【数学】2020届一轮复习人教B版球坐标系与柱坐标系作业 5页

‎2020届一轮复习人教B版 球坐标系与柱坐标系 作业 ‎1．在球坐标系中，方程r＝2表示空间的(　　)‎ A．球　　　　　　　　 B．球面 C．圆 D．直线 解析：选B　r＝2，表示空间的点到原点的距离为2，即表示球心在原点，半径为2的球面．‎ ‎2．设点M的直角坐标为(－1，－，3)，则它的柱坐标是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C　ρ＝＝2，∵tan θ＝＝，x<0，y<0，∴θ＝，又z＝3，∴点M的柱坐标为.‎ ‎3．若点M的球坐标为，则它的直角坐标为(　　)‎ A．(－6,2，4) B．(6,2，4)‎ C．(－6，－2，4) D．(－6,2，－4)‎ 解析：选A　由x＝8sincos ＝－6，y＝8sin sin ＝2，z＝8cos ＝4，得点M的直角坐标为(－6,2，4)．‎ ‎4．若点M的直角坐标为(，1，－2)，则它的球坐标为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A　设M的球坐标为(r，φ，θ)，r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π，则r＝＝2，‎ 由2cos φ＝－2得φ＝，‎ 又tan θ＝＝，x>0，y＞0，得θ＝，‎ ‎∴点M的球坐标为.故选A.‎ ‎5．把下列各点的球坐标化为直角坐标：‎ ‎(1)M；(2)N；‎ ‎(3)P.‎ ‎【解】　(1)设点M的直角坐标为(x，y，z)，M在xOy平面内的射影为M′，则OM′＝2 sin＝2.于是x＝2cos＝1，y＝2sin＝，z＝2cos＝0.‎ 故点M的直角坐标为(1，，0)．‎ ‎(2)x＝5sincos＝0，y＝5sinsin＝，‎ z＝5cos＝－，‎ 点N的直角坐标为.‎ ‎(3)x＝9sincos＝－，‎ y＝9sinsin＝，z＝9cos＝－.‎ ‎∴点P的直角坐标为.‎ ‎6．把下列各点的柱坐标化为直角坐标：‎ ‎(1)Q；(2)R；‎ ‎(3)S.‎ ‎【解】　(1)x＝0，y＝5，‎ 故点Q的直角坐标为 Q(0,5，－2)．‎ ‎(2)x＝6cos＝－3，y＝6sin＝3，‎ 故点R的直角坐标为R(－3,3，4)．‎ ‎(3)x＝8cos＝－4，y＝8sin＝－4，故点S的直角坐标为S(－4，－4，－3)．‎ ‎7．已知长方体ABCDA1B‎1C1D1的边长为AB＝14，AD＝6，AA1＝10，以这个长方体的顶点A为坐标原点，以射线AB、AD、AA1分别为x、y、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体顶点C1的空间直角坐标、柱坐标、球坐标．‎ ‎【导学号：98990008】‎ ‎【解】　如图，C1点的直角坐标(x，y，z)分别对应着CD、BC、CC1；C1点的柱坐标(ρ，θ，z)分别对应着CA、∠BAC、CC1；C1点的球坐标(r，θ，φ)分别对应着AC1、∠BAC、∠A1AC1.‎ C1点的空间直角坐标为(14,6,10)，C1点的柱坐标为(其中tan θ＝)，C1点的球坐标为(2，φ，θ)(其中cos φ＝，tan θ＝)．‎ ‎8．在球坐标面内，方程r＝1表示空间中的什么曲面？方程θ＝表示空间中的什么曲面？‎ ‎【解】　方程r＝1表示球心在原点的单位球面；方程θ＝表示顶点在原点，半顶角为的圆锥面，中心轴为z轴．‎ ‎5．在球坐标系中，求两点P，Q的距离．‎ ‎【解】　将P，Q两点球坐标转化为直角坐标：‎ P：x＝3sin·cos＝，‎ y＝3sin·sin＝，‎ z＝3cos＝，‎ ‎∴P点的直角坐标为.‎ Q：x＝3sin·cos＝－，‎ y＝3sin·sin＝，z＝3cos＝，‎ ‎∴Q点的直角坐标为.‎ ‎∴|PQ|＝ ‎ ‎＝，即PQ的距离为.‎ ‎9．建立适当的柱坐标系，表示棱长为3的正四面体各个顶点坐标．‎ ‎【解】　以正四面体的一个顶点B为极点O，选取以O为端点且与BD垂直的射线Ox为极轴，在面BCD上建立极坐标系．过O点与面BCD垂直的线为z轴．‎ 过A作AA′垂直于平面BCD，垂足为A′，则 BA′＝×＝，AA′＝＝，‎ ‎∠A′Bx＝－＝，‎ 则A(，，)，B(0,0,0)，C(3，，0)，D(3，，0)．‎ ‎10．一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，…，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育馆中心的距离为‎200 m，每相邻两排的间距为‎1 m，每层看台的高度为‎0.7 m，现在需要确定第九区第四排正中的位置A，请建立适当的坐标系，把点A的坐标求出来．‎ ‎【解】　以圆形体育馆中心O为极点，选取以O为端点且过正东入口的射线Ox为极轴，在地面上建立极坐标系，则点A与体育场中轴线Oz的距离为203‎ ‎ m，极轴Ox按逆时针方向旋转×＝，就是OA在地平面上的射影，A距地面的高度为2.8 m，因此点A的柱坐标为(203，，2.8)．‎ ‎[能力提升]‎ ‎8．如图4110建立球坐标系，正四面体ABCD的边长为1，求A、B、C、D的球坐标(其中O是△BCD的中心)．‎ 图4110‎ ‎【解】　∵O是△BCD的中心，‎ ‎∴OC＝OD＝OB＝，AO＝.‎ ‎∴C(，，0)，D(，，)，‎ B(，，)，A(，0,0)．‎