【数学】2020届一轮复习（文理合用）第7章第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系作业 7页

对应学生用书[练案48理][练案46文]‎ 第三讲　空间点、直线、平面之间的位置关系 A组基础巩固 一、选择题 ‎1．(2019·江西七校联考)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是(　D　)‎ A．相交或平行　　　 B．相交或异面 C．平行或异面　　　 D．相交、平行或异面 ‎[解析]　依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，故选D．‎ ‎2．(2019·河北沧州质检)在空间中，a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是(　D　)‎ A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a⊂α，b⊂β，α⊥β，则a⊥b C．若a∥α，a∥b，则b∥α D．若α∥β，a⊂α，则a∥β ‎[解析]　在A中，若a∥α，b∥α，则a与b平行，相交或异面，故错误；在B中，若a⊂α，b⊂β，α⊥β，则a与b平行，相交或异面，故错误；在C中，若a∥α，a∥b，则b∥α或b⊂α，故错误；在D中，若α∥β，a⊂α，则由线面平行的判定定理得a∥β，故正确．‎ ‎3．(2019·绵阳诊断)使直线a，b为异面直线的充分不必要条件是(　C　)‎ A．a⊂平面α，b⊄平面α，a与b不平行 B．a⊂平面α，b⊄平面α，a与b不相交 C．a∥直线c，b∩c＝A，b与a不相交 D．a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β＝l，a与b无公共点 ‎[解析]　对A：a与b可能有交点；对B，D：a与b可能平行；对C：可用反证法，若b与a不异面，而且a与b不相交，则a∥b.又a∥c，从而b∥c，与b∩c＝A矛盾．故选C．‎ ‎4．如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是(　C　)‎ A．直线AC　　　　　 B．直线AB C．直线CD　　　　　 D．直线BC ‎[解析]　∵AB∩l＝D，AB⊂面ABC，‎ ‎∴D∈面ABC且D∈β，∴面ABC∩β＝CD．‎ ‎5．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，‎ 这四个点不共面的一个图是(　D　)‎ ‎[解析]　在A图中分别连接PS，QR，易证PS∥QR，∴P，Q，R，S共面；在C图中分别连接PQ，RS，易证PQ//RS，∴P，Q，R，S共面；如图所示，在B图中过P，Q，R，S可作一正六边形，故四点共面；D图中PS与 QR为异面直线，∴四点不共面，故选D．‎ ‎6．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为(　C　)‎ A．　　　 B．　　　‎ C．　　　 D． ‎[解析]　连接BA1，则CD1∥BA1，于是∠A1BE就是异面直线BE与CD1所成的角(或补角)，设AB＝1，则BE＝，BA1＝，A1E＝1，在△A1BE中，cos∠A1BE＝＝，选C．‎ ‎7．(2019·江西高安期末)三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1垂直于底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(　A　)‎ ‎①CC1与B1E是异面直线；‎ ‎②AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1；‎ ‎③AC⊥平面ABB1A1；‎ ‎④A1C1∥平面AB1E.‎ A．②　　　 B．①③　　　‎ C．①④　　　 D．②④‎ ‎[解析]　对于①，CC1，B1E都在平面BB1CC1内，故错误；对于②，AE，B1C1为在两个平面中且不平行的两条直线，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，故AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1，故正确；对于③，上底面ABC是一个正三角形，不可能存在AC⊥平面ABB1A1，故错误；对于④，A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故错误，选A项．‎ 二、填空题 ‎8．(2019·西榆林一模)设l，m是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列命题正确的是__②___.(写出所有正确命题的序号)‎ ‎①若l⊥m，m⊥α，则l⊥α或l∥α；‎ ‎②若l⊥γ，α⊥γ，则l∥α或l⊂α；‎ ‎③若l∥α，m∥α，则l∥m或l与m相交；‎ ‎④若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l⊂β.‎ ‎[解析]　①若l⊥m，m⊥α，则l⊂α或l∥α，故①错误；②由面面垂直的性质定理知，若l⊥γ，α⊥γ，则l∥α或l⊂α，故②正确；③若l∥α，m∥α，则l∥m或l与m相交或l与m异面，故③错误；④若l∥α，α⊥β，则l⊂β或l∥β或l与β相交．故④错误，‎ ‎9．如图是正四面体的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，‎ ‎①GH与EF平行；‎ ‎②BD与MN为异面直线；‎ ‎③GH与MN成60°角；‎ ‎④DE与MN垂直．‎ 以上四个命题中，正确命题的序号是__②③④___.‎ ‎[解析]　还原成正四面体知GH与EF为异面直线．BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.‎ ‎10．(2019·郑州质检)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1，BB1的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为　 　.‎ ‎[解析]　如图所示，取AB的中点E，连接B1E，则AM∥B1E，取EB的中点F，连接FN，则B1E∥FN，因此AM∥FN，则直线FN与CN所夹的锐角或直角为异面直线AM与CN所成的角，设AB＝1，连接CF，在△CFN中，CN＝，FN＝，CF＝.由余弦定理，得cos∠CNF＝＝.‎ 三、解答题 ‎11．如图E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且AEEB＝AHHD＝m，CFFB＝CGGD＝n.‎ ‎(1)证明：E，F，G，H四点共面；‎ ‎(2)m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？‎ ‎(3)在(2)的条件下，若AC⊥BD，试证明：EG＝FH.‎ ‎[解析]　(1)因为AEEB＝AHHD，所以EH∥BD．‎ 又CFFB＝CGGD，‎ 所以FG∥BD．所以EH∥FG.‎ 所以E，F，G，H四点共面．‎ ‎(2)当EH∥FG，且EH＝FG时，四边形EFGH为平行四边形．‎ 因为＝＝，‎ 所以EH＝BD．‎ 同理可得FG＝BD，由EH＝FG，得m＝n.‎ 故当m＝n时，四边形EFGH为平行四边形．‎ ‎(3)证明：当m＝n时，AEEB＝CFFB，‎ 所以EF∥AC，‎ 又EH∥BD，所以∠FEH是AC与BD所成的角(或其补角)，因为AC⊥BD，所以∠FEH＝90°，从而平行四边形EFGH为矩形，所以EG＝FH.‎ ‎12．如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．‎ ‎(1)求证：AE与PB是异面直线；‎ ‎(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值；‎ ‎(3)求三棱锥A－EBC的体积．‎ ‎[解析]　(1)证明：假设AE与PB共面，设平面为α，‎ ‎∵A∈α，B∈α，E∈α，∴平面α即为平面ABE，‎ ‎∴P∈平面ABE，这与P∉平面ABE矛盾，‎ ‎∴AE与PB是异面直线．‎ ‎(2)取BC的中点F，连接EF、AF，则EF∥PB，所以∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角．‎ ‎∵∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC，‎ ‎∴AF＝，AE＝，EF＝，‎ cos∠AEF＝＝，‎ ‎∴异面直线AE和PB所成角的余弦值为.‎ ‎(3)因为E是PC的中点，所以E到平面ABC的距离为PA＝1，‎ VA－EBC＝VE－ABC＝×(×2×)×1＝.‎ B组能力提升 ‎1．若l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是(　B　)‎ A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3‎ B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3‎ C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面 ‎[解析]　当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1与l3也可能相交或异面，故A不正确；l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3，故B正确；当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D不正确．‎ ‎2．若P是两条异面直线l，m外的任意一点．则(　B　)‎ A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行 B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直 C．过点P有且仅有一条直线与l.m都相交 D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面 ‎[解析]　对于选项A，若过点P有直线n与l，m都平行，则l∥m，这与l，m异面矛盾；对于选项B，过点P与l，m都垂直的直线，即过P且与l，m的公垂线段平行的那一条直线；对于选项C，过点P与l，m都相交的直线有一条或零条；对于选项D，过点P与l，m都异面的直线可能有无数条．‎ ‎3．将下面的平面图形(图中每个点是正三角形的顶点或边的中点)沿虚线折成一个正四面体后，直线MN与PQ是异面直线的是(　C　)‎ A．①②　　　 B．②④　　　‎ C．①④　　　 D．①③‎ ‎[解析]　图②翻折后N与Q重合，两直线相交；图③翻折后两直线平行，因此选C．‎ ‎4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，有下列判断：‎ ‎①平面PB1D⊥平面ACD1；‎ ‎②A1P∥平面ACD1；‎ ‎③异面直线A1P与AD1所成角的取值范围是(0，]；‎ ‎④三棱锥D1－APC的体积不变．‎ 其中，正确的是__①②④___.(把所有正确判断的序号都填上)‎ ‎[解析]　‎ 在正方体中，B1D⊥平面ACD1，B1D⊂平面PB1D，所以平面PB1D⊥平面ACD1，所以①正确；连接A1B，A1C1，如图，容易证明平面A1BC1∥平面ACD1，又A1P⊂平面A1BC1，所以A1P∥平面ACD1，所以②正确；因为BC1∥AD1，所以异面直线A1P与AD1所成的角就是直线A1P与BC1所成的角，在△A1BC1中，易知所求角的范围是[，]，所以③错误；VD1－‎ APC＝VC－AD1P，因为点C到平面AD1P的距离不变，且△AD1P的面积不变，所以三棱锥D1－APC的体积不变，所以④正确．‎ ‎5．(2019·甘肃兰州模拟)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，E，F分别为线段DD1，BD的中点．‎ ‎(1)求证：EF∥平面ABC1D1；‎ ‎(2)四棱柱ABCD－A1B1C1D1的外接球的表面积为16π，求异面直线EF与BC所成的角的大小．‎ ‎[解析]　(1)证明：如图，连接BD1.‎ 在△DD1B中，E，F分别为线段DD1，BD的中点，‎ ‎∴EF为△DD1B的中位线，∴EF∥D1B．‎ ‎∵D1B⊂平面ABC1D1，EF⊄平面ABC1D1，‎ ‎∴EF∥平面ABC1D1.‎ ‎(2)由(1)知EF∥D1B，故∠D1BC即为异面直线EF与BC所成的角或它的补角．‎ ‎∵四棱柱ABCD－A1B1C1D1的外接球的表面积为16π，‎ ‎∴四棱柱ABCD－A1B1C1D1的外接球的半径R＝2.‎ 设AA1＝a，则＝2，解得a＝2.‎ 在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，‎ ‎∵BC⊥平面CDD1C1，CD1⊂平面CDD1C1，∴BC⊥CD1.‎ 在Rt△D1BC中，BC＝2，CD1＝2，D1C⊥BC，‎ ‎∴tan∠D1BC＝＝，则∠D1BC＝60°，‎ ‎∴异面直线EF与BC所成的角为60°.‎