋y2＝1(a＞0)，过椭圆C的右顶点和上顶点的直线与圆x2＋y2＝相切．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设M是椭圆C的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于A，B两点，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝2，证明：直线AB过定点．‎ ‎【答案】(1) ＋y2＝1；(2)见解析 由⇒(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，得x1＋x2＝，x1·x2＝，由k1＋k2＝2⇒＋＝2⇒＝2，‎ 即(2－2k)x1x2＝(m－1)(x1＋x2)⇒(2－2k)(2m2－2)＝(m－1)(－4km)，即(1－k)(m2－1)＝－km(m－1)，‎ 由m≠1，得(1－k)(m＋1)＝－km⇒k＝m＋1，即y＝kx＋m＝(m＋1)x＋m⇒m(x＋1)＝y－x，‎ 故直线AB过定点(－1，－1)．‎ 综上，直线AB过定点(－1，－1)．‎ ‎21．已知点A，B是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点，F为左焦点，点P是椭圆上异于A，B的任意一点．直线AP与过点B且垂直于x轴的直线l交于点M，直线MN⊥BP于点N.‎ ‎(1)求证：直线AP与直线BP的斜率之积为定值；‎ ‎(2)若直线MN过焦点F，＝λ(λ∈R)，求实数λ的值. ‎ ‎【答案】(1)见解析；(2) λ＝.‎ ‎(2)设直线AP与BP的斜率分别为k1，k2，由已知F(－c,0)，直线AP的方程为y＝k1(x＋a)，‎ 直线l的方程为x＝a，则M(a,2ak1)．‎ ‎∵MN⊥BP，∴kMN·k2＝－1.‎ 由(1)知k1·k2＝－，∴kMN＝·k1.‎ 又F，N，M三点共线，得kMF＝kMN，‎ 即＝k1，得2b2＝a(a＋c)．‎ ‎∵b2＝a2－c2，‎ ‎∴2(a2－c2)＝a2＋ac，化简整理得2c2＋ac－a2＝0，‎ 即2＋－1＝0，‎ 解得＝或＝－1(舍去)．‎ ‎∴a＝2c.‎ 由＝λ，得(a－c,0)＝λ(a＋c,0)，‎ 将a＝2c代入，得(c,0)＝λ(3c,0)，即c＝3λc，‎ ‎∴λ＝.‎ ‎22．已知抛物线C1的方程为y2＝4x，椭圆C2与抛物线C1有公共的焦点，且C2的中心在坐标原点，过点M(4,0)的直线l与抛物线C1分别交于A，B两点．‎ ‎(1)若＝，求直线l的方程；‎ ‎(2)若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C1上，直线l与椭圆C2有公共点，求椭圆C2的长轴长的最小值. ‎ ‎【答案】(1) y＝x－4或y＝－x＋4；‎ ‎ (2) ‎(2)设P(m，n)，则OP的中点为.‎ 因为O，P两点关于直线y＝k(x－4)对称，‎ 所以 解得 将其代入抛物线方程，得2＝4·.‎ 所以k2＝1.‎