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  • 2021-06-16 发布

【数学】2020届一轮复习苏教版 矩阵与变换 课 时作业

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‎ 2020届一轮复习苏教版 矩阵与变换 课 时作业 ‎1、定义矩阵,若,则 ‎( )‎ A. 图象关于中心对称 B. 图象关于直线对称 C. 在区间上的最大值为1 D. 周期为的奇函数 2、已知矩阵,,若矩阵,求矩阵的逆矩阵.‎ ‎3、已知,,若点在矩阵对应的变换作用下得到点,求矩阵的逆矩阵.‎ ‎4、已知矩阵的两个特征向量,,若,求.‎ ‎5、已知矩阵,,求的值.‎ ‎6、已知变换把直角坐标平面上的点,分别变换成点,‎ ‎,求变换对应的矩阵.‎ ‎7、已知矩阵向量,若求实数的值.‎ ‎8、已知二阶矩阵的特征值所对应的一个特征向量.‎ ‎(1)求矩阵;‎ ‎(2)设曲线在变换矩阵作用下得到的曲线的方程为,求曲线的方程.‎ ‎9、设矩阵A=的逆矩阵为,矩阵B满足AB=,求,B.‎ ‎10、若矩阵属于特征值3的一个特征向量为,求矩阵 的逆矩阵.‎ ‎11、二阶矩阵A有特征值,其对应的一个特征向量为,并且矩阵对应的变换将点变换成点,求.‎ ‎12、已知矩阵,若直线在矩阵对应的变换作用下得到的直线过点,求实数的值.‎ ‎13、在平面直角坐标系中,设点在矩阵对应的变换下得到点,求.‎ ‎14、设二阶矩阵A=.‎ ‎(Ⅰ)求A-1;‎ ‎(Ⅱ)若曲线C在矩阵A对应的变换作用下得到曲线C?:6x2-y2=1,求曲线C的方程.‎ ‎15、设是矩阵的一个特征向量.‎ ‎(Ⅰ)求实数的值;‎ ‎(Ⅱ)求矩阵的特征值.‎ ‎16、已知矩阵属于特征值的一个特征向量为.‎ ‎(1)求实数的值;‎ ‎(2)若曲线在矩阵对应的变换作用下,得到的曲线为求曲线的方程.‎ ‎17、已知矩阵,若矩阵对应的变换把直线变为直线,求直线的方程.‎ ‎18、已知矩阵,A的逆矩阵,求A的特征值.‎ ‎19、已知矩阵,点在对应的变换作用下得到点,求矩阵的特征值.‎ ‎20、‎ 如图,设A是由n×n个实数组成的n行n列的数表,其中au(i,j=1,2,3,…,n)表示位于第i行第j列的实数,且au∈{1,﹣1}.记S(n,n)为所有这样的数表构成的集合.‎ 对于A∈S(n,n),记ri(A)为A的第i行各数之积,cj(A)为A的第j列各数之积.令l(A=(A)+(A)).‎ ‎(Ⅰ)请写出一个A∈s(4,4),使得l(A)=0;‎ ‎(Ⅱ)是否存在A∈S(9,9),使得l(A)=0?说明理由;‎ ‎(Ⅲ)给定正整数n,对于所有的A∈S(n,n),求l(A)的取值集合.‎ a11‎ a12‎ ‎…‎ a1n a21‎ a22‎ ‎…‎ a2n ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ an1‎ an2‎ ‎…‎ ann 参考答案 ‎1、答案:C 当时,‎ 故函数在区间上的最大值为1.故选C.‎ ‎2、答案:.‎ 试题分析:,所以.‎ 试题 B.因为,‎ 所以. 3、答案:.‎ 试题分析:‎ 由题意可得,利用待定系数法或者逆矩阵公式可得.‎ 试题 因为,即,即,解得,‎ 所以,‎ 法1:设,则,即,‎ 解得,所以.‎ 法2:因为,且,‎ 所以. 4、答案:‎ 试题分析:‎ 设矩阵的特征向量对应的特征值为,特征向量对应的特征值为,可求得则由,,,进而可求得.‎ 试题 设矩阵的特征向量对应的特征值为,特征向量对应的特征值为,‎ 则由可解得:,,‎ 又,‎ 所以 5、答案:‎ 试题分析:矩阵的特征多项式为,令,解得矩阵的特征值,,进而求得:的值.‎ 试题 矩阵的特征多项式为,‎ 令,解得矩阵的特征值,,‎ 当时特征向量为,当时特征向量为,‎ 又∵,‎ ‎∴. 6、答案:.‎ 试题分析:先设出所求矩阵,利用待定系数法建立一个四元一次方程组且解方程组即可.‎ 试题设矩阵,则,且.‎ 所以且 解得所以矩阵. 7、答案:‎ 试题分析:先根据矩阵运算法则运算,再根据向量相等得方程组,解方程组得实数的值.‎ 试题,,‎ 由得解得. 8、答案:(1)见解析;(2)‎ 试题分析:(1)可以利用矩阵的特征值和特征向量的意义列出相应的方程,解方程得到本题结论;(2)根据矩阵变换下相关点的坐标关系,利用代入法求出曲线的方程,得到本题结论.‎ 试题(1)依题意,得 即,解得,;‎ ‎(2)设曲线上一点在矩阵的作用下得到曲线上一点,则,即,‎ ‎,整理得,曲线的方程为 9、答案:A-1=,B=‎ 试题分析:由的逆矩阵公式可得,再根据矩阵运算得B=A-1AB 试题因为A=,所以|A|==-7+6=-1.‎ 由逆矩阵公式得,A-1=.5分 因为AB=,所以B=A-1AB==.‎ 考点:矩阵逆矩阵 ‎ ‎10、答案:‎ 试题分析:由题意,得,解得,所以,由,继而求得矩阵的逆矩阵.‎ 试题由题意,得,解得,所以.‎ 设,则,‎ 解得,即.‎ 考点:1.逆变换与逆矩阵;2.特征值与特征向量的计算. 11、答案:.‎ 试题分析:利用矩阵的特征值与特征向量的关系及矩阵的运算即可求出;‎ 试题设所求二阶矩阵A=,则 ‎∴∴5分 解方程组得A=‎ ‎ 12、答案:。‎ 试题分析:先求矩阵的逆矩阵,再根据矩阵运算得直线对应点,代入可得实数的值.‎ 试题矩阵,得,‎ 所以,‎ 将点代入直线得. 13、答案:.‎ 试题分析:由题意得到,再由逆矩阵公式,求出矩阵M的逆矩阵由此能求出M.?1‎ 试题依题意,,即,解得,‎ 由逆矩阵公式知,矩阵的逆矩阵,‎ 所以. 14、答案:(1)(2)8y2-3x2=1.‎ 试题分析:曲线上任意一点在矩阵对应的变换作用下得到点,,代入,即可得结果 试题解:(1)根据逆矩阵公式,可得A-1=.‎ ‎(2)设曲线C上任意一点P(x,y)在矩阵A对应的变换作用下得到点P,‎ 则,所以 因为在曲线上,所以,代入6(x+2y)2-(3x+4y)2=1,化简得8y2-3x2=1,‎ 所以曲线C的方程为8y2-3x2=1. 15、答案:(Ⅰ)1;(Ⅱ)和.‎ 试题分析:‎ ‎(Ⅰ)结合特征向量的定义得到关于实数的方程组,求解方程组可得;‎ ‎(Ⅱ)结合(Ⅰ)中求得的矩阵得到矩阵的特征值方程,解方程可得矩阵的特征值为和.‎ 试题 ‎(Ⅰ)设是矩阵属于特征值的一个特征向量,则,即 ‎,解得,故实数的值为;‎ ‎(Ⅱ)矩阵的特征多项式为,所以,,故矩阵的特征值为和. 16、答案:(1);(2).‎ 试题分析:(1)由题意可得,并由此得到关于的方程组,解方程组可得结果。(2)设曲线上的一点,在矩阵的作用下得到点,利用矩阵变换得到,然后代入方程可得曲线C的方程。‎ 试题 ‎(1)由题意得 即,‎ 解得 ‎(2)设曲线上的一点,在矩阵的作用下得到点.‎ ‎,‎ 所以 将上式代入方程 得,‎ 整理得.‎ 所以曲线C的方程为。 17、答案:.‎ 试题分析:先计算矩阵的对应变换,再求出变换下点的坐标之间的对应关系,从而可得直线的方程.‎ 试题∵,∴.‎ 在直线上任取一点,它是由上的点经矩阵所对应的变换所得,‎ 则一方面,∵点在直线上,∴.①‎ ‎,即,∴,‎ ‎∴②‎ 将②代入①得,即,‎ ‎∴直线的方程为. 18、答案:的特征值为3和1‎ 试题分析:‎ 利用题意得到特征多项式,据此即可求得相应的特征值为3和1‎ 试题 则解之得 的特征多项式 令,解之得 的特征值为3和1 19、答案:的特征值为和.‎ 试题分析:借助题设条件及特征方程,建立方程组求解:‎ B.解:由题意,,即,解得,所以矩阵.所以矩阵的特征多项式为,令,得,所以的特征值为和. 20、答案:‎ ‎(Ⅰ)解:答案不唯一,如图所示数表符合要求.‎ ‎﹣1‎ ‎﹣1‎ ‎﹣1‎ ‎﹣1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎(Ⅱ)解:不存在A∈S(9,9),使得l(A)=0. ‎ 证明如下:‎ 假设存在A∈S(9,9),使得l(A)=0.‎ 因为ri(A)∈{1,﹣1},cj(A)∈{1,﹣1},(i,j=1,2,3,…,9),‎ 所以r1(A),…,r9(A);c1(A),…,c9(A),这18个数中有9个1,9个﹣1.‎ 令M=r1(A)?…r9(A)c1(A)…c9(A).‎ 一方面,由于这18个数中有9个1,9个﹣1,从而M=﹣1. ①‎ 另一方面,r1(A)?…r9(A)表示数表中所有元素之积(记这81个实数之积为m);c1‎ ‎(A)?…c9(A)也表示m,从而M=m2=1. ②‎ ‎①、②相矛盾,从而不存在A∈S(9,9),使得l(A)=0. ‎ ‎(Ⅲ)解:记这n2个实数之积为P.‎ 一方面,从“行”的角度看,有P=r1(A)?r2(A)…rn(A);‎ 另一方面,从“列”的角度看,有P=c1(A)c2(A)…cn(A).‎ 从而有r1(A)?r2(A)…rn(A)=c1(A)c2(A)…cn(A). ③‎ 注意到ri(A)∈{1,﹣1},cj(A)∈{1,﹣1},(i,j=1,2,3,…,n),‎ 下面考虑r1(A),…,rn(A);c1(A),…,cn(A),这些数中﹣1的个数:‎ 由③知,上述2n个实数中,﹣1的个数一定为偶数,该偶数记为2k(0≤k≤n);则1的个数为2n﹣2k,‎ 所以l(A)=(﹣1)×2k+1×(2n﹣2k)=2(n﹣2k). ‎ ‎ 对数表A0:aij=1,(i,j=1,2,3,…,n),显然l(A0)=2n.‎ 将数表A0中的a11由1变为﹣1,得到数表A1,显然l(A1)=2n﹣4.‎ 将数表A1中的a22由1变为﹣1,得到数表A2,显然l(A2)=2n﹣8.‎ 依此类推,将数表Ak﹣1中的akk由1变为﹣1,得到数表Ak.‎ 即数表Ak满足:a11=a22=…=akk=﹣1(1≤k≤n),其余aij=1.‎ 所以 r1(A)=r2(A)=…=rk(A)=﹣1,c1(A)=c2(A)=…=ck(A)=﹣1.‎ 所以l(Ak)=2[(﹣1)×k+(n﹣k)]=2n﹣4k.‎ 由k的任意性知,l(A)的取值集合为{2(n﹣2k)|k=0,1,2,…n}. ‎