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- 2021-06-16 发布
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第四节 二次函数与幂函数
A组 基础题组
1.幂函数y=xm2-4m(m∈Z)的图象如图所示,则m的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 C 因为y=xm2-4m(m∈Z)的图象与坐标轴没有交点,所以m2-4m<0,即0b>c且a+b+c=0,则函数的图象可能是( )
答案 D 由a>b>c且a+b+c=0,得a>0,c<0,所以函数图象开口向上,排除A,C.又f(0)=c<0,所以排除B,故选D.
4.若二次函数y=kx2-4x+2在区间[1,2]上是单调递增函数,则实数k的取值范围为( )
A.[2,+∞) B.(2,+∞)
C.(-∞,0) D.(-∞,2)
答案 A 二次函数y=kx2-4x+2图象的对称轴为x=2k,当k>0时,要使函数y=kx2-4x+2在区间[1,2]上是增函数,只需2k≤1,解得k≥2.
当k<0时,2k<0,此时抛物线的对称轴在区间[1,2]的左侧,该函数y=kx2-4x+2在区间[1,2]上是减函数,不符合要求.综上可得实数k的取值范围是[2,+∞).
5.若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为-254,-4,则m的取值范围是( )
A.[0,4] B.32,4
C.32,+∞ D.32,3
答案 D 二次函数图象的对称轴为x=32,且f32=-254, f(3)=f(0)=-4,如图所示:
由图得m∈32,3.
6.已知幂函数f(x)=x-12,若f(a+1)0),易知x∈(0,+∞)时, f(x)为减函数,∵f(a+1)0,10-2a>0,a+1>10-2a,解得a>-1,a<5,a>3,∴30的解集是 .
答案 (-∞,-4)∪(2,+∞)
解析 依题意, f(x)的图象是开口向上的抛物线,对称轴为x=-1,方程ax2+bx+c=0的一个根是2,另一个根是-4.因此f(x)=a(x+4)(x-2)(a>0),于是由f(x)>0,解得x>2或x<-4.
8.已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3.
(1)当a=2,x∈[-2,3]时,求函数f(x)的值域;
(2)若函数f(x)在[-1,3]上的最大值为1,求实数a的值.
解析 (1)当a=2时,f(x)=x2+3x-3,x∈[-2,3],
函数图象的对称轴为x=-32∈[-2,3],
∴f(x)min=f-32=94-92-3=-214,
f(x)max=f(3)=15,
∴函数f(x)的值域为-214,15.
(2)函数图象的对称轴为x=-2a-12.
当-2a-12≤1,即a≥-12时,
f(x)max=f(3)=6a+3,
∴6a+3=1,即a=-13,满足题意;
当-2a-12>1,即a<-12时,
f(x)max=f(-1)=-2a-1,
∴-2a-1=1,即a=-1,满足题意.
综上可知,a=-13或-1.
9.已知函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0),若f(x)在区间[2,3]上有最大值5,最小值2.
(1)求a,b的值;
(2)若b<1,g(x)=f(x)-mx在[2,4]上单调,求m的取值范围.
解析 (1)f(x)=a(x-1)2+2+b-a.
当a>0时,f(x)在[2,3]上为增函数,
故f(3)=5,f(2)=2⇒9a-6a+2+b=5,4a-4a+2+b=2⇒a=1,b=0;
当a<0时,f(x)在[2,3]上为减函数,
故f(3)=2,f(2)=5⇒9a-6a+2+b=2,4a-4a+2+b=5⇒a=-1,b=3.
(2)因为b<1,所以a=1,b=0,
即f(x)=x2-2x+2.
g(x)=x2-2x+2-mx=x2-(2+m)x+2,
因为g(x)在[2,4]上单调,所以2+m2≤2或m+22≥4.
所以m≤2或m≥6.
B组 提升题组
1.已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c.若f(1)=f(3)>f(4),则( )
A.a>0,4a+b=0 B.a<0,4a+b=0
C.a>0,2a+b=0 D.a<0,2a+b=0
答案 B 因为f(1)=f(3),所以直线x=2为f(x)图象的对称轴,故-b2a=2,则4a+b=0,又f(3)>f(4),所以在(2,+∞)上f(x)为减函数,所以f(x)图象的开口向下,所以a<0.故选B.
2.设函数f(x)=x2+x+a(a>0),已知f(m)<0,则( )
A.f(m+1)≥0 B.f(m+1)≤0
C.f(m+1)>0 D.f(m+1)<0
答案 C 因为f(x)图象的对称轴为x=-12,f(0)=a>0,所以f(x)的大致图象如图所示.
由f(m)<0,得-10,
所以f(m+1)>f(0)>0.
3.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数y=f(x)-g(x)在x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“关联函数”.若f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在[0,3]上是“关联函数”,则m的取值范围为 .
答案 -94,-2
解析 由题意得,函数y=f(x)-g(x)=x2-3x+4-2x-m=x2-5x+4-m在[0,3]上有两个不同的零点.
令h(x)=x2-5x+4-m,
则h(0)≥0,h(2.5)<0,h(3)≥0,
即4-m≥0,-94-m<0,-2-m≥0⇒-940,b∈R,c∈R).
(1)若函数f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,F(x)=f(x),x>0,-f(x),x<0,求F(2)+F(-2)的值;
(2)若a=1,c=0,且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立,试求b的取值范围.
解析 (1)由题意知a-b+c=0,且-b2a=-1,又c=1,
所以a=1,b=2,
所以f(x)=(x+1)2.
所以F(x)=(x+1)2,x>0,-(x+1)2,x<0.
所以F(2)+F(-2)=(2+1)2+[-(-2+1)2]=8.
(2)由题意知f(x)=x2+bx,原命题等价于-1≤x2+bx≤1在(0,1]上恒成立,
即b≤1x-x且b≥-1x-x在(0,1]上恒成立.
因为当x∈(0,1]时,y=1x-x的最小值为0,y=-1x-x的最大值为-2,所以-2≤b≤0.
故b的取值范围是[-2,0].
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