2019届二轮复习基本不等式学案（全国通用）(1) 8页

第五讲 基本不等式及其应用 一、知识方法拓展 ‎1. 均值不等式:‎ ‎ 平方平均 代数平均 几何平均 调和平均 注：1.等号成立条件（特别是用基本不等式算最值时要注意等号是否能取到）；‎ ‎2.最常用的是代数平均几何平均；‎ ‎3.用平方平均和调和平均的时候注重形式；‎ ‎4.均值不等式有时需要“配”和“凑”，这也是基本不等式的难点之一。‎ ‎2. 柯西不等式:‎ 注：1.柯西不等式的主要作用是调节系数；‎ ‎ 2.柯西不等式的等号成立条件是：‎ ‎3.排序不等式：‎ ‎ ‎ ‎ 顺序和 乱序和 逆序和 注：1.排序不等式一般应用于 奇次不等式的证明；‎ ‎2.排序不等式对符号没有要求；‎ ‎3.变量的对称性可以用来进行排序。‎ ‎4．基本不等式的应用：‎ 基本不等式主要用来解决多变量的比较大小；求取值范围和恒成立等问题。‎ 在解题的过程中，首先要注意等式的变形；选用合适的基本不等式；‎ 最后需要指出的是，在解题时先把等号成立条件解出来并注意变量之间的对称性常常会给我们带来意想不到的好处。‎ 二、热身练习：‎ ‎1．已知,求的最小值 解：方法 1：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 方法2：由Cauchy不等式 ‎ ‎ 注：由上题可知：在需要对系数进行“配凑”时，Cauchy不等式比均值不等式简单很多。‎ ‎2．（2005，交大）‎ 方程的两根满足，则 。‎ 解： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎3．设为自然数,对任意实数,恒有成立,求 n 的最小值.‎ 解： 恒成立问题，我们分离参量：‎ ‎ 利用平方平均代数平均： （等号在取到）‎ 三、精讲名题：‎ 例1．已知，求证：。‎ 解：反证法：若，则 ‎ ‎ ‎ 矛盾！‎ ‎ 原命题成立。‎ 例2．已知非等边的外接圆半径，，是的三边长，令 ‎，。‎ 求证：。‎ 解：‎ 令 ‎，‎ 上述三个式子相加得： 又为非等边三角形 等号不成立 ‎ 注：若出现，则令，是将变量奇次化的一个重要方法。‎ 例3．若，求证：‎ 解：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例4．非负数和,正数和满足条件，求的最小值?‎ 注：由于对称性，不妨设；‎ ‎ 因为 ；；所以 例5．已知：，求证： ‎ 解：‎ 同理：； ；‎ 注：在进行“配凑”时，我们先考虑等号成立条件，当时，我们得到，得 例6.已知求证：‎ 解：令我们把式子转化成 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以：‎ 四、强化训练 A组：‎ ‎1．已知，成等差数列，成等比数列，求的最小值 解：由等差和等比数列的性质知：；；‎ ‎ 利用均值不等式：‎ ‎2．若，求的最小值 解：‎ ‎3．若，,求的最小值 解：；两边平方得：‎ ‎4．已知.求证：。‎ 注： ‎ ‎ ，，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎5．若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值.‎ 解：由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy,∴+=1,‎ ‎∴x+y=(x+y)=10++‎ ‎ =10+2≥10+2×2×=18,‎ 当且仅当=,即x=2y时取等号，‎ 又2x+8y-xy=0,∴x=12,y=6,‎ ‎∴当x=12,y=6时，x+y取最小值18.‎ ‎6。某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计.‎ ‎（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；‎ ‎（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.‎ 解 （1）设污水处理池的宽为x米，则长为米. ‎ 则总造价f(x)=400×+248×2x+80×162‎ ‎=1 296x++12 960‎ ‎=1 296+12 960 ‎ ‎≥1 296×2+12 960=38 880（元），‎ 当且仅当x=(x＞0),‎ 即x=10时取等号. ‎ ‎∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880元. ‎ ‎（2）由限制条件知,∴10≤x≤16. ‎ 设g(x)=x+.‎ g(x)在上是增函数，‎ ‎∴当x=10时(此时=16),‎ g(x)有最小值，即f(x)有最小值. ‎ ‎1296×+12 960=38 882(元).‎ ‎∴当长为16米，宽为10米时，‎ 总造价最低，为38 882元. ‎ ‎7.已知,a,b,c均为正数，且a+b+c=1.‎ 求证：++≥9.‎ 证明 ++= ++‎ ‎=3+++‎ ‎≥3+2+2+2=9.‎ ‎ 当且仅当a=b=c=时取等号.‎ ‎8.若-4＜x＜1,求的最大值.‎ 解 =·=‎ ‎=-‎ ‎∵-4＜x＜1,∴-(x-1)＞0,＞0.‎ 从而≥2‎ ‎-≤-1‎ 当且仅当-(x-1)= ，‎ 即x=2（舍）或x=0时取等号.‎ B组：‎ ‎1．已知求证：‎ 注：‎ ‎2．设且.求的最小值.‎ 注：利用柯西不等式：‎ ‎3．已知为任何两两各不相同的正整数,求证：对任何正整数 n,下列不等式成立： ‎ 注：利用柯西不等式 ‎ ‎4．若且，求的最小值 注：利用柯西不等式： ‎