2020届二轮复习利用空间向量求夹角学案（全国通用） 23页

培优点十六 利用空间向量求夹角 ‎1．利用面面垂直建系 例1：在如图所示的多面体中，平面平面，四边形为边长为2的菱形，‎ 为直角梯形，四边形为平行四边形，且，，．‎ ‎（1）若，分别为，的中点，求证：平面；‎ ‎（2）若，与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）连接，∵四边形为菱形，∴．‎ ‎∵平面平面，平面平面，平面，，‎ ‎∴平面．又平面，∴．‎ ‎∵，∴．∵，∴平面．‎ ‎∵分别为，的中点，∴，∴平面．‎ ‎（2）设，由（1）得平面，‎ 由，，得，．‎ 过点作，与的延长线交于点，取的中点，连接，，‎ 如图所示，‎ 又，∴为等边三角形，∴，‎ 又平面平面，平面平面，平面，‎ 故平面．‎ ‎∵为平行四边形，∴，∴平面．‎ 又∵，∴平面．‎ ‎∵，∴平面平面．‎ 由（1），得平面，∴平面，∴．‎ ‎∵，∴平面，∴是与平面所成角．‎ ‎∵，，∴平面，平面，∵，‎ ‎∴平面平面．‎ ‎∴，，解得．‎ 在梯形中，易证，‎ 分别以，，的正方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系．‎ 则，，，，，，‎ 由，及，得，‎ ‎∴，，．‎ 设平面的一个法向量为，由得，‎ 令，得 设平面的一个法向量为，由得，‎ 令，得．∴，‎ 又∵二面角是钝角，∴二面角的余弦值是．‎ ‎2．线段上的动点问题 例2：如图，在中，，，，沿将翻折到的位置，‎ 使平面平面．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若在线段上有一点满足，且二面角的大小为，‎ 求的值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）中，由余弦定理，可得．∴，‎ ‎∴，∴．作于点，‎ ‎∵平面平面，平面平面，∴平面．‎ ‎∵平面，∴．‎ 又∵，，∴平面．‎ 又∵平面，∴．‎ 又，，∴平面．‎ ‎（2）由（1）知，，两两垂直，以为原点，以方向为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，‎ 则，，．设，‎ 则由，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则由，‎ 取．平面的一个法向量可取，‎ ‎∴．‎ ‎∵，∴．‎ ‎3．翻折类问题 例3：如图1，在边长为2的正方形中，为中点，分别将，沿，所在直线折叠，使点与点重合于点，如图2．在三棱锥中，为中点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（3）求二面角的大小．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）．‎ ‎【解析】（1）在正方形中，为中点，，，‎ ‎∴在三棱锥中，，．‎ ‎∵，∴平面．‎ ‎∵平面，∴．‎ ‎（2）取中点，连接，取中点，连接．‎ 过点作的平行线．‎ ‎∵平面，∴，．‎ ‎∵，为的中点，∴．∴．‎ 如图所示，建立空间直角坐标系．‎ ‎，，，．‎ ‎∵，为的中点，∴．‎ ‎∵平面，平面，∴平面平面．‎ ‎∵平面平面，平面，‎ ‎∴平面．∵．‎ ‎∴平面的法向量．．‎ 设直线与平面所成角为，则．‎ ‎∴直线与平面所成角的正弦值为．‎ ‎（3）由（2）知，，．‎ 设平面的法向量为，则有即，‎ 令，则，．即．∴．‎ 由题知二面角为锐角，∴它的大小为．‎ 对点增分集训 一、单选题 ‎1．如图，在所有棱长均为的直三棱柱中，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设的中点，以，，为，，轴建立坐标系，‎ 则，，，，‎ 则，，‎ 设与成的角为，则，故选C．‎ ‎2．在三棱柱中，底面是边长为1的正三角形，侧棱底面，点在棱上，‎ 且，若与平面所成的角为，则的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图，建立空间直角坐标系，易求点．‎ 平面的一个法向量是，∴，则．故选D．‎ ‎3．如图，圆锥的底面直径，高，为底面圆周上的一点，‎ ‎，则空间中两条直线与所成的角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】取中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，‎ 如图所示，‎ ‎∵圆锥的底面直径，高，为底面圆周上的一点，，‎ ‎∴可得，，，，‎ 则，，‎ 设空间两条直线与所成的角为，∴，‎ ‎∴，即直线与所成的角为，故选B．‎ ‎4．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，，平面平面，是的中点，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题可知，，，，‎ 则，，‎ ‎∵是的中点，∴，‎ 设平面的法向量，直线与平面所成角为，‎ 则可取，，故选D．‎ ‎5．如图，在直三棱柱中，，，点与分别是和的中点，点与分别是和上的动点．若，则线段长度的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，，，‎ 则，，‎ 由于，∴，∴，‎ 故，‎ ‎∴当时，线段长度取得最小值，且最小值为．故选A．‎ ‎6．如图，点分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，平面的法向量为，设二面角的大小为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可知，平面的一个法向量为：，‎ 由空间向量的结论可得：．故选C．‎ ‎7．如图所示，五面体中，正的边长为1，平面，，且．‎ 设与平面所成的角为，，若，则当取最大值时，平面与平面所成角的正切值为（ ）‎ A． B．‎1 ‎C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图所示，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ 取的中点，则，则平面的一个法向量为，‎ 由题意，‎ 又由，∴，解得，∴的最大值为，‎ 当时，设平面的法向量为，‎ 则，‎ 取，由平面的法向量为，‎ 设平面和平面所成的角为，‎ 则，∴，∴，故选C．‎ ‎8．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，‎ 则与底面所成角的正弦值等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图，设在平面内的射影为，以为坐标原点，、分别为轴、轴建立空间直角坐标系如图．‎ 设边长为1，则，，‎ ‎∴．又平面的法向量为．‎ 设与底面所成角为，则．‎ 故直线与底面所成角的正弦值为．故选B．‎ ‎9．如图，四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，点在棱上，且，则平面与平面的夹角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】以为坐标原点，以、、所在直线为、、轴，‎ 建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，，∴，‎ 设平面的一个法向量为，则，‎ 取，得，平面的法向量为，‎ ‎∴．∴平面与平面的夹角的余弦值为．故选B．‎ ‎10．在正方体中，直线与平面所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分别以，，为，，轴建立如图所示空间直角坐标系：‎ 设正方体的棱长为1，可得，，，，‎ ‎∴，，，‎ 设是平面的一个法向量，∴，即，‎ 取，得，∴平面的一个法向量为，‎ 设直线与平面所成角为，∴；‎ ‎∴，即直线与平面所成角的余弦值是．故选C．‎ ‎11．已知四边形，，，现将沿折起，使二面角 的大小在内，则直线与所成角的余弦值取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】取中点，连结，，‎ ‎∵．，∴，，且，，‎ ‎∴是二面角的平面角，‎ 以为原点，为轴，为轴，‎ 过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，‎ ‎，，，‎ 设二面角的平面角为，则，‎ 连、，则，，‎ ‎∴，，‎ 设、的夹角为，则，‎ ‎∵，∴，‎ 故，∴．故选A．‎ ‎12．正方体中，点在上运动（包括端点），则与所成角的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】以点为原点，、、所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，点坐标为，‎ 则，，‎ 设、的夹角为，‎ 则，‎ ‎∴当时，取最大值，．‎ 当时，取最小值，．‎ ‎∵，∴与所成角的取值范围是．故选D．‎ 二、填空题 ‎13．如图，在直三棱柱中，，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在直三棱柱中，，，是的中点，∴，．‎ 以为原点，为轴，为轴，过作的垂线为轴，‎ 建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ ‎∴，，‎ 设异面直线与所成角为，则．‎ ‎∴异面直线与所成角的余弦值为．‎ ‎14．已知四棱锥的底面是菱形，，平面，且，点是棱的中点，在棱上，若，则直线与平面所成角的正弦值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】以点建立如图所示的空间直角坐标系，设菱形的边长为2，‎ 则， ，，∴，‎ 平面的一个法向量为，‎ 则，‎ 即直线与平面所成角的正弦值为．‎ ‎15．设，是直线，，是平面，，，向量在上，向量在上，，，则，所成二面角中较小的一个的余弦值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∵，，向量在上，向量在上，‎ ‎∴，所成二面角中较小的一个余弦值为，故答案为．‎ ‎16．在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，，，，，则当变化时，直线与平面所成角的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图建立空间直角坐标系，得，，，‎ ‎，‎ 设平面的法向量，，，‎ ‎∴，得，‎ 又，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，则 三、解答题 ‎17．如图所示：四棱锥，底面为四边形，，，，平面平面，，，，‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若四边形中，，是否在上存在一点，使得直线与平面 所成的角的正弦值为，若存在，求的值，若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）存在，．‎ ‎【解析】（1）设，连接 ‎，为中点 又，‎ 平面平面，平面平面 平面，而平面 在中，由余弦定理得，‎ ‎，而 平面．‎ ‎（2）过作垂线记为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系：‎ ‎，，，，‎ ‎，，设 ‎，‎ 设平面法向量为，‎ ‎∴，取，‎ 设与平面所成角为，‎ ‎，‎ 解，．‎ ‎18．如图，在斜三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，，．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求二面角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）取的中点，连接，，‎ ‎∵底面是边长为2的正三角形，∴，且，‎ ‎∵，，，∴，‎ ‎∴，又∵，∴，‎ ‎∴，又∵，∴平面，又∵平面，‎ ‎∴平面平面．‎ ‎（2）如图所示，‎ 以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，其中，‎ 则，，，，‎ ‎∴，，，‎ 设为平面的法向量，‎ 则，即，令，得；‎ 设为平面的法向量，则，即，‎ 令，得；∴，‎ ‎∴二面角的正弦值为．‎