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- 2021-06-16 发布
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1.了解基本不等式的证明过程。
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。
热点题型一 利用基本不等式求最值
例1、 [2017·天津高考 若a,b∈R,ab>0,则的最小值为________.
【答案】4
【变式探究】(1)若x<,则y=x+的最大值为________。
(2)设x≥0,y≥0,x2+=1,则x的最大值为________。
【解析】(1)y=x+=x-++
=-+
≤-2+=-,
当且仅当-x=,即x=-时等号成立。
(2)∵x≥0,y≥0,x2+=1,
∴x==
≤×=×=,
当且仅当x=,y=时,x取得最大值。
【提分秘籍】
利用基本不等式求最值的常用技巧
(1)若直接满足基本不等式条件,则直接应用基本不等式。
(2)若不直接满足基本不等式条件,则需要创造条件对式子进行恒等变形,如构造“1”的代换等。
(3)若一次应用基本不等式不能达到要求,需多次应用基本不等式,但要注意等号成立的条件必须要一致。
提醒:若可用基本不等式,但等号不成立,则一般是利用函数单调性求解。
【举一反三】
已知x>0,y>0,且x+y=1,则+的最小值是________。
【答案】7+4
热点题型二 基本不等式的实际应用
例2、【2017江苏,10】某公司一年购买某种货物600吨,每次购买吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是 ▲ .
【答案】30
【解析】总费用,当且仅当,即时等号成立.
【变式探究】某厂家拟在2017年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x=3-( 为常数)。如果不搞促销活动,则该产品的年销量只能是1万件。已知2017年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)。
(1)将该厂家2017年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数;
(2)该厂家2017年的年促销费用投入多少万元时,厂家利润最大?
(2)∵m≥0,+(m+1)≥2=8, .
∴y≤-8+29=21,
当且仅当=m+1⇒m=3(万元)时,ymax=21(万元)。
故该厂家2017年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大为21万元。
【提分秘籍】
利用基本不等式求解实际应用题的方法
(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题,如“物价、销售、税收、原材料”等,题目往往较长,解题时需认真阅读,从中提炼出有用信息,建立数模型,转化为数问题求解。
(2)当运用基本不等式求最值时,若等号成立的自变量不在定义域内时,就不能使用基本不等式求解,此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解。
【举一反三】
某化工企业2016年底投入100万元,购入一套污水处理设备。该设备每年的运转费用是0.5万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加2万元。设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位:万元)。
(1)用x表示y;
(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时,企业需要重新更换新的污水处理设备。则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备。
【解析】(1)由题意得,
y=,
即y=x++1.5(x∈N )。
(2)由基本不等式得:
y=x++1.5≥2+1.5=21.5,
当且仅当x=,即x=10时取等号。
故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备。
热点题型三 基本不等式的综合应用
例3.(1)若点A(1,1)在直线mx+ny-2=0上,其中mn>0,则+的最小值为________。
(2)已知a>0,b>0,若不等式+≥恒成立,则m的最大值为( )
A.9 B.12
C.18 D.24
【提分秘籍】
基本不等式综合问题的解题策略
(1)应用基本不等式判断不等式是否成立:对所给不等式(或式子)变形,然后利用基本不等式求解。
(2)条件不等式的最值问题:通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解。
(3)求参数的值域范围:观察题目特点,利用基本不等式确定相关成立条件,从而得参数的值或范围。
【举一反三】
已知直线ax+by+c-1=0(b,c>0)经过圆x2+y2-2y-5=0的圆心,则+的最小值是( )
A.9 B.8
C.4 D.2
【解析】圆x2+y2-2y-5=0化成标准方程,得x2+(y-1)2=6,
所以圆x2+y2-2y-5=0的圆心为C(0,1),
因为直线ax+by+c-1=0经过圆心C,
所以a×0+b×1+c-1=0,即b+c=1,
因此,+=(b+c)=++5。
因为b,c>0,所以+≥2 =4。
当且仅当=时等号成立。
由此可得b=2c,且b+c=1,即b=,c=时,+取得最小值9,故选A。
1.[2017·山东高考 若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为________.
【答案】8
2.[2017·天津高考 若a,b∈R,ab>0,则的最小值为________.
【解析】∵a4+4b4≥2a2·2b2=4a2b2(当且仅当a2=2b2时“=”成立),
∴≥=4ab+,
由于ab>0,∴4ab+≥2=4,
故当且仅当时,的最小值为4.
【答案】4
3.[2017·江苏高考 某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是________.
【答案】30
1.【2016高考山东文数】若变量x,y满足则x2+y2的最大值是( )
(A)4(B)9(C)10(D)12
【答案】C
【解析】画出可行域如图所示,点A(3,1)到原点距离最大,所以,选C.
2.【2016高考浙江文数】若平面区域 夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
3.【2016高考新课标2文数】若x,y满足约束条件,则的最小值为__________
【答案】
【解析】由得,点,由得,点,由得,点,分别将,,代入得:,,,所以的最小值为.
4.[2016高考新课标Ⅲ文数 若满足约束条件 则的最小值为_____________.
【答案】-10
【解析】作出不等式组满足的平面区域,如图所示,由图知当目标函数经过点时取得最小值,即.
5.【2016高考新课标1文数】某高 技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 g,乙材料1 g,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 g,乙材料0.3 g,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 g,乙材料90 g,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元.
【答案】
6.【2016高考上海文 】若满足 则的最大值为_______.
【答案】-2
【解析】由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示,
令,当直线经过点时,取得最大值. .
1.【2015高考湖南,文7】若实数满足,则的最小值为( )
A、 B、2 C、2 D、4
【答案】C
【解析】,(当且仅当时取等号),所以的最小值为,故选C.
2.【2015高考重庆,文14】设,则的最大值为________.
【答案】
3.【2015高考福建,文5】若直线过点,则的最小值等于( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】由已知得,则,因为,所以,故,当,即时取等号.
4.(2014·辽宁卷)对于c>0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使 2a+b 最大时,-+的最小值为________.
【答案】-2
【解析】由题知2c=-(2a+b)2+3(4a2+3b2).
(4a2+3b2)≥(2a+b)2⇔4a2+3b2≥(2a+b)2,即2c≥(2a+b)2,
当且仅当=,即2a=3b=6λ(同号)时,
2a+b 取得最大值,此时c=40λ2.
-+=-=-2≥-2,
当且仅当a=,b=,c=时,-+取最小值-2.
5.(2014·山东卷)若的展开式中x3项的系数为20,则a2+b2的最小值为________.
【答案】2
【解析】Tr+1=C(ax2)6-r·=Ca6-r·brx12-3r,令12-3r=3,得r=3,所以Ca6-3b3=20,即a3b3=1,所以ab=1,所以a2+b2≥2ab=2,当且仅当a=b,且ab=1时,等号成立.故a2+b2的最小值是2.
6.(2014·福建卷)要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是 ( )
A.80元 B.120元
C.160元 D.240元
【解析】设底面矩形的长和宽分别为a m,b m,则ab=4(m2).容器的总造价为20ab+2(a+b)×10=80+20(a+b)≥80+40=160(元)(当且仅当a=b时等号成立).故选C.
【答案】C
7.(2014·重庆卷)若log4(3a+4b)=log2,则a+b的最小值是________.
【答案】7+4
8.(2014·四川卷)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )
A.2 B.3 C. D.
【答案】B
【解析】由题意可知,F.设A(y,y1),B(y,y2),∴·=y1y2+yy=2,
解得y1y2=1或y1y2=-2.又因为A,B两点位于x轴两侧,所以y1y2<0,即y1y2=-2.
当y≠y时,AB所在直线方程为y-y1=(x-y)= (x-y),