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- 2021-06-16 发布
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课时跟踪检测(五十八) 排列与组合
一、题点全面练
1.某小区有排成一排的7个车位,现有3辆不同型号的车需要停放,如果要求剩余的4个车位连在一起,那么不同的停放方法的种数为( )
A.16 B.18
C.24 D.32
解析:选C 将4个车位捆绑在一起,看成一个元素,先排3辆不同型号的车,在3个车位上任意排列,有A=6(种)方法,再将捆绑在一起的4个车位插入4个空当中,有4种方法,故共有4×6=24(种)方法.
2.(2019·惠州调研)旅游体验师小明受某网站邀请,决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游,若不能最先去甲景区旅游,不能最后去乙景区和丁景区旅游,则小李可选的旅游路线数为( )
A.24 B.18
C.16 D.10
解析:选D 分两种情况,第一种:最后体验甲景区,则有A种可选的路线;第二种:不在最后体验甲景区,则有C·A种可选的路线.所以小李可选的旅游路线数为A+C·A=10.
3.(2019·开封模拟)某地实行高考改革,考生除参加语文、数学、英语统一考试外,还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科.学生甲要想报考某高校的法学专业,就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科,则学生甲的选考方法种数为( )
A.6 B.12
C.18 D.19
解析:选D 从六科中选考三科的选法有C种,其中不选物理、政治、历史中任意一科的选法有1种,因此学生甲的选考方法共有C-1=19种.
4.(2019·沈阳教学质量监测)若4个人按原来站的位置重新站成一排,恰有1个人站在自己原来的位置,则不同的站法共有( )
A.4种 B.8种
C.12种 D.24种
解析:选B 将4个人重排,恰有1个人站在自己原来的位置,有C种站法,剩下3人不站原来位置有2种站法,所以共有C×2=8种站法.
5.从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛,其中甲不能参加生物竞赛,则不同的参赛方案种数为( )
A.48 B.72
C.90 D.96
解析:选D 由于甲不参加生物竞赛,则安排甲参加另外3场竞赛或甲不参加任何竞赛.
①当甲参加另外3场竞赛时,共有CA=72种选择方案;
②当甲学生不参加任何竞赛时,共有A=24种选择方案.
综上所述,所有参赛方案有72+24=96(种).
6.某班上午有五节课,分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课.要求语文与化学相邻,数学与物理不相邻,且数学课不排第一节,则不同排课方案的种数是( )
A.16 B.24
C.8 D.12
解析:选A 根据题意,分三步进行分析,①要求语文与化学相邻,将语文和化学看成一个整体,考虑其顺序,有A=2种情况;②将这个整体与英语全排列,有A=2种情况,排好后,有3个空位;③数学课不排第一节,有2个空位可选,在剩下的2个空位中任选1个,安排物理,有2种情况,则数学、物理的安排方法有2×2=4种,则不同排课方案的种数是2×2×4=16.
7.(2019·洛阳第一次统考)某校有4个社团向高一学生招收新成员,现有3名同学,每人只选报1个社团,恰有2个社团没有同学选报的报法有________种.(用数字作答)
解析:第一步,选2名同学报名某个社团,有CC=12种报法;第二步,从剩余的3个社团里选一个社团安排另一名同学,有CC=3种报法.由分步乘法计数原理得共有12×3=36种报法.
答案:36
8.(2018·莆田期中)某学校需从3名男生和2名女生中选出4人,分派到甲、乙、丙三地参加义工活动,其中甲地需要选派2人且至少有1名女生,乙地和丙地各需要选派1人,则不同的选派方法有________种.(用数字作答)
解析:由题设可分两类:一是甲地只选派1名女生,先考虑甲地有CC种情形,后考虑乙、丙两地,有A种情形,共有CCA=36种情形;二是甲地选派2名女生,则甲地有C种情形,乙、丙两地有A种情形,共有CA=6种情形.由分类加法计数原理可知共有36+6=42种情形.
答案:42
二、专项培优练
易错专练——不丢怨枉分
1.已知I={1,2,3},A,B是集合I的两个非空子集,且A中所有元素的和大于B中所有元素的和,则集合A,B共有( )
A.12对 B.15对
C.18对 D.20对
解析:选D 依题意,当A,B中均有一个元素时,有3对;当B中有一个元素,A中有两个元素时,有C+C+C=8(对);当B中有一个元素,A中有三个元素时,有3对;当B中有两个元素,A中有三个元素时,有3对;当A,B中均有两个元素时,有3对.所以共有3+8+3+3+3=20(对),选D.
2.(2018·甘肃二诊)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏,现有4个红包,每人最多抢一个,且红包被全部抢完,4个红包中有2个6元,1个8元,1个10元(红包中金额相同视为相同红包),则甲、乙都抢到红包的情况有( )
A.18种 B.24种
C.36种 D.48种
解析:选C 若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的红包,剩下2个红包,被剩下的3人中的2个人抢走,有AA=12种;若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的红包,剩下2个红包,被剩下的3人中的2个人抢走,有AA=12种;若甲、乙抢的是一个8和一个10元的红包,剩下2个红包,被剩下的3人中的2个人抢走,有AC=6种;若甲、乙抢的是两个6元的红包,剩下2个红包,被剩下的3人中的2个人抢走,有A=6种,根据分类加法计数原理可得,共有12+12+6+6=36种情况.
3.如图,∠MON的边OM上有四点A1,A2,A3,A4,ON上有三点B1,B2,B3,则以O,A1,A2,A3,A4,B1,B2,B3为顶点的三角形个数为________.
解析:用间接法.先从这8个点中任取3个点,最多构成三角形C个,再减去三点共线的情形即可.共有C-C-C=42(个).
答案:42
4.将7个相同的小球放入4个不同的盒子中.
(1)不出现空盒时的放入方式共有多少种?
(2)可出现空盒时的放入方式共有多少种?
解:(1)将7个相同的小球排成一排,在中间形成的6个空当中插入无区别的3个“隔板”将球分成4份,每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式,则共有C=20种不同的放入方式.
(2)每种放入方式相当于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排列,即从10个位置中选3个位置安排隔板,故共有C=120种不同的放入方式.