【数学】2020届一轮复习（文理合用）第8章第9讲第1课时直线与圆锥曲线的位置关系作业 8页

对应学生用书[练案62理][练案57文]‎ 第九讲　圆锥曲线的综合问题(文)(理)‎ 第一课时　直线与圆锥曲线的位置关系 A组基础巩固 一、选择题 ‎1．(2019·河南豫东联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e＝，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆的方程为(　A　)‎ A．＋＝1　　　 B．＋＝1‎ C．＋y2＝1　　　 D．＋y2＝1‎ ‎[解析]　依题意，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c＝1.又离心率e＝＝，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为＋＝1，故选A．‎ ‎2．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，以坐标原点O为圆心，F1F2为直径的圆与椭圆在第一象限相交于点P，且直线OP的斜率为，则椭圆的离心率为(　A　)‎ A．－1　　　 B．　　　‎ C．　　　 D． ‎[解析]　依题意，由直线OP的斜率为得直线OP的倾斜角为60°，即∠POF2＝60°.在Rt△PF1F2中，O为F1F2的中点，因此|OP|＝|OF1|＝|OF2|，∠PF1F2＝∠POF2＝30°，|PF2|＝|F1F2|＝c，|PF1|＝c.所以该椭圆的离心率e＝＝＝－1，选A．‎ ‎3．(2019·石家庄质检)双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为60°的直线与y轴和双曲线的右支分别交于A，B两点，若点A平分线段F1B，则该双曲线的离心率是(　B　)‎ A．　　　 B．2＋　　　‎ C．2　　　 D．＋1‎ ‎[解析]　由题意可知A是F1B的中点，O是F1F2的中点(O为坐标原点)，连接BF2，则OA是△F1BF2的中位线，故OA∥BF2，故F1F2⊥BF2，又∠BF1F2＝60°，|F1F2|＝2c，∴|BF1|＝4c，|BF2|＝2c，∴2a＝4c－2，∴e＝＝2＋，故选B．‎ ‎4．(2019·山东聊城二模，6)已知直线l与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，若线段AB的中点为(2,1)，则直线l的方程为(　D　)‎ A．y＝x－1　　　 B．y＝－2x＋5‎ C．y－x＋3　　　 D．y＝2x－3‎ ‎[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有①－②得y－y＝4(x1－x2)，由题可知x1≠x2，∴＝＝＝2，即kAB＝2，∴直线l的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.故选D．‎ ‎5．P为双曲线－＝1上的一点，F为一个焦点，以PF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的位置关系是(　B　)‎ A．内切　　　 B．内切或外切 C．外切　　　 D．相离或相交 ‎[解析]　如图所示，若以|PF|为直径，则PF的中点M为圆心，‎ ‎∴|MO|＝|PF1|＝(2a＋|PF|)＝a＋|PF|，‎ 所以两圆相外切；同理，若P在左支上，以PF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的位置关系是内切．‎ ‎6．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为，则|AB|＝(　A　)‎ A．6　　　 B．8　　　‎ C．12　　　 D．16‎ ‎[解析]　由题意知抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1,0)，易知当直线AB垂直于x轴时，△AOB的面积为2，不满足题意，所以可设直线AB的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，与y2＝4x联立，消去x得ky2－4y－4k＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝，y1y2＝－4，所以|y1－y2|＝，所以△AOB的面积为×1×＝，解得k＝±，所以|AB|＝|y1‎ ‎－y2|＝6，故选A．‎ ‎7．直线y＝kx－1与椭圆＋＝1相切，则k，a的取值范围分别是(　B　)‎ A．a∈(0,1)，k∈(－，)‎ B．a∈(0,1]，k∈(－，)‎ C．a∈(0,1)，k∈(－，0)∪(0，)‎ D．a∈(0,1]，k∈(－，]‎ ‎[解析]　∵直线y＝kx－1是椭圆的切线，且过点(0，－1)，‎ ‎∴点(0，－1)必在椭圆上或其外部，‎ ‎∴a∈(0,1]．‎ 由方程组消去x，‎ 得(a＋4k2)y2＋2ay＋a－4ak2＝0.‎ ‎∵直线和椭圆相切，‎ ‎∴Δ＝(2a)2－4(a＋4k2)(a－4ak2)＝16ak2(a－1＋4k2)＝0，‎ ‎∴k＝0或a＝1－4k2，‎ ‎∵00)与双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线交于点M(1，m)，点M到抛物线焦点的距离为3，则双曲线的离心率等于(　A　)‎ A．3　　　 B．4　　　‎ C．　　　 D．2‎ ‎[解析]　点M到抛物线焦点的距离为＋1＝3⇒p＝4，∴抛物线方程为y2＝8x，∴m2＝8.双曲线的渐近线方程为y＝±x，两边平方得y2＝(±)2x2，把M(1，m)代入上式得8＝()2，∴双曲线的离心率e＝＝3.‎ 二、填空题 ‎9．(2019·大同质检)已知抛物线y2＝16x的准线过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的标准方程是　－＝1 　.‎ ‎[解析]　∵抛物线y2＝16x的准线x＝－4过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，∴c＝4.又双曲线的一条渐近线方程为y＝x，可得b＝a，又c＝＝4，∴a＝2，b＝2，∴所求双曲线的标准方程为－＝1.‎ ‎10．(2019·辽宁营口期末)直线y＝k(x－1)与抛物线y2＝4x交于A，B两点，若|AB|＝，则k＝　± 　.‎ ‎[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线AB经过抛物线y2＝4x的焦点，所以|AB|＝x1＋x2＋2＝，所以x1＋x2＝.联立得到k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，所以x1＋x2＝＝，所以k＝±.‎ ‎11．(2019·广东模拟)过双曲线x2－＝1的左焦点F1作一条直线l交双曲线左支于P，Q两点，若|PQ|＝4，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是__12___.‎ ‎[解析]　由题意，|PF2|－|PF1|＝2，|QF2|－|QF1|＝2.∵|PF1|＋|QF1|＝|PQ|＝4，∴|PF2|十|QF2|－4＝4，∴|PF2|＋|QF2|＝8.∴△PF2Q的周长是|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝8＋4＝12.‎ ‎12．(2019·河北承德模拟)已知椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，上、下顶点分别为A，B，直线AF交Γ于另一点M，若直线BM交x轴于点N(12,0)，则Γ的离心率是　 　.‎ ‎[解析]　由题意知A(0，b)，B(0，－b)，则直线AM及BN的方程分别为＋＝1，－＝1.由解得则M(，－)．代入椭圆方程得＋＝1，解得a＝6.又c＝3，故离心率e＝＝.‎ 三、解答题 ‎13．(2017·北京高考)已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点(0，)作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中0为原点．‎ ‎(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；‎ ‎(2)求证：A为线段BM的中点．‎ ‎[解析]　(1)由抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)，得p＝.‎ 所以抛物线C的方程为y2＝x.‎ 抛物线C的焦点坐标为(，0)，准线方程为x＝－.‎ ‎(2)由题意，设直线l的方程为y＝kx＋(k≠0)，‎ l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)．‎ 由得4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0.‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 因为点P的坐标为(1,1)，所以直线OP的方程为y＝x，点A的坐标为(x1，x1)．‎ 直线ON的方程为y＝x，点B的坐标为(x1，)．‎ 因为y1＋－2x1＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝0，‎ 所以y1＋＝2x1.‎ 故A为线段BM的中点．‎ ‎14．如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)长轴长为4，离心率为.过点(0，－2)的直线l交椭圆于A，B两点、交x轴于P点，点A关于x轴的对称点为C，直线BC交x轴于Q点．‎ ‎(1)求椭圆方程；‎ ‎(2)探究：|OP|·|OQ|是否为常数？‎ ‎[解析]　(1)由题意得 解得a＝2，b＝，c＝1，所以椭圆方程为＋＝1.‎ ‎(2)直线l方程为y＝kx－2，则P的坐标为(，0)．‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(x1，－y1)，‎ 直线BC方程为＝，令y＝0，得Q的横坐标为x＝＝.①‎ 由得(3＋4k2)x2－16kx＋4＝0.‎ 得 代入①得x＝＝＝2k，‎ 得|OP|·|OQ|＝|xP·xQ|＝·2k＝4.‎ ‎∴|OP|·|OQ|为常数4.‎ B组能力提升 ‎1．抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线x－y＝0与抛物线C交于A，B两点，若P(1,1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为(　B　)‎ A．y2＝4x　　　 B．y2＝2x C．x2＝2y　　　 D．y2＝－2x ‎[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程为y2＝2px，则两式相减可得2p＝×(y1＋y2)＝kAB×2＝2，即可得p＝1，所以抛物线C的方程为y2＝2x.故选B．‎ ‎2．(2019·吉林模拟)过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若0，b>0)的左、右顶点为A，B，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角θ满足cosθ＝－，则E的离心率为　 　.‎ ‎[解析]　设M点在第一象限，因为△ABM是等腰三角形，则有AB＝BM，由cosθ＝－得sinθ＝，所以M点坐标为(a＋2a×，2a×)，即(a，a)，代入双曲线方程有－＝1，b2＝2a2，又b2＝c2－a2，所以c2－a2＝2a2，‎ ＝3，e＝＝.‎ ‎5．(2019·宜昌模拟)已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．‎ ‎(1)求实数m的取值范围；‎ ‎(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．‎ ‎[解析]　(1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－x＋b.‎ 由消去y，‎ 得(＋)x2－x＋b2－1＝0.‎ 因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，‎ 所以Δ＝－2b2＋2＋>0，①‎ 将AB的中点M(，)代入直线方程y＝mx＋，‎ 解得b＝－.②‎ 由①②得m<－或m>.‎ ‎(2)令t＝∈(－，0)∪(0，)，‎ 则|AB|＝·，‎ 且O到直线AB的距离为d＝.‎ 设△AOB的面积为S(t)，‎ 所以S(t)＝|AB|·d ‎＝≤.‎ 当且仅当t2＝时，等号成立．‎ 故△AOB面积的最大值为.‎