【数学】2020届一轮复习人教B版 坐标系 作业 7页

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)‎ ‎1．将曲线F(x，y)＝0上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的，得到的曲线方程为 (　A　)‎ A．F(，3y)＝0　　　 B．F(2x，)＝0‎ C．F(3x，)＝0 D．F(，2y)＝0‎ ‎【解析】　设(x，y)经过伸缩变换变为(x′，y′)，‎ ‎∴则，‎ 代入F(x，y)＝0，得F(x′，3y′)＝0.‎ ‎2．将点(2,3)变成点(3,2)的伸缩变换是 (　B　)‎ A． B． C． D． ‎【解析】　设所求的伸缩变换为则 所以所求的伸缩变换为 ‎3．过点P且平行于极轴的直线的极坐标方程是 (　C　)‎ A．ρsinθ＝1 B．ρcosθ＝1‎ C．ρsinθ＝ D．ρcosθ＝ ‎【解析】　如图所示，在△OPM中＝，‎ ‎∴ρsinθ＝.‎ ‎4．在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是 (　B　)‎ A．(1，) B．(1，－)‎ C．(1,0) D．(1，π)‎ ‎【解析】　本题主要考查了圆的极坐标方程及普通方程与极坐标方程的互化，由ρ＝－2sinθ得：ρ2＝－2ρsinθ，‎ ‎∴x2＋y2＝－2y，即x2＋(y＋1)2＝1，∴圆心直角坐标为(0，－1)，极坐标为(1，－)，选B．‎ ‎5．P点的直角坐标(－1，)化成极坐标为 (　A　)‎ A．(2，π) B．(，π)‎ C．(，π) D．(2，π)‎ ‎【解析】　ρ＝＝2，tanθ＝－，θ∈(，π)，‎ ‎∴θ＝.‎ ‎∴点P的极坐标为(2，)．‎ 故选A．‎ ‎6．下列各点中与(2，)不表示极坐标系中同一个点的是 (　C　)‎ A．(2，－π) B．(2，π)‎ C．(2，π) D．(2，－π)‎ ‎【解析】　与极坐标(2，)相同的点可以表示为(2，＋2kπ)(k∈Z)，只有(2，π)不适合．‎ 故选C．‎ ‎7．(2015·安庆二模)在极坐标系中，曲线C：ρ＝2sinθ上的两点A，B对应的极角分别为，，则弦长|AB|等于 (　C　)‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎【解析】　A、B两点的极坐标分别为(，)、(，)，‎ 化为直角坐标为(－，)、(，)，‎ 故|AB|＝＝，‎ 故选C．‎ ‎8．极坐标系中，过点且与极轴垂直的直线方程为 (　B　)‎ A．ρ＝－4cosθ B．ρcosθ－1＝0‎ C．ρsinθ＝－ D．ρ＝－sinθ ‎【解析】　如图所示，ρ·cosθ＝2·cos，‎ ‎∴ρcosθ＝1.‎ ‎9．把极坐标方程ρ＝2sin化为直角坐标方程为 (　A　)‎ A．2＋2＝1 B．y2＝2 C．＝0 D．－＝1‎ ‎【解析】　原式变为ρ＝sinθ＋cosθ，‎ 两边同乘以ρ得ρ2＝ρsinθ＋ρcosθ.‎ ‎∵ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y，ρcosθ＝x，‎ ‎∴x2＋y2－x－y＝0，‎ 即2＋2＝1.‎ ‎10．已知点M的球坐标为(1，，)，则它的直角坐标为 (　B　)‎ A．(1，，) B．(，，)‎ C．(，，) D．(，，)‎ ‎【解析】　设点M的直角坐标为(x，y，z)，‎ ‎∵点M的球坐标为(1，，)，‎ ‎∴x＝sin cos＝，‎ y＝sinsin＝，z＝cos＝.‎ 故点M的直角坐标为(，，)．‎ ‎11．极坐标方程θ＝，θ＝(ρ>0)和ρ＝8所表示的曲线围成的图形面积是 (　A　)‎ A． B． C． D． ‎【解析】　如图所示，面积为α×R·R＝··64＝.‎ ‎12．点P(ρ，θ)关于直线θ＝的对称点为 (　C　)‎ A． B．(θ，ρ)‎ C． D．(ρ，π－θ)‎ ‎【解析】　如图所示，根据图形知 ρ′＝ρ，－θ＝θ′－，‎ ‎∴θ′＝－θ＝π＋－θ.‎ ‎∴对称点为.‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在题中的横线上．)‎ ‎13．(2015·湖南)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，则曲线C的直角坐标方程为__x2＋(y－1)2＝1__. ‎【解析】　曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，即ρ2＝2ρsinθ，它的直角坐标方程为：x2＋y2＝2y，即x2＋(y－1)2＝1.‎ 故答案为x2＋(y－1)2＝1.‎ ‎14．(2015·北京)在极坐标系中，点(2，)到直线ρ(cosθ＋sinθ)＝6的距离为__1__. ‎【解析】　点P(2，)化为P(1，)．‎ 直线ρ(cosθ＋sinθ)＝6化为x＋y－6＝0.‎ ‎∴点P到直线的距离d＝＝1.‎ 故答案为1.‎ ‎15．点M的直角坐标为(2,2,30)，则它的柱坐标为　　. ‎【解析】　由ρ＝＝2，tanθ＝＝1，θ＝(第一象限内)，∴柱坐标为.‎ ‎16．在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cosθ与ρsinθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为__(1,1)__. ‎【解析】　本题考查极坐标方程与普通方程互化及求曲线交点．‎ C1：ρsin2θ＝cosθ，∴ρ2sin2θ＝ρcosθ，即y2＝x，‎ C2：ρsinθ＝1，∴y＝1.‎ 联立∴，则交点坐标(1,1)．‎ 三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)‎ ‎17．(本小题满分12分)极坐标系中，求点(m>0)到直线ρcos＝2的距离. ‎【解析】　将直线极坐标方程化成普通方程应为 ρ＝2即x＋y－4＝0.‎ ‎∴点到直线x＋y－4＝0的距离为 ＝＝|m－2|.‎ ‎18．(本小题满分12分)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1，求曲线C的方程，并判断其形状. ‎【解析】　将代入(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1，‎ 得(2x－5)2＋(2y＋6)2＝1，‎ 即(x－)2＋(y＋3)2＝.‎ 故曲线C是以(，－3)为圆心，为半径的圆．‎ ‎19．(本小题满分12分)如图，正方体OABC－D′A′B′C′中，|OA|＝3，|OC|＝3，|OD′|＝3，A′C′与B′D′相交于点P，分别写出点C、B′、P的柱坐标. ‎【解析】　C点的ρ、θ分别为|OC|及∠COA，B′点的ρ，θ分别为|OB|＝＝＝3，θ＝∠BOA，tan∠BOA＝＝＝1，‎ ‎∴∠BOA＝.‎ P点的ρ，θ为|OE|，∠AOE，|OE|＝|OB|，∠AOE＝∠AOB，‎ ‎∴C点的柱坐标为(3，，0)；‎ B′点的柱坐标为(3，，3)；P点的柱坐标为(，，3)．‎ ‎20．(本小题满分12分)已知⊙C：ρ＝cosθ＋sinθ，直线l：ρ＝ .求⊙C上点到直线l距离的最小值. ‎【解析】　⊙C的直角坐标方程是 x2＋y2－x－y＝0，‎ 即(x－)2＋(y－)2＝.‎ 又直线l的极坐标方程为 ρ(cosθ－sinθ)＝4，‎ 所以直线l的直角坐标方程为x－y－4＝0.‎ 设M(＋cosθ，＋sinθ)为⊙C上任意一点，M点到直线l的距离 d＝＝，‎ 当θ＝时，dmin＝＝.‎ ‎21．(本小题满分12分)通过平面直角坐标系中的平移变换与伸缩变换，可以把椭圆＋＝1变为中心在原点的单位圆，求上述平移变换与伸缩变换，以及这两种变换合成的变换. ‎【解析】　先通过平移变换把椭圆＋＝1‎ 变为椭圆＋＝1.‎ 再通过伸缩变换 把椭圆＋＝1变为单位圆 x″2＋y″2＝1.由上述两种变换合成的变换 ‎22．(本小题满分14分)(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4. ‎(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点A的极坐标为(2，)，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．‎ ‎【解析】　(1)解：设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．‎ 由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.‎ 由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0)．‎ 因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．‎ ‎(2)解：设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．‎ 由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面积S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·|sin(α－)|‎ ‎＝2|sin(2α－)－|≤2＋.‎ 当α＝－时，S取得最大值2＋.‎ 所以△OAB面积的最大值为2＋.‎