【数学】2020届一轮复习人教A版双曲线的参数方程抛物线的参数方程课时作业 3页

‎2020届一轮复习人教A版 双曲线的参数方程抛物线的参数方程 课时作业 一、选择题 ‎1．曲线(t为参数)的焦点坐标是(　　)‎ A．(1,0)　　　　　　　　　 B．(0,1)‎ C．(－1,0) D．(0，－1)‎ 解析：选B　将参数方程化为普通方程(y－1)2＝4(x＋1)，该曲线为抛物线y2＝4x向左、向上各平移一个单位得到，所以焦点为(0,1)．‎ ‎2．已知抛物线的参数方程为(t为参数，p>0)，点A，B在曲线上对应的参数分别为t1和t2，若t1＋t2＝0，则|AB|等于(　　)‎ A．2p(t1－t2) B．2p(t＋t)‎ C．2p|t1－t2| D．2p(t1－t2)2‎ 解析：选C　因为x1＝2pt，x2＝2pt，所以x1－x2＝2p(t－t)＝2p(t1＋t2)·(t1－t2)＝0，所以|AB|＝|y2－y1|，又因为y1＝2pt1，y2＝2pt2，所以|y2－y1|＝2p|t1－t2|.故选C.‎ ‎3．方程(t为参数)的图形是(　　)‎ A．双曲线左支 B．双曲线右支 C．双曲线上支 D．双曲线下支 解析：选B　∵x2－y2＝e2t＋2＋e－2t－(e2t－2＋e－2t)＝4.且x＝et＋e－t≥2＝2.∴表示双曲线的右支．‎ ‎4．P为双曲线(θ为参数)上任意一点，F1，F2为其两个焦点，则△F1PF2重心的轨迹方程是(　　)‎ A．9x2－16y2＝16(y≠0)‎ B．9x2＋16y2＝16(y≠0)‎ C．9x2－16y2＝1(y≠0)‎ D．9x2＋16y2＝1(y≠0)‎ 解析：选A　由题意知a＝4，b＝3，可得c＝5，‎ 故F1(－5,0)，F2(5,0)，‎ 设P(4sec θ，3tan θ)，重心M(x，y)，则 x＝＝sec θ，y＝＝tan θ.‎ 从而有9x2－16y2＝16(y≠0)．‎ 二、填空题 ‎5．曲线(t为参数)与x轴的交点坐标是________．‎ 解析：将曲线的参数方程化为普通方程为(x＋2)2＝9(y＋1)，令y＝0，得x＝1或x＝－‎ ‎5，故交点坐标为(1,0)，(－5,0)．‎ 答案：(1,0)，(－5,0)‎ ‎6．双曲线(θ为参数)的两条渐近线的倾斜角为________．‎ 解析：将参数方程化为y2－＝1，此时a＝1，b＝，‎ 设渐近线倾斜角为α，则tan α＝±＝±.‎ ‎∴α＝30°或150°.‎ 答案：30°或150°‎ ‎7．点P(1,0)到曲线(t为参数)上的点的最短距离为________．‎ 解析：设点P(1,0)到曲线上的点的距离为d，则d＝＝＝＝t2＋1≥1.所以点P到曲线上的点的距离的最小值为1.‎ 答案：1‎ 三、解答题 ‎8．设P为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1和F2为两个焦点，证明：|F1P|·|F2P|＝|OP|2.‎ 证明：如图，设双曲线上的动点为P(x，y)，焦点F1(－，0)，F2(，0)，双曲线的参数方程为则(|F1P|·|F2P|)2‎ ‎＝[(sec θ＋)2＋tan2θ]·[(sec θ－)2＋tan2θ]‎ ‎＝(sec2 θ＋2sec θ＋2＋tan2θ)(sec2 θ－2sec θ＋2＋tan2θ)＝(sec θ＋1)2(sec θ－1)2＝(2sec2 θ－1)2.‎ 又|OP|2＝sec2 θ＋tan2θ＝2sec2 θ－1，‎ 由此得|F1P|·|F2P|＝|OP|2.‎ ‎9．求点P(0,1)到双曲线x2－y2＝4的最小距离．‎ 解：设双曲线x2－y2＝4上任一点坐标为M，‎ 则|PM|2＝2＋(2tan φ－1)2‎ ‎＝4(1＋tan2φ)＋4tan2φ－4tan φ＋1‎ ‎＝8tan2φ－4tan φ＋5‎ ‎＝82＋.‎ 则当tan φ＝时，|PM|＝.‎ 所以|PM|min＝，即点P到双曲线的最小距离为.‎ ‎10.如图，O是直角坐标原点，A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上异于顶点的两动点，且OA⊥OB，点A，B在什么位置时，△AOB的面积最小？最小值是多少？‎ 解：根据题意，设点A，B的坐标分别为(2pt，2pt1)，(2pt，2pt2)(t1≠t2，且t1·t2≠0)，则 ‎|OA|＝＝2p|t1|，‎ ‎|OB|＝＝2p|t2|.‎ 因为OA⊥OB，所以·＝0，‎ 即2pt·2pt＋2pt1·2pt2＝0，‎ 所以t1·t2＝－1.‎ 所以△AOB的面积为 S△AOB＝|OA|·|OB|‎ ‎＝·2p|t1|·2p|t2| ‎＝2p2|t1t2| ‎＝2p2 ‎＝2p2 ‎≥2p2＝4p2.‎ 当且仅当t＝，即t1＝1，t2＝－1时，等号成立．‎ 所以点A，B的坐标分别为(2p,2p)，(2p，－2p)时，△AOB的面积最小，最小值为4p2.‎