【数学】2020届一轮复习（理）通用版9-1直线方程与圆的方程作业 11页

专题九　平面解析几何 ‎【真题典例】‎ ‎9.1　直线方程与圆的方程 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 ‎1.直线 方程 ‎①在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线的几何要素;②理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式;‎ ‎③掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系 ‎2015课标Ⅰ,20,12分 直线方程 抛物线的 几何性质 ‎★★☆‎ ‎2.圆的 方程 ‎①掌握圆的几何要素;‎ ‎②掌握圆的标准方程与一般方程 ‎2018课标Ⅱ,19,12分 直线方程与圆的方程 抛物线的几何性质 ‎★☆☆‎ ‎2017课标Ⅲ,20,12分 直线方程与圆的方程 两直线垂直与 其斜率的关系 ‎2016课标Ⅱ,4,5分 圆的方程 点到直线距离公式 ‎2015课标Ⅰ,14,5分 圆的方程 椭圆的几何性质 分析解读　　从近5年高考情况来看,对本节主要考查直线方程和圆的方程的求法,常以选择题、填空题的形式出现,难度中等,解答时应充分利用分类讨论、数形结合的思想.在解决有关圆的问题时应充分利用圆的几何性质简化运算.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　直线方程 ‎1.(2017吉林梅河口校级二模,4)已知角α是第二象限角,直线2x+ytan α+1=0的斜率为‎8‎‎3‎,则cos α等于(　　)‎ A.‎3‎‎5‎　　　　B.-‎3‎‎5‎　　　　C.‎4‎‎5‎　　　　D.-‎‎4‎‎5‎ 答案　D　‎ ‎2.(2018江西九江月考,5)经过点A(1,2)且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为(　　)‎ A.y=2x或x-y+1=0‎ B.y=2x或x+y-3=0‎ C.x+y-3=0或x-y+1=0‎ D.y=2x或x+y-3=0或x-y+1=0‎ 答案　D　‎ 考点二　圆的方程 ‎1.(2018广东珠海四校4月联考,8)已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的标准方程为(　　)‎ A.(x+1)2+(y-1)2=2　　　　B.(x-1)2+(y+1)2=2‎ C.(x-1)2+(y-1)2=2　　　　D.(x+1)2+(y+1)2=2‎ 答案　B　‎ ‎2.(2017河南豫北名校4月联考,4)与圆(x-2)2+y2=4关于直线y=‎3‎‎3‎x对称的圆的方程是(　　)‎ A.(x-‎3‎)2+(y-1)2=4　　　　B.(x-‎2‎)2+(y-‎2‎)2=4‎ C.x2+(y-2)2=4　　　　D.(x-1)2+(y-‎3‎)2=4‎ 答案　D　‎ ‎3.(2018甘肃兰州模拟,7)已知点A是直角三角形ABC的直角顶点,且A(2a,2),B(-4,a),C(2a+2,2),则△ABC的外接圆的方程是(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.x2+(y-3)2=5　　　　B.x2+(y+3)2=5‎ C.(x-3)2+y2=5　　　　D.(x+3)2+y2=5‎ 答案　D　‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法1　直线的倾斜角与斜率的求解方法　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ ‎1.(2018陕西延安期中,5)直线a2x-b2y=1(其中a,b∈R,且ab≠0)的倾斜角的取值范围为(　　)‎ A.‎0,‎π‎2‎　　　　B.‎π‎4‎‎,‎‎3π‎4‎ C.π‎2‎‎,‎‎3π‎4‎　　　　D.‎π‎2‎‎,π 答案　A　‎ ‎2.(2018湖北黄冈模拟,4)直线x-ysin θ+1=0的倾斜角的取值范围是(　　)‎ A.π‎4‎‎,‎‎3π‎4‎　　　　B.‎0,‎π‎4‎∪‎‎3π‎4‎‎,π C.‎0,‎π‎4‎　　　　D.π‎4‎‎,‎π‎2‎∪‎π‎2‎‎,‎‎3π‎4‎ 答案　A　‎ ‎3.(2017河南豫南九校联考,5)若θ是直线l的倾斜角,且sin θ+cos θ=‎5‎‎5‎,则l的斜率为(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.-‎1‎‎2‎　　　　B.-‎1‎‎2‎或-2　　　　C.‎1‎‎2‎或2　　　　D.-2‎ 答案　D　‎ 方法2　解与圆有关的最值问题的方法 ‎1.(2017湖南长沙二模,5)圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2距离的最大值是(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.1+‎2‎　　　　B.2　　　　C.1+‎2‎‎2‎　　　　D.2+2‎‎2‎ 答案　A　‎ ‎2.(2018河南洛阳期末)已知正数x,y满足x2+y2=1,则‎3‎x+y的取值范围是(　　)‎ A.(1,‎3‎]　　　　B.(1,2]　　　　C.(‎3‎,2]　　　　D.(2,2‎3‎)‎ 答案　B　‎ ‎3.(2018福建长汀模拟,10)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻且系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是:已知动点M与两定点A、B的距离之比为λ(λ>0,λ≠1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.如动点M与两定点A‎9‎‎5‎‎,0‎、B(5,0)的距离之比为‎3‎‎5‎时的阿波罗尼斯圆为x2+y2=9.下面,我们来研究与此相关的一个问题:已知圆O:x2+y2=1上的动点M和定点A‎-‎1‎‎2‎,0‎,已知点B(1,1),则2|MA|+|MB|的最小值为(　　)‎ A.‎6‎　　　　B.‎7‎　　　　C.‎10‎　　　　D.‎‎11‎ 答案　C　‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　统一命题·课标卷题组 考点一　直线方程 ‎　(2015课标Ⅰ,20,12分)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=x‎2‎‎4‎与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点.‎ ‎(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;‎ ‎(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.‎ 解析　(1)由题设可得M(2a,a),N(-2a,a)或M(-2a,a),N(2a,a).‎ 又y'=x‎2‎,故y=x‎2‎‎4‎在x=2a处的导数值为a,C在点(2a,a)处的切线方程为y-a=a(x-2a),即ax-y-a=0.‎ y=x‎2‎‎4‎在x=-2a处的导数值为-a,C在点(-2a,a)处的切线方程为y-a=-a(x+2a),即ax+y+a=0.‎ 故所求切线方程为ax-y-a=0和ax+y+a=0.(5分)‎ ‎(2)存在符合题意的点,证明如下:‎ 设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.‎ 将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0.‎ 故x1+x2=4k,x1x2=-4a.‎ 从而k1+k2=y‎1‎‎-bx‎1‎+y‎2‎‎-bx‎2‎=‎2kx‎1‎x‎2‎+(a-b)(x‎1‎+x‎2‎)‎x‎1‎x‎2‎=k(a+b)‎a.‎ 当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-a)符合题意.(12分)‎ 疑难突破　要使∠OPM=∠OPN,只需直线PM与直线PN的斜率互为相反数.‎ 考点二　圆的方程 ‎1.(2016课标Ⅱ,4,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.-‎4‎‎3‎　　　　B.-‎3‎‎4‎　　　　C.‎3‎　　　　D.2‎ 答案　A　‎ ‎2.(2015课标Ⅰ,14,5分)一个圆经过椭圆x‎2‎‎16‎+y‎2‎‎4‎=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为　　　　　　　　. ‎ 答案　x-‎‎3‎‎2‎‎2‎+y2=‎‎25‎‎4‎ ‎3.(2018课标Ⅱ,19,12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.‎ ‎(1)求l的方程;‎ ‎(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.‎ 解析　(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0),‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 由y=k(x-1),‎y‎2‎‎=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.‎ Δ=16k2+16>0,故x1+x2=‎2k‎2‎+4‎k‎2‎.‎ 所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=‎4k‎2‎+4‎k‎2‎.‎ 由题设知‎4k‎2‎+4‎k‎2‎=8,解得k=-1(舍去),或k=1,‎ 因此l的方程为y=x-1.‎ ‎(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.‎ 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则 y‎0‎‎=-x‎0‎+5,‎‎(x‎0‎+1‎)‎‎2‎=‎(y‎0‎-x‎0‎+1‎‎)‎‎2‎‎2‎+16.‎解得x‎0‎‎=3,‎y‎0‎‎=2‎或x‎0‎‎=11,‎y‎0‎‎=-6.‎ 因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.‎ 方法总结　有关抛物线的焦点弦问题,常用抛物线的定义进行转化求解,在求解过程中应注重利用根与系数的关系进行整体运算.一般地,求直线和圆的方程时,利用待定系数法求解.‎ ‎4.(2017课标Ⅲ,20,12分)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.‎ ‎(1)证明:坐标原点O在圆M上;‎ ‎(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.‎ 解析　本题考查直线与圆锥曲线的位置关系.‎ ‎(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.‎ 由x=my+2,‎y‎2‎‎=2x可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.‎ 又x1=y‎1‎‎2‎‎2‎,x2=y‎2‎‎2‎‎2‎,故x1x2=‎(‎y‎1‎y‎2‎‎)‎‎2‎‎4‎=4.‎ 因此OA的斜率与OB的斜率之积为y‎1‎x‎1‎·y‎2‎x‎2‎=‎-4‎‎4‎=-1,所以OA⊥OB.‎ 故坐标原点O在圆M上.‎ ‎(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.‎ 故圆心M的坐标为(m2+2,m),‎ 圆M的半径r=‎(m‎2‎+2‎)‎‎2‎+‎m‎2‎.‎ 由于圆M过点P(4,-2),因此 AP·BP=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,‎ 即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.‎ 由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.‎ 所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-‎1‎‎2‎.‎ 当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为‎10‎,圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.‎ 当m=-‎1‎‎2‎时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为‎9‎‎4‎‎,-‎‎1‎‎2‎,圆M的半径为‎85‎‎4‎,圆M的方程为x-‎‎9‎‎4‎‎2‎+y+‎‎1‎‎2‎‎2‎=‎85‎‎16‎.‎ 解后反思　直线与圆锥曲线相交问题,常联立方程,消元得到一个一元二次方程,然后利用根与系数的关系处理.以某线段为直径的圆的方程,也可以用该线段的两端点坐标(x1,y1)、(x2,y2)表示:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.‎ B组　自主命题·省(区、市)卷题组 ‎1.(2014陕西,12,5分)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为　　　　　　　　. ‎ 答案　x2+(y-1)2=1‎ ‎2.(2016江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).‎ ‎(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;‎ ‎(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;‎ ‎(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得TA+TP=TQ,求实数t的取值范围.‎ 解析　圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.‎ ‎(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).‎ 因为圆N与x轴相切,与圆M外切,‎ 所以00,r>0),则有‎(1-a‎)‎‎2‎+(‎7‎‎)‎‎2‎=r‎2‎,‎‎7‎‎1-a‎·‎3‎‎7‎=-1,‎解得a=4,‎r=4,‎ 所以圆M的方程为(x-4)2+y2=16.‎ ‎(2)由题意知∠AOB=π‎2‎,‎ 设直线OA的斜率为k(k≠0),则直线OB的斜率为-‎1‎k,直线OA的方程为y=kx,‎ 直线OB的方程为y=-‎1‎kx.‎ 由y=kx,‎x‎2‎‎+y‎2‎-8x=0,‎得(1+k2)x2-8x=0,‎ 解得x=0,‎y=0‎或x=‎8‎‎1+‎k‎2‎,‎y=‎8k‎1+‎k‎2‎,‎则点A的坐标为‎8‎‎1+‎k‎2‎‎,‎‎8k‎1+‎k‎2‎.‎ 同理可得点B的坐标为‎8‎k‎2‎‎1+‎k‎2‎‎,‎‎-8k‎1+‎k‎2‎.‎ 又由题意知,C(8,8k),D‎8,-‎‎8‎k,因此,S‎1‎S‎2‎=OA·OBOC·OD,‎ 又OAOC=xAxC=‎8‎‎1+‎k‎2‎‎8‎=‎1‎‎1+‎k‎2‎,同理OBOD=xBxD=k‎2‎‎1+‎k‎2‎,‎ 所以S‎1‎S‎2‎=k‎2‎k‎4‎‎+2k‎2‎+1‎=‎1‎k‎2‎‎+‎1‎k‎2‎+2‎≤‎1‎‎4‎,当且仅当|k|=1时取等号,又S‎1‎S‎2‎>0,所以S‎1‎S‎2‎的取值范围是‎0,‎‎1‎‎4‎.‎ ‎12.(2018广东深圳3月联考,19)如图,直角三角形ABC的顶点A的坐标为(-2,0),直角顶点B的坐标为(0,-2‎2‎),顶点C在x轴上,点P为线段OA的中点.‎ ‎(1)求BC边所在直线方程;‎ ‎(2)若M为直角三角形ABC外接圆的圆心,求圆M的方程;‎ ‎(3)在(2)的条件下,若动圆N过点P且与圆M内切,求动圆N的圆心的轨迹方程.‎ 解析　(1)易知kAB=-‎2‎,AB⊥BC,∴kCB=‎2‎‎2‎,‎ ‎∴BC边所在直线方程为y=‎2‎‎2‎x-2‎2‎.‎ ‎(2)由(1)及题意得C(4,0),∴M(1,0),‎ 又∵AM=3,∴外接圆M的方程为(x-1)2+y2=9.‎ ‎(3)∵圆N过点P(-1,0),∴PN是动圆的半径,‎ 又∵动圆N与圆M内切,‎ ‎∴MN=3-PN,即MN+PN=3,‎ ‎∴点N的轨迹是以M,P为焦点,长轴长为3的椭圆.‎ ‎∵P(-1,0),M(1,0),∴a=‎3‎‎2‎,c=1,b=a‎2‎‎-‎c‎2‎=‎5‎‎4‎,‎ ‎∴所求轨迹方程为x‎2‎‎9‎‎4‎+y‎2‎‎5‎‎4‎=1,即‎4‎x‎2‎‎9‎+‎4‎y‎2‎‎5‎=1.‎ 思路分析　(1)由kAB=-‎2‎,AB⊥BC,知kBC=‎2‎‎2‎,由此求BC边所在直线的方程;(2)由(1)中的方程,令y=0,得C(4,0),从而得圆心与半径,进而得出圆M的方程;(3)利用两圆内切得MN+PN=3,利用椭圆定义得点N的轨迹,从而得轨迹方程.‎