【数学】2020届一轮复习人教A版空间直角坐标系空间向量及其运算课时作业 9页

空间直角坐标系、空间向量及其运算 ‎(30分钟　60分)‎ 一、选择题(每小题5分，共25分) ‎ ‎1.(2018北京,文6)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 答案C 解析由三视图得到空间几何体,如图所示,则PA⊥平面ABCD,平面ABCD为直角梯形,PA=AB=AD=2,BC=1,‎ 所以PA⊥AD,PA⊥AB,PA⊥BC.‎ 又BC⊥AB,AB∩PA=A,‎ 所以BC⊥平面PAB,‎ 所以BC⊥PB.‎ 在△PCD中,PD=2,PC=3,CD=,‎ 所以△PCD为锐角三角形.‎ 所以侧面中的直角三角形为△PAB,△PAD,△PBC,共3个.‎ ‎2.(2018广西南宁期末)设l,m,n表示不同的直线,α,β,γ表示不同的平面,给出下列四个命题:‎ ‎①若m∥l,且m⊥α,则l⊥α;‎ ‎②若α⊥β,m∥α,n⊥β,则m⊥n;‎ ‎③若α⊥β,γ⊥β,则α∥γ;‎ ‎④若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α⊥β.‎ 则错误的命题个数为(　　)‎ A.4 B.3 C.2 D.1‎ 答案B 解析①若m∥l,且m⊥α,则l⊥α是正确的,垂直于同一个平面的直线互相平行;‎ ‎②若α⊥β,m∥α,n⊥β,则m⊥n是错误的,当m和n平行时,也会满足前面的条件;‎ ‎③若α⊥β,γ⊥β,则α∥γ是错误的,垂直于同一个平面的两个平面可以是相交的;‎ ‎④若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α⊥β是错误的,平面β和α可以是任意的夹角.故选B.‎ ‎3.已知四棱锥P-ABCD的顶点都在球O上,底面ABCD是矩形,平面PAD⊥平面ABCD,△PAD为正三角形,AB=2AD=4,则球O的表面积为(　　)‎ A. B. C.24π D.‎ 答案B 解析令△PAD所在圆的圆心为O1,则易得圆O1的半径r=,因为平面PAD⊥平面ABCD,所以OO1=AB=2,所以球O的半径R=,‎ 所以球O的表面积=4πR2=.‎ ‎4.‎ 如图,已知直平行六面体ABCD-A1B1C1D1的各条棱长均为3,∠BAD=60°,长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动,另一个端点N在底面ABCD上运动,则MN的中点P的轨迹(曲面)与共顶点D的三个面所围成的几何体的体积为(　　)‎ A. B. C. D.‎ 答案A 解析|MN|=2,则|DP|=1,‎ 则点P的轨迹为以D为球心,半径r=1的球,‎ 则球的体积为V=π·r3=.‎ ‎∵∠BAD=60°,∴∠ADC=120°,120°为360°的,只取半球的,则V=‎ ‎5.有4个命题：①若p=xa+yb，则p与a，b共面；②若p与a，b共面，则p=xa+yb；③若=x+y，则P，M，A，B共面；④若P，M，A，B共面，则=x+y.其中真命题的个数是 (　　)‎ A.1 B‎.2 ‎ C.3 D.4‎ ‎【解析】选B.由共面向量基本定理可知①③正确，②中若a，b共线，p与a不共线，则p=xa+yb就不成立，④中若M，A，B共线，点P不在此直线上，则=x+y不正确.‎ 二、填空题(每小题5分，共15分)‎ ‎6.已知向量a=(0，-1，1)，b=(4，1，0)，|λa+b|=且λ>0，则λ=_______. ‎ ‎【解析】a=(0，-1，1)，b=(4，1，0)，‎ 所以λa+b=(4，1-λ，λ)，‎ 所以16+(λ-1)2+λ2=29(λ>0)，所以λ=3.‎ 答案：3‎ ‎7.已知O(0，0，0)，A(-2，2，-2)，B(1，4，-6)，C(x，-8，8)，若OC⊥AB，则x=_______；若O，A，B，C四点共面，则x=_______. ‎ ‎【解析】由题意得，=(x，-8，8)，‎ ‎=(3，2，-4)，‎ 所以OC⊥AB⇒·=3x-16-32=0，‎ 所以x=16；若O，A，B，C四点共面，所以存在唯一的实数λ，μ使得，=‎ λ+μ，‎ 所以(x，-8，8)=λ(-2，2，-2)+μ(1，4，-6)，‎ 所以 答案：16　8‎ ‎8.已知点P为棱长等于2的正方体ABCD-A1B‎1C1D1内部一动点，且||=2，则·的值达到最小时，与夹角大小为_______. ‎ ‎【解析】 由题意得，取C1D1中点M，‎ 则·=(+)(+) ‎ ‎=-=-1，‎ 因为|PA|=2，所以P在以A为球心2为半径的球面上，‎ 所以||min=AM-2=3-2=1，因为PM=C1D1，所以PD1⊥PC1，所以与的夹角为90°.‎ 答案：90°‎ 三、解答题(每小题10分，共20分)‎ ‎9.在平行六面体ABCD-A1B‎1C1D1中，设=a，=b，=c，E，F分别是AD1，BD的中点.‎ ‎(1)用向量a，b，c表示，.‎ ‎(2)若=xa+yb+zc，求实数x，y，z的值.‎ ‎【解析】(1)如图，‎ ‎=+=-+-=a-b-c，‎ ‎=+=+‎ ‎=-(+)+(+)=(a-c).‎ ‎(2)=(+)‎ ‎=(-+)=(-c+a-b-c)‎ ‎=a-b-c，所以x=，y=-，z=-1.‎ ‎10.斜三棱柱OAB-CA1B1，其中向量=a，=b，=c，三个向量之间的夹角均为，点M，N分别在CA1，BA1上且=，=，||=2，||=2，||=4，如图.‎ ‎(1)把向量用向量a，c表示出来，并求||.‎ ‎(2)把向量用a，b，c表示.‎ ‎(3)求异面直线AM与ON所成角的余弦值.‎ ‎【解析】(1)=++=-a+c+a=-a+c，‎ 所以==‎ ‎.‎ ‎(2)=(+)=(++)=‎ ‎(a+b+c)=a+b+c.‎ 所以cos<，>===，‎ 所以异面直线AM与ON所成角的余弦值为.‎ ‎(20分钟　40分)‎ ‎1.(5分)已知空间直角坐标系中O为原点，A(0，0，3)，B(0，4，0)，C(5，0，0)，则经过O，A，B，C四点的球的体积为 (　　)‎ A.50π B.π C.π 　D.π ‎【解析】选B.根据四个点的坐标可知，这四个点构成直角四面体，补形为长方体后，对角线长为=5，四面体的外接球就是长方体的外接球，直径为5，所以所求的球的体积为=.‎ ‎2.(5分)(2018·景德镇检测)在空间直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标分别是A(-1，2，3)，B(2，-2，3)，C，则△ABC是_____三角形 (　　) ‎ A.等腰 B.锐角 C.直角 D.钝角 ‎【解析】选C.因为△ABC的顶点坐标分别是A(-1，2，3)，B(2，-2，3)，C，‎ 所以=(3，-4，0)，=，‎ ‎=，‎ ‎||=5，||=，||=，‎ cos C==0，所以C=90°，所以△ABC是直角三角形.‎ ‎3.(5分)如图所示的一块长方体木料中，已知AB=BC=4，AA1=1，设E为底面ABCD的中心，且=λ(0≤λ≤)，则该长方体中经过点A1，E，F的截面面积的最小值为_________.  ‎ ‎【解析】以AA1为z轴，AB为y轴，AD为x轴，建立空间直角坐标系，连接FE并延长交BC于K，则K(4-4λ，4，0)，A1(0，0，1)，F(4λ，0，0)，则=(4-8λ，4，0)， =(-4λ，0，1)，‎ S=sin∠A1FK，则 S2= -‎ ‎=[(4-8λ)2+16](16λ2+1)-[-4λ(4-8λ)]2=‎ ‎32(10λ2-2λ+1)，0≤λ≤，所以最小值为，所以面积的最小值为.‎ 答案：‎ ‎4.(12分)如图，在平行六面体ABCD-A1B‎1C1D1中，AB=5，AD=3，AA1=4，∠DAB=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，E是CC1的中点，设=a，=b，=c.‎ ‎(1)用a，b，c表示.‎ ‎(2)求AE的长. ‎ ‎【解析】(1)=++=a+b+c.‎ ‎(2)||2=(a+b+c)2‎ ‎=a2+b2+c2+‎2a·b+a·c+b·c ‎=25+9+4+0+(20+12)·cos 60°=54.‎ 所以||=3，即AE的长为3.‎ ‎5.(13分)如图所示，在正方体ABCD-A1B‎1C1D1中，M是AB上一点，N是A‎1C的中点.‎ ‎(1)求证：AD1⊥平面A1DC. ‎ ‎(2)若MN⊥平面A1DC，求证：M是AB的中点.‎ ‎【解析】(1)以D为原点，以DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，如图，‎ 设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，C(0，2，0)，所以=，=(-2，0，-2)，=(0，2，0)，所以·=0，·=0，所以⊥，⊥，又因为A1D∩DC=D，所以AD1⊥平面A1DC.‎ ‎(2)因为M在AB上，所以设=m=m(0，2，0)，所以=+=(2，‎2m，0)，即M(2，‎2m，0)，因为N是A‎1C的中点，所以N(1，1，1)，所以=(-1，1‎-2m，1)，因为MN⊥平面A1DC，AD1⊥平面A1DC，所以AD1∥MN，所以1‎-2m=0，所以m=，所以M是AB的中点.‎