2020届二轮复习排列组合问题的常用方法总结2教案（全国通用） 13页

‎ ‎ 排列组合问题的常用方法总结2‎ 典例分析 挡板法（名额分配或者相同物品的分配问题）‎ 【例1】 某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有 种．‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】注意连续参观2天，‎ 即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有其余的就是19所学校选28天进行排列．于是安排方法数为．‎ ‎【答案】；‎ 【例2】 某校准备组建一个由人组成篮球队，这个人由个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种．‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】2星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】此例的实质是个名额分配给个班，每班至少一个名额，‎ 可在个名额中的个空档中插入块档板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有种．‎ ‎【答案】330；‎ 【例3】 有多少项？ ‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】当项中只有一个字母时，有种（即），而指数的次数为15，‎ 故这样的项有个；‎ 当项中有2个字母时，有种，指数和为15，即将15个1分配给2个字母，用挡板法知为，于是一共这样的项有；‎ 当项中有3个字母时，同上讨论知这样的项有种．‎ 当项中有4个字母时，同上讨论知这样的项有种． ‎ 于是的项数为．‎ 或者化为的不定方程非负整数解的问题，答案为．‎ ‎【答案】816；‎ 【例1】 有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】为使每个盒子内的球数不少于编号数，先将0，1，2个球分别放入编号为 ‎1，2，3的盒子，这样这个问题转化为将17个球放入三个不同盒子的问题．将17个小球排成一排，在其间的16个空隙中插入2个挡板即可．于是所有的方法数为．‎ ‎【答案】120；‎ 【例2】 不定方程中不同的正整数解有 组，非负整数解有 组．‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】相当于把100个1分给50个未知数，采用挡板法，‎ 于是所有的方法数为；‎ 非负整数解的问题，等价于 的非负整数解问题，等价于，的正整数解问题，一共有组．‎ ‎【答案】，；‎ 【例1】 ‎5个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少种不同的带法．‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的 ‎10个相同的黑球之间的9个空隙中的排列问题．种．‎ ‎【答案】126；‎ 【例2】 将个完全相同的小球任意放入个不同的盒子中，共有多少种不同的放法？‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】考虑将个球放入个盒子中，每个盒子都不空，‎ 则每个盒子都减去一个球后与题目中的情形一一对应，故只需考虑将个球放入个盒子，每个盒子都不空即可．用加号法：‎ 将写成个相加，共有个加号，从中任取个，刚可将这些数分成份，共种．‎ ‎【答案】120；‎ 【例3】 一个楼梯共个台阶步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】根据题意要想步登完只能个一步登一个台阶，个一步登两个台阶，‎ 因此，把问题转化为个相同的黑球与个相同的白球的排列问题，共有种不同的走法．‎ ‎【答案】924；‎ 【例4】 有个三好学生名额，分配到高三年级的个班里，要求每班至少个名额，共有多少种不同的分配方案．‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】将写成个相加，其中有个加号，选出其中的个加号，‎ 于是可以被分成数之和，且每个数都不小于，故共有种分配方案．‎ ‎【答案】126；‎ 【例1】 某中学准备组建一个18人的足球队，这18人由高一年级10个班的学生组成，‎ 每个班至少一个，名额分配方案共有_____种．‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】用隔板法，18人排成一排，有17个间隔，在17个间隔里插入9个隔板，故共 有种分配方案．‎ ‎【答案】‎ 【例2】 ‎10个优秀指标名额分配到一、二、三3个班，若名额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】2星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】先拿3个指标分配给二班一个，三班两个，‎ 然后，问题就转化为7个优秀名额分配给三个班级，每班至少一个．用隔板法，有种方法．‎ ‎【答案】15‎ 插空法（当需排的元素不能相邻时）‎ 【例3】 从个自然数中任取个互不连续的自然数，有多少种不同的取法．‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】把问题转化为个相同的黑球与个相同的白球，‎ 其中黑球不相邻的排列问题，也就是从个白球形成的个空档中选择个放黑球，共有种不同的取法．‎ ‎【答案】‎ 【例1】 某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为（ ）‎ A． B．16 C．24 D．32‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2018年，西城1模 ‎【解析】将三个人插入五个空位中间的四个空档中，有种排法．‎ ‎【答案】C；‎ 【例2】 三个人坐在一排个座位上，若每个人左右两边都有空位，则坐法种数为_______．‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】2星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】将三个人插入个空位中间的四个空档中，共有种．‎ ‎【答案】24；‎ 【例3】 要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，排法种数有____种．‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】6个歌唱节目排列有种，‎ 歌唱节目的空隙及两端共7个位置排入4个舞蹈节目，有种方法．因此，由计数原理总方法有种．‎ ‎【答案】‎ 【例4】 马路上有编号为l，2，3，……，10 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有_____种． （用数字作答）‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】关掉的灯不能相邻，也不能在两端．又因为灯之间没有区别，‎ 因而问题为在7盏亮着的灯形成的不包含两端的6个空中选出3个空放置熄灭的灯．有种．‎ ‎【答案】20；‎ 【例1】 为配制某种染色剂， 需要加入三种有机染料、两种无机染料和两种添加剂， 其中有机染料的添加顺序不能相邻．现要研究所有不同添加顺序对染色效果的影响， 总共要进行的试验次数为 ．（用数字作答）‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】先将无机染料和添加剂全排，有种，包括两端共个空，‎ 再将种有机染料插入空中，有种，故总要试验的次数为．‎ ‎【答案】1440；‎ 【例2】 一排个座位有个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有______种不同的坐法．‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】六个人全排后，将空位插入六个人之间的五个空档中，‎ 共种坐法．‎ ‎【答案】7200；‎ 【例3】 某班班会准备从甲、乙等名学生中选派名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加．当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同发言顺序的种数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】2星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2009年，海淀区2模 ‎【解析】只有甲参加时，有种；同理，只有乙参加时也有种；‎ 甲、乙都参加时，先从剩下的人中选个排好，然后将甲、乙两人插入个空中，故共有种．‎ 因此不同发言顺序的种数为．‎ ‎【答案】C；‎ 【例1】 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】2星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】相当于在一个有10个位置的节目单中，有序插入2个歌唱节目，‎ 还剩余8个位置，由于剩余的8个节目的相对位置固定，故此时10个节目的位置确定．故所有的排法数为．‎ ‎【答案】90；‎ 【例2】 某人连续射击次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】2星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，‎ 其中只有三个黑球相邻的排列问题，将三黑球“捆绑”在一起看成一个“黑球”，与另一个黑球插入四个白球的空档中，共有种不同的结果．‎ ‎【答案】20；‎ 捆绑法（当需排的元素有必须相邻的元素时）‎ 【例3】 ‎4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】2星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有种排法，‎ 而男生之间又有种排法，又乘法原理满足条件的排法有：．‎ ‎【答案】576；‎ 【例4】 四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 ‎ 种．‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】2星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】先选取4个小球中的2个捆绑在一个，‎ 然后此3个群体放入3个盒子，一共的方法数有种．‎ ‎【答案】36‎ 【例1】 某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有 ‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】2星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体 来选有其余的就是19所学校选28天进行排列．‎ ‎【答案】‎ 【例2】 停车站划出一排个停车位置，今有辆不同型号的车需要停放，若要求剩余的个空车位连在一起，则不同的停车方法共有__________种．‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】先将辆车全排有种，‎ 再将个空车位看成整体插入辆车形成的个空档中，有种方法，故所求的方法为．‎ ‎【答案】；‎ 【例3】 四个不同的小球放入编号为的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有_______种．（用数字作答）‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】4个盒子选一个为空的方法种，4个小球放入剩下3个盒子，‎ 每盒都至少有一个，只有这种可能，故总共有种放法．‎ 换一种思路，从4个小球中取2个放在一起，有种不同的方法，把取出的两个看成一个大球，与另外两个小球放入4个盒子中的3个，有种不同的方法，故共有种放法．‎ ‎【答案】144；‎ 除序法 ‎（平均分堆问题，整体中部分顺序固定，对某些元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制排列后，再除去规定顺序元素个数的全排列．）‎ 【例1】 ‎6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】2星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】分出三堆书由顺序不同可以有种，‎ 而这6种分法只算一种分堆方式，故6本不同的书平均分成三堆方式有种 ‎【答案】15‎ 【例2】 ‎6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】分出三堆书由顺序不同可以有种，‎ 而这4种分法只算一种分堆方式，故分堆方式有种 ‎【答案】15；‎ 【例3】 用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，‎ ‎⑴若偶数2，4，6次序一定，有多少个？‎ ‎⑵若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？ ‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】2星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】⑴；⑵‎ 【例1】 一天的课程表要排入语文，数学，物理，化学，英语，体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】在六节课的排列总数中，体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率 相等，均为，故本例所求的排法种数就是所有排法的，即种．或者由于数学和体育的次序固定，方法数为．‎ ‎【答案】360‎ 【例2】 甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有（ ）‎ A．种 B．种 C．种 D．种 ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2018年，海南宁夏高考 ‎【解析】A；从五天中抽出三天来安排甲乙丙共有种，其中甲要排在三天中的 第一天，乙与丙还有两种顺序，故共有种安排方法．‎ ‎【答案】A；‎ 【例3】 某考生打算从所重点大学中选所填在第一档次的个志愿栏内，其中校定为第一志愿，再从所一般大学中选所填在第二档次的个志愿栏内，其中校必选，且在前，问此考生共有 种不同的填表方法（用数字作答）．‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2009年，东城1模 ‎【解析】第一档次的志愿填法有种；第二档次的学校除外另一个有种选法 ‎，排顺序有种（因为在前和在后的排法是一样多的），因此不同的填表方法共有种．‎ ‎【答案】270‎ 递推法 【例1】 一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】设上级楼梯的走法有种，易知，当时，‎ 上级楼梯的走法可分两类：第一类：是最后一步跨一级，有种走法，第二类是最后一步跨两级，有种走法，由加法原理知：，据此，，，如是很容易计算出上10级台阶的走法数为89．‎ ‎【答案】89；‎ 用转换法解排列组合问题 【例2】 某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】2星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，‎ 其中只有三个黑球相邻的排列问题．种．‎ ‎【答案】20‎ 【例3】 ‎6个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法．‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】2星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球 之间的9个空隙种的排列问题．种．‎ ‎【答案】126；‎ 【例1】 从1，2，3，…，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的取法．‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】把问题转化为10个相同的黑球与990个相同白球，其其中黑球不相邻的排 列问题．于是答案为．‎ ‎【答案】‎ 【例2】 某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种．‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】无论怎样走必须经过三横四纵，因此，把问题转化为3个相同的白球与 四个相同的黑球的排列问题．种．‎ ‎【答案】35；‎ 【例3】 一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶，6个一步登两个台阶，‎ 因此，把问题转化为6个相同的黑球与6个相同的白球的排列问题．种．‎ ‎【答案】924；‎ 【例4】 求的展开式的项数．‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】展开使的项为，且，因此，把问题转化为2个相同的 黑球与10个相同的白球的排列问题．种．‎ ‎【答案】66‎ 【例1】 亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】设亚洲队队员为a1，a2，…，a5，欧洲队队员为b1，b2，…，b5，‎ 下标表示事先排列的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序．比赛过程转化为这10个字母互相穿插的一个排列，最后师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员，所以比赛过程可表示为5个相同的白球和5个相同黑球排列问题，比赛过程的总数为=252（种）‎ ‎【答案】252；‎ 【例2】 圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少个？‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】因两弦在圆内若有一交点，则该交点对应于一个以两弦的四端点为顶点的 圆内接四边形，则问题化为圆周上的15个不同的点能构成多少个圆内接四边形，因此这些现在圆内的交点最多有个．‎ ‎【答案】1365；‎