四川省棠湖中学2021届高三数学（理）上学期第一次月考试题（Word版附答案） 13页

‎2020年秋四川省棠湖中学高三第一学月考试 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.若集合，则() ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.在复平面内，复数的共扼复数的对应点位于 ‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.若，则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎4.已知向量，若，则实数 ‎ A． B． C． D．1 ‎ ‎5.已知的展开式的各项系数和为32，则展开式中的系数为 ‎ A．5 B．10 C．15 D．20‎ ‎6.已知一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 ‎ 13‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.各项均为正数的等比数列中，，数列的前项和为.则 ‎ A． B． C．8 D． ‎ ‎8.在中，，则 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎9.已知，则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.已知点在表示的平面区域内，则的最小值为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎11.函数的部分图象大致为 ‎ A. B. ‎ 13‎ C. D. ‎ ‎12.已知函数，方程恰有两个不同的实数根,则的最小值与最大值的和 ‎ A. B. C. D. ‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.已知直线，且，则的值______.‎ ‎14.不等式在区间上的解集为__________．‎ ‎15.在三棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的体积的最小值为______．‎ ‎16.函数，有下列命题：‎ ‎①的图象关于轴对称；‎ ‎②的最小值是2； ‎ ‎③在上是减函数，在上是增函数；‎ ‎④没有最大值．其中正确命题的序号是______ ．（请填上所有正确命题的序号）‎ 三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17.（12分）的内角的对边分别为，已知.‎ ‎（1）求的大小；‎ 13‎ ‎（2）若，求面积的最大值.‎ ‎18.（12分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求直线与平面所成角的正弦值 ‎19.（12分）2019年由“杂交水稻之父”袁隆平团队研发的第三代杂交水稻l0月21日至22日首次公开测产，经测产专家组评定，最终亩产为1046. 3千克.第三代杂交水稻的综合优势，可以推动我国的水稻生产向更加优质、高产、绿色 和可持续方向发展.某企业引进一条先进的年产量为100万件的食品生产线，计划以第三代杂交水稻为原料进行深加工.已知该生产线生产的产品的质量以某项指标值为衡量标准，其产品等级划分如下表.为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，并从中随机抽取了 1000件产品，测量了每件产品的质量指标值，得到如下的产品质量指标值的频率分布直方图.‎ 质量指标值 产品等级 废品 合格 良好 优秀 良好 13‎ ‎（1）若从质量指标值不小于85的产品中，采用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件， 求产品的质量指标值的件数的分布列及数学期望；‎ ‎（2）将频率视为概率，从该产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的产品中至少有1件是合格及以上等级”为事件，求事件发生的概率；‎ ‎（3）若每件产品的质量指标值与利润(单位:元）的关系如下表所示:‎ 质量指标值 利润 试确定的值，使得该生产线的年盈利取得最大值，并求出最大值.（参考数值:)‎ ‎20.（12分）己知椭圆的离心率为分别是椭圈的左、右焦点，椭圆的焦点到双曲线渐近线的距离为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线与椭圆交于两点，以线段为直径的圆经过点，且原点到直线的距离为，求直线的方程.‎ ‎21.（12分）已知函数.‎ ‎（1）求的极值；‎ ‎（2）若方程有三个解，求实数的取值范围.‎ 13‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴建极坐标系．‎ ‎（1）求的极坐标方程；‎ ‎（2）直线的极坐标方程分别为，直线与曲线的交点为，直线与曲线的交点为，求线段的长度.‎ ‎23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知，且．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.‎ 13‎ ‎2020年秋四川省棠湖中学高三第一学月考试 理科数学参考答案 ‎1-5:BDCAA 6-10:DACCA 11-12:AC ‎13.： 14.： 15 16.①④‎ ‎17.（1）由正弦定理得 ‎，又  ‎ ‎，得： ‎ ‎（2）由余弦定理得： ‎ 又（当且仅当时取等号） ‎ ‎∴三角形面积的最大值为： ‎ ‎ ‎ ‎18.（1）证明：取中点，连接 ‎ ‎∵四边形为菱形 又为等边三角形，又为中点 ‎ 为中点 ‎ 13‎ 平面，平面 又平面 ‎ ‎（2）以为原点，可建立如图所示空间直角坐标系：‎ 由题意知：，，‎ 则 ‎ 设平面的法向量 ‎，令，则 ‎ 设直线与平面所成角为.‎ 即直线与平面所成角的正弦值为：.‎ ‎19.：（1）由频率分布直方图可知，质量指标值不小于85的产品中，‎ 的频率为；‎ 的频率为；‎ 13‎ 的频率为.‎ 故利用分层抽样的方法抽取的7件产品中，的有4件，‎ 的有2件，的有1件.‎ 从这7件产品中任取3件，质量指标值的件数的所有可能取值为，则；；.‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 故.‎ ‎（2）设“从该产品中抽取一件为合格及以上等级”的概率为，则根据频率分布直方图可得，‎ 则.‎ ‎（3）由题意可得该产品的质量指标值与对应概率如下表所示；‎ 质量指标值 利润 ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.15‎ ‎0.1‎ ‎0.05‎ 故每件产品的利润，‎ 则，令，则，‎ 故当时，，当时，，‎ 所以当时，取得最大值， （元）.‎ 所以当时，每件产品的利润取得最大值，为0.9元.‎ 13‎ 由已知，该生产线的年产量为100万件，所以该生产线的年盈利的最大值为 (万元）.‎ ‎20.（1）由题意知， ‎ 双曲线方程知，其渐近线方程为：‎ ‎∴焦点到双曲线渐近线距离：，解得：‎ 由椭圆离心率得： ‎ ‎∴椭圆的方程为：‎ ‎（2）原点到直线距离为：，整理得：‎ 设 ‎ 由得：‎ 则，即：‎ ‎∵以为直径的圆过点 又 ‎ 即：‎ 13‎ 由且得：，满足 ‎∴直线方程为：‎ ‎21.（1）的定义域为，，‎ 当时，在上递减，在上递增，所以在处取得极小值，‎ 当时，，所以无极值，‎ 当时，在上递增，在上递减，所以在处取得极大值.‎ ‎（2）设，即，‎ ‎.‎ ‎①若，则当时，单调递减，当时，单调递增，至多有两个零点.‎ ‎②若，则（仅）. 单调递增，至多有一个零点.‎ ‎③若，则，当或时，单调递增；当时，单调递减，要使有三个零点，必须有成立.‎ 由，得，这与矛盾，所以不可能有三个零点.‎ ‎④若，则.当或时，，单调递增；当时，单调递减，要使有三个零点，必须有成立，‎ 13‎ 由，得，由及，得，‎ ‎.‎ 并且，当时，，‎ ‎，‎ ‎.‎ 综上，使有三个零点的的取值范围为.‎ ‎22.（1）由曲线的参数方程为得曲线的直角坐标方程为：，‎ 所以极坐标方程为即．‎ ‎（2）将代入中有，即，‎ 将代入中有，即，‎ 余弦定理得，．‎ ‎23.（1）由柯西不等式得．‎ ‎∴，当且仅当时取等号．∴；‎ ‎（2），‎ 要使得不等式恒成立，即可转化为，‎ 当时，，可得，‎ 13‎ 当时，，可得，‎ 当时，，可得，∴的取值范围为：. ‎ 13‎