【数学】2021届一轮复习人教版（文理通用）选修4-4第2讲参数方程作业 5页

对应学生用书[练案81理][练案70文]‎ 第二讲　参数方程 ‎1．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数)．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．‎ ‎[解析]　直线l的普通方程为x－2y＋8＝0.‎ 因为点P在曲线C上，设点P(2s2,2s)，‎ 从而点P到直线l的距离d＝ ‎＝.‎ 当s＝时，dmin＝.‎ 因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上的点P到直线l的距离取到最小值.‎ ‎2．(2020·宁夏模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ＋)＝.‎ ‎(1)求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)设M为曲线C上的动点，求点M到直线l的距离的最大值．‎ ‎[解析]　(1)曲线C的普通方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.‎ 因为ρcos(θ＋)＝.所以ρ(cosθ－sinθ)＝，‎ 所以直线l的直角坐标方程为x－y－3＝0.‎ ‎(2)设M(cosα－1，sinα＋2)，则点M到直线l的距离 d＝＝.‎ 所以dmax＝3＋.‎ 另解：∵圆心C(－1,2)到直线l的距离为d1＝＝3，‎ ‎∴点M到直线l的距离的最大值为d1＋r＝3＋.‎ ‎3．(2020·贵州铜仁一中模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin(θ－)＝‎ eq f( (2),2).‎ ‎(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点P(－1,0)，直线l和曲线C交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值．‎ ‎[解析]　(1)因为曲线C的参数方程为(α为参数)，‎ 所以曲线C的普通方程为＋＝1.‎ 因为ρsin(θ－)＝，‎ 所以ρsin θ－ρcos θ＝1，∴x－y＋1＝0.‎ 所以直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.‎ ‎(2)由题得点P(－1,0)在直线l上，‎ 直线l的参数方程为，‎ 代入椭圆的方程得2t2－t－8＝0，‎ 所以t1＋t2＝，t1t2＝－4<0，‎ 所以|PA|＋|PB|＝|t1－t2|＝＝.‎ ‎4．(2019·辽宁锦州模拟)已知曲线C在平面直角坐标系xOy下的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．‎ ‎(1)求曲线C的普通方程及极坐标方程；‎ ‎(2)若直线l的极坐标方程是ρcos(θ－)＝3，射线OT：θ＝(ρ≥0)与曲线C交于点A，与直线l交于点B，求线段|AB|的长．‎ ‎[解析]　(1)∵曲线C的参数方程为 (θ为参数)，‎ ‎∴消去参数θ得曲线C的普通方程为(x－1)2＋y2＝3.‎ 由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2＋y2＝ρ2，‎ 得曲线C的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－2＝0.‎ ‎(2)联立得ρ2－ρ－2＝0，‎ 由ρ≥0，解得ρ＝2，‎ ‎∴射线OA与曲线C的交点A的极坐标为(2，)．‎ 联立得ρ＝6，‎ 故射线OT与直线l的交点B的极坐标为(6，)．‎ ‎∴|AB|＝|ρB－ρA|＝4.‎ ‎5．(2019·信阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l过点P(1,0)且倾斜角为，在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin(θ＋)．‎ ‎(1)求直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C的交点分别为M，N，求＋的值．‎ ‎[解析]　(1)由题易知，‎ 直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎∵ρ＝4sin(θ＋)＝2sinθ＋2cosθ，‎ ‎∴ρ2＝2ρsinθ＋2ρcosθ.∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2＋y2＝ρ2，‎ ‎∴x2＋y2＝2y＋2x，‎ ‎∴曲线C的直线坐标方程为(x－1)2＋(y－)2＝4.‎ ‎(2)将直线l的参数方程(t为参数)代入曲线C的直角坐标方程(x－1)2＋(y－)2＝4，‎ 得t2－3t－1＝0，∴t1＋t2＝3，t1t2＝－1<0，‎ ‎∴＋＝＋＝＝＝＝＝.‎ ‎6．(2020·安徽省合肥市质检)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数，α∈[0，π])在以直角坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线E的方程为ρ2(1＋3sin2 θ)＝4.‎ ‎(1)求曲线C的普通方程和曲线E的直角坐标方程；‎ ‎(2)若直线l：x＝t分别交曲线C、曲线E于点A，B，求△AOB的面积的最大值．‎ ‎[解析]　(1)由消去参数α，‎ 可得曲线C的普通方程为x2＋y2＝4(y≥0)．‎ 由ρ2(1＋3sin2θ)＝4.可得ρ2＋3(ρsin θ)2＝4.‎ 则x2＋y2＋3y2＝4，‎ 则曲线E的直角坐标方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)设A(2cos α，2sin α)，α∈[0，π]，其中t＝2cos α，‎ 则B(2cos α，±sin α)．‎ 要使得△AOB面积的最大，则B(2cos α，－sin α)．‎ ‎∴S△AOB＝|AB|·|xB|＝×3sin α×|2cos α|＝|sin 2α|.　‎ ‎∵2α∈[0,2π]，∴sin 2α∈[－1,1]．‎ 当α＝或，即t＝±时，△AOB的面积取最大值.‎ ‎7．(2018·课标Ⅲ卷)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．‎ ‎(1)求α的取值范围；‎ ‎(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．‎ ‎[解析]　(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.‎ 当α＝时，l与⊙O交于两点．‎ 当α≠时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－.l与⊙O交于两点当且仅当<1，解得k<－1或k>1，即α∈(，)或α∈(，)，‎ 综上，α的取值范围是(，)．‎ ‎(2)l的参数方程为 (t为参数，<α<)．‎ 设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tp＝，且tA、tB满足t2－2tsinα＋1＝0.‎ 于是tA＋tB＝2sinα，tP＝sinα.‎ 又点P的坐标(x，y)满足 所以点P的轨迹的参数方程是 (α为参数，<α<)．‎ ‎8．(2019·河北唐山一模)在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2－2ρsin(θ＋)－4＝0，以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系xOy，直线l：(t为参数，0≤α<π)‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求||OA|－|OB||的取值范围．‎ ‎[解析]　(1)由ρ2－2ρsin(θ＋)－4＝0得，‎ ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ－4＝0.‎ 所以x2＋y2－2x－2y－4＝0.‎ 曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝6.‎ ‎(2)将直线l的参数方程代入x2＋y2－2x－2y－4＝0并整理得，t2－2(sin α＋cos α)t－4＝0，‎ t1＋t2＝2(sin α＋cos α)，t1t2＝－4<0.‎ ‎||OA|－|OB||＝||t1|－|t2||＝|t1＋t2|＝|2(sin α＋cos α)|＝|2sin(α＋)|‎ 因为0≤α<π，所以≤α＋<，‎ 从而有－2<2sin(α＋)≤2.‎ 所以||OA|－|OB|的取值范围是[0,2]．‎