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- 2021-06-16 发布
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课时跟踪检测(三十三) 复 数
一、题点全面练
1.(2018·全国卷Ⅲ)(1+i)(2-i)=( )
A.-3-i B.-3+i
C.3-i D.3+i
解析:选D (1+i)(2-i)=2-i+2i-i2=3+i.
2.(2019·南昌模拟)已知复数z满足(1+i)z=2,则复数z的虚部为( )
A.1 B.-1
C.i D.-i
解析:选B ∵(1+i)z=2,∴z===1-i,则复数z的虚部为-1.故选B.
3.(2018·福州模拟)若复数z=+1为纯虚数,则实数a=( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
解析:选A 因为复数z=+1=+1=+1-i为纯虚数,所以+1=0,且-≠0,解得a=-2.故选A.
4.(2019·石家庄质检)若复数z满足=i,其中i为虚数单位,则共轭复数=( )
A.1+i B.1-i
C.-1-i D.-1+i
解析:选B 由题意,得z=i(1-i)=1+i,所以=1-i.
5.(2019·重庆六校联考)若z=4+3i,则=( )
A.1 B.-1
C.+i D.-i
解析:选D 因为z=4+3i,所以=4-3i,|z|=5,故=-i.
6.若复数z=(a+i)2(a∈R)在复平面内对应的点在y轴上,则|z|=( )
A.1 B.3
C.2 D.4
解析:选C 由z=(a+i)2=a2-1+2ai在复平面内对应的点在y轴上,知a2-1=0,即a=±1,所以z=±2i,故|z|=2.
7.(2018·南宁模拟)已知(1+i)·z=i(i是虚数单位),那么复数z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:选A 因为z==+i,所以复数z在复平面内对应的点为,在第一象限,故选A.
8.已知a,b∈R,i是虚数单位,若(1+i)(1-bi)=a,则的值为________.
解析:因为(1+i)(1-bi)=1+b+(1-b)i=a,
所以解得所以=2.
答案:2
9.复数|1+i|+2=________.
解析:原式=+=+=+i-=i.
答案:i
10.设z2=z1-i1(其中1表示z1的共轭复数),已知z2的实部是-1,则z2的虚部为________.
解析:设z1=a+bi(a,b∈R),
所以1=a-bi,z2=z1-i1=a+bi-i(a-bi)=a+bi-ai-b=a-b+(b-a)i,因为z2的实部是-1,
所以a-b=-1,所以z2的虚部为b-a=1.
答案:1
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1.△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1,z2,z3,若复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则z对应的点为△ABC的( )
A.内心 B.垂心
C.重心 D.外心
解析:选D 由几何意义知,复数z对应的点到△ABC的三个顶点距离相等,z对应的点是△ABC的外心.
2.设复数z1=a+2i,z2=-2+i,且|z1|<|z2|,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(-1,1)
C.(1,+∞) D.(0,+∞)
解析:选B ∵|z1|=,|z2|=,
∴<,即a2+4<5,
∴a2<1,即-1<a<1.
3.若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根,则b=________,c=________.
解析:∵实系数一元二次方程x2+bx+c=0的一个虚根为1+i,∴其共轭复数1-i也是方程的根.
由根与系数的关系知
∴b=-2,c=3.
答案:-2 3
(二)交汇专练——融会巧迁移
4.[与集合交汇]已知集合M={1,m,3+(m2-5m-6)i},N={-1,3},若M∩N={3},则实数m的值为________.
解析:∵M∩N={3},∴3∈M且-1∉M,
∴m≠-1,3+(m2-5m-6)i=3或m=3,
∴m2-5m-6=0且m≠-1或m=3,
解得m=6或m=3,经检验符合题意.
答案:3或6
5.[与新定义交汇]定义运算=ad-bc.若复数x=,y=,则y=________.
解析:因为x===-i,
所以y===-2.
答案:-2
6.[与集合交汇]设f(n)=n+n(n∈N*),则集合{f(n)}中元素的个数为________.
解析:f(n)=n+n=in+(-i)n,
f(1)=0,f(2)=-2,f(3)=0,f(4)=2,f(5)=0,…,
∴集合{f(n)}中共有3个元素.
答案:3
7.[与圆交汇]已知复数z=x+yi(x,y∈R),且|z-2|=,则的最大值为________.
解析:∵|z-2|==,
∴(x-2)2+y2=3.
由图可知max==.
答案: