广东省七校2021届高三数学上学期第一次联考试题（人教新课标A版附答案） 15页

七校联合体2021届高三第一次联考试卷（8月） 数 学 本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷、草稿纸或答题卡的非答题区上 无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷 一．选择题:本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1.设集合 ,则满足 的集合 B 的个数是(　　) A．1 B．3 C．4 D．8 2.已知 (　　) A . B． C． D． 3.设点 是函数 的图象 C 的一个对称中心，若点 到图象 C 的对称轴上的距离的 最小值 ，则 的最小正周期是(　　) A． 　　　　B. 　　　　C. 　　　 D. 4.已知向量 ， 是不平行于 轴的单位向量，且 ，则 (　　) A．（ ） B．（ ） C．（ ） D．（ ） 5.若 的展开式中各项系数之和为 64，则展开式的常数项为(　　) A．－540 （B）－162 C．162 （D）540 {1,2}A = {1,2,3}A B∪ = ，nii m −=+ 11 =+ niminm 是虚数单位，则是实数，，其中 i+2 i−2 i21− i21+ P xxf ωsin)( = P 8 π )(xf π2 π 2 π 4 π ( 3,1)a = b x 3a b =   b = 3 1,2 2 1 3,2 2 1 3 3,4 4 1,0 n x x )13 −（ 6. 已知 是周期为 2 的奇函数，当 时， 设 （　　） A． 　　　 B． 　　 C． 　　　D． 7．若点 P 是曲线 上任意一点，则点 P 到直线 的最小距离为(　　) A． 1 B． C． D．2 8．有 A、B、C、D、E、F 共 6 个集装箱，准备用甲、乙、丙三辆卡车运送，每台卡车一次运 两个。若卡车甲不能运 A 箱，卡车乙不能运 D 箱，此外无其它任何限制；要把这 6 个集装箱 分配给这 3 台卡车运送，则不同的分配方案的种数为（　　） A．168 B． 84 　C．56 D． 42 二、多项选择题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得 5 分，漏选的得 3 分，错选或不选的得 0 分。 9.下列四个条件中， 是 的充分条件的是（　　） Ａ． ， B． 为双曲线， C． ， Ｄ． ， 10．设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，并且满足条件 ， 则下列结论正确的是（） A． B． C． 的最大值为 D． 的最大值为 11．如图,在长方体 中， ， ， ， 分别为棱 ， 的中点，则下列说法正确的是（） ( )f x 0 1x< < ( ) lg .f x x= 6 3( ), ( ),5 2a f b f= = 5( ),2c f= a b c< < b a c< < c b a< < c a b< < 1ln2 −−= xxy 2−= xy 2 2 2 p q :p a b> 2 2:q a b> 2 2:p ax by c+ = : 0q ab < :p a b> : 2 2a bq > 2: 0p ax bx c+ + > 2: 0c bq ax x − + > { }na q n nS n nT 1 1a > 01 1,1 10 9 109 <− −> a aaa 0 1q< < 11110 >aa nS 10S nT 9T 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 4AA AB= = 2BC = M N 1 1C D 1CC A． 四点共面 B． 平面 C．直线 与 所成角的为 D．平面 平面 12．四边形 内接于圆 ， ，下列结论正确的有 （） A．四边形 为梯形 B．四边形 的面积为 C．圆 的直径为 7 D． 的三边长度可以构成一个等差数列 第Ⅱ卷 三、填空题:本题共 4 小题每小题 5 分，其中第 16 题共两空答对一空得 3 分，答对两空得 5 分 13.若抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点重合，则 的值为______ 14.若随机变量 ______________ 15.设函数 . 若 是偶函数，则 __________。 16．已知过球面上三点 A、B、C 的截面到球心的距离等于球半径的一半，且 AB=6，AC=8， BC=10，则球的半径等于________ ,球的表面积等于__________． 四、解答题:本题共 6 小题，满分 70 分．解答须写出文字说明证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分 10 分) 已知等差数列 的前 项和为 （1）求 的值； A M N B、 、 、 / /BN ADM BN MB1 60 ADM ⊥ 11CCDD ABCD O 5, 3, 60AB CD AD BCD= = = ∠ =  ABCD ABCD 55 3 4 O ABD∆ 2 2y px= 13 2 2 =− yx p =≥=≥ ），则）（），且，（ 3(0.8413112~ ξξξ PPN ( ) ( )( )cos 3 0f x x ϕ ϕ π= + < < ( ) ( )/f x f x+ ϕ = { }na n NnRqpqnpnSn ∈∈+−= ),,(2 q （2）若 的等差中项为 14，且 满足 ，求数列的 前 项和. 18.（本小题满分 12 分） 如图, 是直角 斜边 上一点, ,记 (1) 求 的值. (2) 若 ,求 的值. 19．（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 S—ABCD 的底面是正方形，SD 平面 ABCD， ， 点 E 是 上的点，且 （1）求证：对任意的 ，都有 （2 ）设二面角 C—AE—D 的大小为 ，直线 BE 与平面 ABCD 所成 的角为 ，若 ，求 的值 w.w.w..c.o.m 20.（本小题满分 12 分） 现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是 1.2 万元、1.18 万元、1.17 万 元的概率分别为 、 、 ;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下 降的概率都是 ,设乙项目产品价格在一年内进行 2 次独立的调整,记乙项目产品 价格在一年内的下降次数为 ,对乙项目每投资十万元, 取 0、1、2 时, 一年后相应利润是 1.3 万元、1.25 万元、0.2 万元.随机变量 、 分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年 后的利润. 51 aa 与 nb 22logn na b= { }nb n D ABC∆ BC ADAB = βα =∠=∠ CADABC , βα sin2cos + DCAC 3= α ⊥ aSD 2= 2AD a= SD (0 2)DE aλ λ= < ≤ (0,2]λ ∈ AC BE⊥ θ ϕ θϕ cossin = λ 1 6 1 2 1 3 (0 1)p p< < ξ ξ 1 ξ 2 ξ S CD A B E B D Cβ β α A (1) 求 、 的概率分布和数学期望 、 ; (2) 当 时,求 的取值范围. 21.（本小题满分 12 分） 已知椭圆的中心在坐标原点 O，焦点在 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为 正方形，离心率为 。 (1)求椭圆的方程； （2)直线 过点 P(0,2)且与椭圆相交于 A、B 两点，当 面积取得最大值时，求直线 的方程. 22．（本小题满分 12 分） 已知函数 （1）讨论 的单调性； （2）若 ，不等式 对 恒成立，求 的取值范围. 1 ξ 2 ξ ( )1ξE ( )2ξE ( ) )( 21 ξξ EE < p x 2 2 l AOB∆ l 1)( 3 −= axexxf ( )f x 2a = ( ) 3lnf x mx x≥ + (0, )x∈ +∞ m 七校联合体2021届高三第一次联考试卷（8月） 数学答案 第Ⅰ卷选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A C B A D B D BC AD CD ABD 详细答案 1、解析 ， ，则集合 B 中必含有元素 3，即此题可转化为求集合的子 集个数问题，所以满足题目条件的集合 B 共有 个。故选择答案 C。 2、解析： ，由 、 是实数，得 ∴ ，故选择 A。 4、解：设 ＝（x，y），则有 解得 x＝ ，y＝ ，选 B 5.解析：若 的展开式中各项系数之和为 =64， ，则展开式的常数项为 =－540，选 A. 6. 解 ： 已 知 是 周 期 为 2 的 奇 函 数 ， 当 时 ， 设 ， ， <0 ， ∴ ，选 D. 7.解析因为点 P 是曲线 任意一点，所以当点 P 处的切线和直线 y＝x－2 平行 时，点 P 到直线 y＝x－2 的距离最小． 因为直线 y＝x－2 的斜率等于 1，曲线 的导数 ， {1,2}A = {1,2,3}A B∪ = 22 4= ( ) ( )innmnii m −++=⇒−=+ 1111 m n    =+ =− mn n 1 01 inimm n +=+⇒    = = 22 1 b 2 23 3 1( 0)x y x y y+ = + = ≠且 1 2 3 2 n x x       − 13 2n 6n = 3 3 3 6 1(3 ) ( )C x x ⋅ − ( )f x 0 1x< < ( ) lg .f x x= 6 4 4( ) ( ) ( )5 5 5a f f f= = − = − 3 1 1( ) ( ) ( )2 2 2b f f f= = − = − 5 1( ) ( )2 2c f f= = c a b< < 1ln2 −−= xxy 1ln2 −−= xxy xxy 12/ −= 令 y′＝1，可得 x＝1 或 (舍去)，所以在曲线 与直线 y＝x－2 平行的 切线经过的切点坐标为(1,0)， 所以点 P 到直线 y＝x－2 的最小距离为 ，故选：B 8．分两类：①甲运 D 箱，有 种；②甲不运 D 箱，有 。 不同的分配方案共有 + =42（种），选（D）。 9.解：A. p 不是 q 的充分条件，也不是必要条件；B. p 是 q 的充分条件，不是必要条件；C. p 是 q 的充要条件；D.必要不充分 答案 BC 10.答案 AD 由题意得 11.答案 CD (1)由图显然 、 是异面直线，故 四点不共面，故 A 错误； (2) 平面 ，显然 与平面 不平行，故 B 错误； (3)取 的中点 ，连接 、 ，可知三角形 为等边三角形，故 C 正确； (4)由题意 平面 ，故平面 平面 ，故 D 正确； 12.答案 ABD【解析】 可证 显然 不平行 即四边形 为梯形，故 正确； 在 中由余弦定理可得 解得 或 （舍去） 故 B 正确 2 1−=x 1ln2 −−= xxy 2 2 2 201 =−−=d 2 2 1 2 2 4 1 4 2 1 CCCC ••• 2 2 2 3 2 4 CCC •• ∴ 2 2 1 2 2 4 1 4 2 1 CCCC ••• 2 2 2 3 2 4 CCC •• 11109 1 aaa >>> AM BN A M N B、 、 、 / /BN 1 1AA D D BN ADM CD O BO ON BON AD ⊥ 1 1CDD C ADM ⊥ 1 1CDD C 5, 3, 60AB CD AD BCD= = = ∠ =  120BAD∴∠ =  BAD CDA∆ ≅ ∆ 120BAD CDA∴∠ = ∠ = ° 180BCD CDA∴∠ + ∠ = ° //BC DA∴ AB CD ABCD A BCD∆ 2 2 2 2 cosBD CB CD CB CD BCD= + − ⋅ ∠ 2 2 27 5 2 5 cos60CB CB∴ = + − × × ° 8CB = 3CB = − 1 1 3 15 3sin120 5 32 2 2 4BADS AB AD∆∴ = ⋅ ° = × × × = 1 1 3 40 3sin 60 5 82 2 2 4BCDS CB CD∆∴ = ⋅ ° = × × × = 15 3 40 3 55 3 4 4 4ABCD BCD BADS S S∆ ∆∴ = + = + = 在 中由余弦定理可得 圆的直径不可能是 ，故 C 错误； 在 中， ， ， ，满足 的三边长度可以构成一个等差数列，故 正确； 第Ⅱ卷非选择题 13、解：双曲线 的右焦点为(2,0)，所以抛物线 的焦点为(2,0)，则 ， 14 解：随机变量 所以正态曲线关于 对称 所以 15、解析： ，则 = 为偶函数，∴ . 16、 的外接圆半径为 ，球的半径为 ，表面积为 17、解析：本小题考查数列的概念，等差数列，等比数列，对数与指数互相转化等基础知 识。考查综合运用数学知识解决问题的能力。满分 10 分. 解法：当 时， ···········1 分 ······· ····2 分 是等差数列, ············4 分 (Ⅱ)解：, 是等差数列, ···········6 分 BAD∆ 2 2 2 2 cosBD AB AD AB AD BAD= + − ⋅ ∠ 2 2 25 3 2 5 3cos120 49BD∴ = + − × × ° = 7BD∴ = ∴ 7 ABD∆ 3AD = 5AB = 7BD = 2AD BD AB+ = ABD∴∆ D 13 2 2 =− yx 2 2y px= 4p = ），（ 12~ Nξ 2=ξ 1587.00.841311-113( =−=≥=≤=≥ ）（）（） ξξξ PPP '( ) 3sin( 3 )f x x ϕ= − + ( ) ( )/f x f x+ cos( 3 ) 3sin( 3 ) 2sin( 3 )6x x x πϕ ϕ ϕ+ − + = − − )33cos(2 πϕ ++= x 3 2πϕ = ABC∆ 5r = 3 310 3 400π 1n = qpSa +−== 111 12)11-(2 22 1 −−=−−+−+−=−=≥ − ppnqnnpqnpnSSan nnn （）时当 { }na 1211 −−=+−= ppqpa 0q∴ = { }na 1-p-6p142 51 3 ==+= aaa 3=∴ p 46 −=∴ nan 又 ··········8 分 即 是等比数列. 所以数列 的前 项和 ···········10 18 解：（1） ···········3 分 ··········6 分 (2)在 中，根据正弦定理 若 AC= DC ··········8 分 由（1）得 ··········10 分 又因为在直角△ABC 中 ··········11 分 ··········12 分 19 证法：以 D 为原点， 的方向分别作为 x，y，z 轴的正方向建立如 图 2 所示的空间直角坐标系，则 D（0，0，0）， ,B（ ， ，0），C（0， ，0），E（0，0 ）， ， 即 。·········4 分 （2）由（I）得 . 22logn na b= 2-3n2=∴ nb 82 22 23 13 1 1 ===∴ − + + n n n n b bb ， { }nb { }nb n )187 2 81 )81(2 −=− −= n n nT （ α=∠=∠∴= ABCADBADAB 2 π=∠BAC βπαπ −=−=∠∴ 22DAB 22 παβ −=∴ )22sin(2cossin2cos πααβα −+=+∴ 02coscos2 =−= αα ACD∆ βαπ sin-sinsinsin DCAC CAD DC ADC AC =∠=∠ ）（即 3 αβ sinsin3 =∴ αβ 2cos-sin = ααα sin3sin322cos3- 2 =−=∴ 0)1sin3)(3sin203sinsin32 2 =+−=−− αααα 即（ 2 3sin20 =∴∈ απα ），（ 3 πα =∴ , ,DA DC DS   aA（ 2 , 0, 0） 2a 2a 2a aλ ∴ ( 2 , 2 ,0), ( 2 , 2 , )AC a a BE a a aλ= − = − −  ∴ 2 22 2 0 0AC BE a a aλ⋅ = − + ⋅ =  AC BE⊥ ( 2 ,0, ), (0, 2 , ), ( 2 , 2 , )EA a a EC a a BE a a aλ λ λ= − = − = − −   设平面 ACE 的法向量为 n=(x，y，z)，则由 得 ·········6 分 易知平面 ABCD 与平面 ADE 的一个法向量分别为 . .·········10 分 . 由于 ，解得 ，即为所求。 ·········12 分 （解法二）证明：如图 1，连接 BE、BD，由底面 ABCD 是正方形可得 AC⊥BD。 SD⊥平面 ABCD， BD 是 BE 在平面 ABCD 上的射影， AC⊥BE·········4 分 （Ⅱ）如图 1，由 SD⊥平面 ABCD 知，∠DBE= , SD⊥平面 ABCD，CD 平面 ABCD, SD⊥CD。 又底面 ABCD 是正方形， CD⊥AD，而 SD AD=D，CD⊥平面 SAD. 连接 AE、CE，过点 D 在平面 SAD 内作 DE⊥AE 于 F，连接 CF，则 CF⊥AE， 故∠CFD 是二面角 C-AE-D 的平面角，即∠CFD= 。 在 Rt△BDE 中， BD=2a，DE= ， ， n EA EC⊥ ⊥ ，n 0, 2x z 0, 2y z 0,0, n EA n EC λ λ  ⋅ = − =   − =⋅ =     即 )2,,(,2 λλ== nz 得取 (0,0,2 ) DC aDS a= = 与 （0，2 , 0） 2 2 sin ,cos 4 2 2 DC nDS BE DS BE DC n λλϕ θ λ λ ⋅⋅∴ = = = = ⋅ ⋅+ +      2 224 cossin 2 22 =⇔ + = + = λ λ λ λ λθϕ 即 (0,2]λ ∈ 2λ =  ∴ ∴ ϕ  ⊂ ∴ ∴ ∩ θ  aλ 2224 aaBE λ+= 4 sin 2 + == λ λϕ BE DE 在 Rt△ADE 中, 从而 在 中， . 由 ，解得 ，即为所求. 20【(I)解法 1: 的概率分布为 1.2 1.18 1.17 P E =1.2 +1.18 +1.17 =1.18.·········2 分 由题设得 ,则 的概率分布为 0 1 2 P 故 的概率分布为 1.3 1.25 0.2 P 所以 的数学期望为 E = + + = .·········8 分 (II) 由 ,得: 22 , , 2AD a DE a AE aλ λ= = ∴ = + 2 2 2 AD DE aDF AE λ λ ⋅= = + Rt CDF∆ aCDDFCF 2 12 2 2 22 + +=+= λ λ 22 cos 2 + ==∴ λ λθ CF DF 2 224 cossin 2 22 =⇔ + = + = λ λ λ λ λθϕ 即 (0,2]λ ∈ 2λ = 1 ξ 1 ξ 1 6 1 2 1 3 1 ξ 1 6 × 1 2 × 1 3 × ~ (2, )B pξ ξ ξ 2(1 )p− 2 (1 )p p− 2p 2 ξ ξ 2(1 )p− 2 (1 )p p− 2p 2 ξ 2 ξ 21.3 (1 )p× − 1.25 2 (1 )p p× − 20.2 p× 2 0.1 1.3p p− − + 1 2E Eξ ξ< 因 0 ⇒ + − < ⇒ − < < 1 2E Eξ ξ< 1 ξ 2 ξ iA ξ 2 1 2( ) ( ) (1 )P A P A p= − ξ 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) 2 (1 )P A P A P A P A p p+ = − ξ 2 1 2( ) ( )P A P A p= 2 ξ ξ 2(1 )p− 2 (1 )p p− 2p 2 ξ 2 ξ 21.3 (1 )p× − 1.25 2 (1 )p p× − 20.2 p× 2 0.1 1.3p p− − + 2 2 2 2 1( )x y a b ca b + = > > ⇒       += = = 222 2 2 cba a c cb 2 2 2 2 1 1 a b c  =  =  = 2 2 12 x y+ = l l 1 1 2 22, ( , ), ( , )y kx A x y B x y= + 2 2 2 12 y kx x y = + + = 2 2(1 2 ) 8 6 0k x kx+ + + = l 2 20 64 24(1 2 ) 0k k∴ > ⇒ − + > 2 3 2k > 又由韦达定理得 原点 到直线 的距离 . 解法 1：令 ， 则 当且仅当 即 时， 此时 . 所 以 ， 所 求 直 线 方 程 为 ········12 分 解法 2：对 两边平方整理得： （*） ∵ ， 整理得： 又 ， 从而 的最大值为 ， 1 2 2 1 2 2 8 1 2 6 1 2 kx x k x x k  + = − +  ⋅ = + 2 2 2 1 2 1 2 1 2| | 1 | | 1 ( ) 4AB k x x k x x x x∴ = + − = + + − 2 2 2 1 16 241 2 k kk += −+ O l 2 2 1 d k = + 2 2 2 2 1 16 24 2 2 2 3| |2 1 2 1 2AOB k kS AB d k k − −= ⋅ = =+ + 22 3( 0)m k m= − > 2 22 3k m= + 2 2 2 2 2 2 44 2 mS m m m ∴ = = ≤+ + 4m m = 2m = max 2 2S = 14 2k = ± 14 2 4 0y± − + = 2 2 16 24 1 2 kS k −= + 2 4 2 2 24 4( 4) 24 0S k S k S+ − + + = 0S ≠ 2 2 2 2 2 2 2 2 16( 4) 4 4 ( 24) 0, 4 0 24 04 S S S S S S S   − − × + ≥  − >   + > 2 1 2S ≤ 0S > 20 2S∴ < ≤ AOBS 2 2S = 此时代入方程（*）得 所以，所求直线方程为： . 解 法 二 ： 由 题 意 知 直 线 l 的 斜 率 存 在 且 不 为 零 . 设 直 线 l 的 方 程 为 ，则直线 l 与 x 轴的交点 ， 由解法一知 且 ， 解法 1： = . 下同解法一. 解法 2： = 下同解法一.·········12 分 22【解析】（1） . ①当 时， 恒成立，所以 在 单调递增。 ②当 时，令 ，得 ；令 ，得 . 所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 . ③当 时令 ，得 ；令 ，得 . 所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .·········6 分 4 24 28 49 0k k− + = 14 2k∴ = ± 14 2 4 0x y± − + = 1 1 2 22, ( , ), ( , )y kx A x y B x y= + 2( ,0)D k − 2 3 2k > 1 2 2 1 2 2 8 1 2 6 1 2 kx x k x x k  + = − +  ⋅ = + 1 2 1 2 1 1 2| | | | | | | 2 2 |2 2AOBS OD y y kx kxk = ⋅ − = ⋅ + − −  1 2| |x x− 2 2 2 1 2( ) 4x x x x= + − 2 2 16 24 1 2 k k −= + 2 2 2 2 2 3 1 2 k k −= + AOB POB POAS S S= −    2 1 1 2 || | | ||2 x x= × × − 2 1| |x x= − 2 2 2 2 2 3 1 2 k k − + 2 3 2( ) 3 ( 3)ax ax axf x x e ax e x e ax′ = + = + 0=a 0)(/ ≥xf ( )f x R 0a < ( ) 0f x′ < 3x a > − ( ) 0f x′ ≥ 3x a ≤ − ( )f x 3 ,a  − +∞   3, a  −∞ −   0a > ( ) 0f x′ ≥ 3x a ≥ − ( ) 0f x′ < 3x a < − ( )f x 3, a  −∞ −   3 ,a  − +∞  （2）因为 ，所以 对 恒成立等价于 对 恒成立.设 ， ， 令 ，得 ；令 ，得 . 所以 ，所以 .取 ， 则 ，即 ， 所以 . 设 ，因为 ， ，所以方程 必有解， 所以当且仅当 时，函数 得最小值，且最小值为 2，所以 ，即 m 的取值范围为 ，·········12 分 2a = ( ) 3lnf x mx x≥ + (0, )x∈ +∞ 3 2 3ln 1xx e xm x − −≤ (0, )x∈ +∞ ( ) 1 ln ( 0)g t t t t= − − > 1( ) tg t t ′ −= ( ) 0g t′ < 0 1t< < ( ) 0g t′ > 1t > min( ) (1) 0g t g= = 1 ln 0t t− − ≥ 3 2xt x e= ( )3 2 3 21 ln 0x xx e x e− − ≥ 3 2 3ln 1 2xx e x x− − ≥ 3 2 3ln 1 2 2 xx e x x x x − − ≥ = 3 2( ) xh x x e= (0) 0 1h = < 2(1) 1h e= > 3 2 1xx e = 3 2 1xx e = 3 2 3ln 1( 0) xx e xy xx − −= > 2m ≤ ( ,2]−∞