【数学】2020届一轮复习人教B版（文）第八章38直线、平面垂直的判定与性质作业 11页

‎【课时训练】直线、平面垂直的判定与性质 一、选择题 ‎1．(2018天津河西模拟)设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是(　　)‎ A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β C．若α⊥β，l⊥α，则l∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β ‎【答案】B ‎【解析】A中，α∥β或α与β相交，不正确．‎ B中，过直线l作平面γ，设α∩γ＝l′，则l′∥l，由l⊥β，知l′⊥β，从而α⊥β，B正确．‎ C中，l∥β或l⊂β，C不正确．‎ 对于D中，l与β的位置关系不确定．‎ ‎2．(2018河南师大附中期末)如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是(　　)‎ A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE C．平面PDF⊥平面PAE D．平面PDE⊥平面ABC ‎【答案】D ‎【解析】因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊂平面PDF，‎ 所以BC∥平面PDF，故选项A正确．‎ 在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，DF∥BC，‎ 所以BC⊥平面PAE，则DF⊥平面PAE，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B，C均正确．‎ ‎3．(2018哈尔滨联考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下面结论正确的是(　　)‎ A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α ‎【答案】C ‎【解析】A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊥α，错误；‎ B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；‎ C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；‎ D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．‎ ‎4．(2018长沙一模)如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是(　　)‎ A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BCD C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE ‎【答案】C ‎【解析】因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，‎ 同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.‎ ‎5．(2018福建泉州模拟)如图，在下列四个正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是(　　)‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，图形EFMNQG是一个平面图形，直线BD1与平面EFMNQG垂直，并且选项A，B，C中的平面EFG与这个平面重合，满足题意，只有选项D中的直线BD1与平面EFG不垂直．故选D.‎ ‎6．(2018贵州贵阳二模)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，则下列说法正确的是(　　)‎ A．O是△AEF的垂心 B．O是△AEF的内心 C．O是△AEF的外心 D．O是△AEF的重心 ‎【答案】A ‎【解析】如图，由题意可知PA，PE，PF两两垂直，‎ 所以PA⊥平面PEF.从而PA⊥EF，而PO⊥平面AEF，则PO⊥EF，因为PO∩PA＝P，所以EF⊥平面PAO.‎ 所以EF⊥AO.同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，‎ 所以O为△AEF的垂心．‎ 二、填空题 ‎7．(2018吉林九校联考)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)‎ ‎【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC等)‎ ‎【解析】由定理可知BD⊥PC，‎ ‎∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD.‎ 又PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.‎ ‎8．(2018云南检测)如图，在三棱柱ABC－A1B‎1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝‎2a，BB1＝‎3a，D是A‎1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.‎ ‎【答案】A或‎2a ‎【解析】∵B1D⊥平面A1ACC1，∴CF⊥B1D.‎ 为了使CF⊥平面B1DF，只要使CF⊥DF(或CF⊥B‎1F)．‎ 设AF＝x，则CD2＝DF2＋FC2，‎ ‎∴x2－3ax＋‎2a2＝0，解得x＝a或x＝‎2a.‎ 三、解答题 ‎9．(2018广东七校联考)如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点．‎ 求证：(1)AN∥平面A1MK；‎ ‎(2)平面A1B‎1C⊥平面A1MK.‎ ‎【证明】(1)如图所示，连接NK. ‎ 在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，‎ ‎∵四边形AA1D1D，DD‎1C1C都为正方形，‎ ‎∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，C1D1∥CD，C1D1＝CD.‎ ‎∵N，K分别为CD，C1D1的中点，‎ ‎∴DN∥D1K，DN＝D1K.‎ ‎∴四边形DD1KN为平行四边形．‎ ‎∴KN∥DD1，KN＝DD1.∴AA1∥KN，AA1＝KN.‎ ‎∴四边形AA1KN为平行四边形．∴AN∥A1K.‎ ‎∵A1K⊂平面A1MK，AN⊄平面A1MK，‎ ‎∴AN∥平面A1MK.‎ ‎(2)如图所示，连接BC1.在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1.‎ ‎∵M，K分别为AB，C1D1的中点，‎ ‎∴BM∥C1K，BM＝C1K.‎ ‎∴四边形BC‎1KM为平行四边形．∴MK∥BC1.‎ 在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，A1B1⊥平面BB‎1C1C，‎ BC1⊂平面BB‎1C1C，∴A1B1⊥BC1.‎ ‎∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK.‎ ‎∵四边形BB‎1C1C为正方形，∴BC1⊥B‎1C.‎ ‎∴MK⊥B‎1C.‎ ‎∵A1B1⊂平面A1B‎1C，B‎1C⊂平面A1B‎1C，A1B1∩B‎1C＝B1，‎ ‎∴MK⊥平面A1B‎1C.‎ 又∵MK⊂平面A1MK，‎ ‎∴平面A1B‎1C⊥平面A1MK.‎ ‎10．(2018济南模拟)圆O的直径AB＝4，点C，D为圆O上两点，且∠CAB＝45°，F为的中点．沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直(如图②)．‎ 图①　　　　　　　　　　图②‎ ‎(1)求证：OF∥平面ACD；‎ ‎(2)在AD上是否存在点E，使得平面OCE⊥平面ACD？若存在，试指出点E的位置；若不存在，请说明理由．‎ ‎【证明】(1)由∠CAB＝45°，知∠COB＝90°，又因为F为的中点，‎ 所以∠FOB＝45°，因此OF∥AC.‎ 又AC⊂平面ACD，OF⊄平面ACD，‎ 所以OF∥平面ACD.‎ ‎(2)存在，E为AD的中点．‎ 因为OA＝OD，所以OE⊥AD.‎ 又OC⊥AB且两半圆所在平面互相垂直，‎ 所以OC⊥平面OAD.‎ 又AD⊂平面OAD，所以AD⊥OC.‎ 由于OE，OC是平面OCE内的两条相交直线，所以AD⊥平面OCE.‎ 又AD⊂平面ACD，‎ 所以平面OCE⊥平面ACD.‎ ‎11．(2018北京东城区模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B‎1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，M为棱AC的中点．AB＝BC，AC＝2，AA1＝.‎ ‎(1)求证：B‎1C∥平面A1BM；‎ ‎(2)求证：AC1⊥平面A1BM；‎ ‎(3)在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA‎1C1C？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由．‎ ‎(1)【证明】如图1，连接AB1与A1B，两线交于点O，连接OM，‎ 在△B‎1AC中，∵M，O分别为AC，AB1中点，‎ 图1‎ ‎∴OM∥B‎1C.‎ 又∵OM⊂平面A1BM，B‎1C⊄平面A1BM，‎ ‎∴B‎1C∥平面A1BM.‎ ‎(2)【证明】∵侧棱AA1⊥底面ABC，BM⊂平面ABC，∴AA1⊥BM.‎ 又∵M为棱AC的中点，AB＝BC，‎ ‎∴BM⊥AC.‎ ‎∵AA1∩AC＝A，∴BM⊥平面ACC‎1A1.‎ ‎∴BM⊥AC1.‎ ‎∵AC＝2，∴AM＝1.‎ 又∵AA1＝，∴在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，‎ tan∠AC‎1C＝tan∠A1MA＝.‎ ‎∴∠AC‎1C＝∠A1MA，‎ 即∠AC‎1C＋∠C‎1AC＝∠A1MA＋∠C‎1AC＝90°.‎ ‎∴A‎1M⊥AC1.‎ ‎∵BM∩A‎1M＝M，∴AC1⊥平面A1BM.‎ ‎(3)【解】当点N为BB1的中点，即＝时，平面AC1N⊥平面AA‎1C1C.‎ 证明如下：设AC1的中点为D，连接DM，DN，如图2.‎ 图2‎ ‎∵D，M分别为AC1，AC的中点，‎ ‎∴DM∥CC1，且DM＝CC1.‎ 又∵N为BB1的中点，‎ ‎∴DM∥BN，且DM＝BN.‎ ‎∴四边形BNDM为平行四边形．‎ ‎∴BM∥DN.‎ ‎∵BM⊥平面ACC‎1A1，∴DN⊥平面ACC‎1A1.‎ 又∵DN⊂平面AC1N，∴平面AC1N⊥平面AA‎1C1C.‎