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- 2021-06-16 发布
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2020届一轮复习苏教版 矩阵与变换 课 时作业
1、定义矩阵,若,则
( )
A. 图象关于中心对称 B. 图象关于直线对称
C. 在区间上的最大值为1 D. 周期为的奇函数
2、已知矩阵,,若矩阵,求矩阵的逆矩阵.
3、已知,,若点在矩阵对应的变换作用下得到点,求矩阵的逆矩阵.
4、已知矩阵的两个特征向量,,若,求.
5、已知矩阵,,求的值.
6、已知变换把直角坐标平面上的点,分别变换成点,
,求变换对应的矩阵.
7、已知矩阵向量,若求实数的值.
8、已知二阶矩阵的特征值所对应的一个特征向量.
(1)求矩阵;
(2)设曲线在变换矩阵作用下得到的曲线的方程为,求曲线的方程.
9、设矩阵A=的逆矩阵为,矩阵B满足AB=,求,B.
10、若矩阵属于特征值3的一个特征向量为,求矩阵
的逆矩阵.
11、二阶矩阵A有特征值,其对应的一个特征向量为,并且矩阵对应的变换将点变换成点,求.
12、已知矩阵,若直线在矩阵对应的变换作用下得到的直线过点,求实数的值.
13、在平面直角坐标系中,设点在矩阵对应的变换下得到点,求.
14、设二阶矩阵A=.
(Ⅰ)求A-1;
(Ⅱ)若曲线C在矩阵A对应的变换作用下得到曲线C?:6x2-y2=1,求曲线C的方程.
15、设是矩阵的一个特征向量.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)求矩阵的特征值.
16、已知矩阵属于特征值的一个特征向量为.
(1)求实数的值;
(2)若曲线在矩阵对应的变换作用下,得到的曲线为求曲线的方程.
17、已知矩阵,若矩阵对应的变换把直线变为直线,求直线的方程.
18、已知矩阵,A的逆矩阵,求A的特征值.
19、已知矩阵,点在对应的变换作用下得到点,求矩阵的特征值.
20、
如图,设A是由n×n个实数组成的n行n列的数表,其中au(i,j=1,2,3,…,n)表示位于第i行第j列的实数,且au∈{1,﹣1}.记S(n,n)为所有这样的数表构成的集合.
对于A∈S(n,n),记ri(A)为A的第i行各数之积,cj(A)为A的第j列各数之积.令l(A=(A)+(A)).
(Ⅰ)请写出一个A∈s(4,4),使得l(A)=0;
(Ⅱ)是否存在A∈S(9,9),使得l(A)=0?说明理由;
(Ⅲ)给定正整数n,对于所有的A∈S(n,n),求l(A)的取值集合.
a11
a12
…
a1n
a21
a22
…
a2n
…
…
…
…
an1
an2
…
ann
参考答案
1、答案:C
当时,
故函数在区间上的最大值为1.故选C.
2、答案:.
试题分析:,所以.
试题
B.因为,
所以.
3、答案:.
试题分析:
由题意可得,利用待定系数法或者逆矩阵公式可得.
试题
因为,即,即,解得,
所以,
法1:设,则,即,
解得,所以.
法2:因为,且,
所以.
4、答案:
试题分析:
设矩阵的特征向量对应的特征值为,特征向量对应的特征值为,可求得则由,,,进而可求得.
试题
设矩阵的特征向量对应的特征值为,特征向量对应的特征值为,
则由可解得:,,
又,
所以
5、答案:
试题分析:矩阵的特征多项式为,令,解得矩阵的特征值,,进而求得:的值.
试题
矩阵的特征多项式为,
令,解得矩阵的特征值,,
当时特征向量为,当时特征向量为,
又∵,
∴.
6、答案:.
试题分析:先设出所求矩阵,利用待定系数法建立一个四元一次方程组且解方程组即可.
试题设矩阵,则,且.
所以且
解得所以矩阵.
7、答案:
试题分析:先根据矩阵运算法则运算,再根据向量相等得方程组,解方程组得实数的值.
试题,,
由得解得.
8、答案:(1)见解析;(2)
试题分析:(1)可以利用矩阵的特征值和特征向量的意义列出相应的方程,解方程得到本题结论;(2)根据矩阵变换下相关点的坐标关系,利用代入法求出曲线的方程,得到本题结论.
试题(1)依题意,得
即,解得,;
(2)设曲线上一点在矩阵的作用下得到曲线上一点,则,即,
,整理得,曲线的方程为
9、答案:A-1=,B=
试题分析:由的逆矩阵公式可得,再根据矩阵运算得B=A-1AB
试题因为A=,所以|A|==-7+6=-1.
由逆矩阵公式得,A-1=.5分
因为AB=,所以B=A-1AB==.
考点:矩阵逆矩阵
10、答案:
试题分析:由题意,得,解得,所以,由,继而求得矩阵的逆矩阵.
试题由题意,得,解得,所以.
设,则,
解得,即.
考点:1.逆变换与逆矩阵;2.特征值与特征向量的计算.
11、答案:.
试题分析:利用矩阵的特征值与特征向量的关系及矩阵的运算即可求出;
试题设所求二阶矩阵A=,则
∴∴5分
解方程组得A=
12、答案:。
试题分析:先求矩阵的逆矩阵,再根据矩阵运算得直线对应点,代入可得实数的值.
试题矩阵,得,
所以,
将点代入直线得.
13、答案:.
试题分析:由题意得到,再由逆矩阵公式,求出矩阵M的逆矩阵由此能求出M.?1
试题依题意,,即,解得,
由逆矩阵公式知,矩阵的逆矩阵,
所以.
14、答案:(1)(2)8y2-3x2=1.
试题分析:曲线上任意一点在矩阵对应的变换作用下得到点,,代入,即可得结果
试题解:(1)根据逆矩阵公式,可得A-1=.
(2)设曲线C上任意一点P(x,y)在矩阵A对应的变换作用下得到点P,
则,所以
因为在曲线上,所以,代入6(x+2y)2-(3x+4y)2=1,化简得8y2-3x2=1,
所以曲线C的方程为8y2-3x2=1.
15、答案:(Ⅰ)1;(Ⅱ)和.
试题分析:
(Ⅰ)结合特征向量的定义得到关于实数的方程组,求解方程组可得;
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中求得的矩阵得到矩阵的特征值方程,解方程可得矩阵的特征值为和.
试题
(Ⅰ)设是矩阵属于特征值的一个特征向量,则,即
,解得,故实数的值为;
(Ⅱ)矩阵的特征多项式为,所以,,故矩阵的特征值为和.
16、答案:(1);(2).
试题分析:(1)由题意可得,并由此得到关于的方程组,解方程组可得结果。(2)设曲线上的一点,在矩阵的作用下得到点,利用矩阵变换得到,然后代入方程可得曲线C的方程。
试题
(1)由题意得
即,
解得
(2)设曲线上的一点,在矩阵的作用下得到点.
,
所以
将上式代入方程
得,
整理得.
所以曲线C的方程为。
17、答案:.
试题分析:先计算矩阵的对应变换,再求出变换下点的坐标之间的对应关系,从而可得直线的方程.
试题∵,∴.
在直线上任取一点,它是由上的点经矩阵所对应的变换所得,
则一方面,∵点在直线上,∴.①
,即,∴,
∴②
将②代入①得,即,
∴直线的方程为.
18、答案:的特征值为3和1
试题分析:
利用题意得到特征多项式,据此即可求得相应的特征值为3和1
试题
则解之得
的特征多项式
令,解之得
的特征值为3和1
19、答案:的特征值为和.
试题分析:借助题设条件及特征方程,建立方程组求解:
B.解:由题意,,即,解得,所以矩阵.所以矩阵的特征多项式为,令,得,所以的特征值为和.
20、答案:
(Ⅰ)解:答案不唯一,如图所示数表符合要求.
﹣1
﹣1
﹣1
﹣1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(Ⅱ)解:不存在A∈S(9,9),使得l(A)=0.
证明如下:
假设存在A∈S(9,9),使得l(A)=0.
因为ri(A)∈{1,﹣1},cj(A)∈{1,﹣1},(i,j=1,2,3,…,9),
所以r1(A),…,r9(A);c1(A),…,c9(A),这18个数中有9个1,9个﹣1.
令M=r1(A)?…r9(A)c1(A)…c9(A).
一方面,由于这18个数中有9个1,9个﹣1,从而M=﹣1. ①
另一方面,r1(A)?…r9(A)表示数表中所有元素之积(记这81个实数之积为m);c1
(A)?…c9(A)也表示m,从而M=m2=1. ②
①、②相矛盾,从而不存在A∈S(9,9),使得l(A)=0.
(Ⅲ)解:记这n2个实数之积为P.
一方面,从“行”的角度看,有P=r1(A)?r2(A)…rn(A);
另一方面,从“列”的角度看,有P=c1(A)c2(A)…cn(A).
从而有r1(A)?r2(A)…rn(A)=c1(A)c2(A)…cn(A). ③
注意到ri(A)∈{1,﹣1},cj(A)∈{1,﹣1},(i,j=1,2,3,…,n),
下面考虑r1(A),…,rn(A);c1(A),…,cn(A),这些数中﹣1的个数:
由③知,上述2n个实数中,﹣1的个数一定为偶数,该偶数记为2k(0≤k≤n);则1的个数为2n﹣2k,
所以l(A)=(﹣1)×2k+1×(2n﹣2k)=2(n﹣2k).
对数表A0:aij=1,(i,j=1,2,3,…,n),显然l(A0)=2n.
将数表A0中的a11由1变为﹣1,得到数表A1,显然l(A1)=2n﹣4.
将数表A1中的a22由1变为﹣1,得到数表A2,显然l(A2)=2n﹣8.
依此类推,将数表Ak﹣1中的akk由1变为﹣1,得到数表Ak.
即数表Ak满足:a11=a22=…=akk=﹣1(1≤k≤n),其余aij=1.
所以 r1(A)=r2(A)=…=rk(A)=﹣1,c1(A)=c2(A)=…=ck(A)=﹣1.
所以l(Ak)=2[(﹣1)×k+(n﹣k)]=2n﹣4k.
由k的任意性知,l(A)的取值集合为{2(n﹣2k)|k=0,1,2,…n}.