2019届二轮复习满分示范课——立体几何学案（全国通用） 5页

满分示范课——立体几何 ‎【典例】　(满分12分)(2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.‎ ‎(1)证明：直线BC∥平面PAD；‎ ‎(2)若△PCD的面积为2，求四棱锥PABCD的体积．‎ ‎[规范解答](1)在平面ABCD中，‎ 因为∠BAD＝∠ABC＝90°.‎ 所以BC∥AD，1分 又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD.‎ 所以直线BC∥平面PAD.3分 ‎(2)解：如图，取AD的中点M，连接PM，CM，‎ 由AB＝BC＝AD及BC∥AD，‎ ‎∠ABC＝90°得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD.‎ 因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，‎ 所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD，7分 因为CM⊂底面ABCD，所以PM⊥CM.8分 设BC＝x，则CM＝x，CD＝x，PM＝x，PC＝PD＝2x，‎ 如图，取CD的中点N，连接PN，则PN⊥CD，‎ 所以PN＝x.‎ 因为△PCD的面积为2，‎ 所以×x×x＝2，‎ 解得x＝－2(舍去)或x＝2.10分 于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2.‎ 所以四棱锥PABCD的体积V＝××2＝4.12分 高考状元满分心得 ‎1．写全得分步骤：在立体几何类解答题中，对于证明与计算过程中得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写．如第(1)问中的BC∥AD，第(2)问中CM⊥AD，PM⊥CM，PN＝x等．‎ ‎2．注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，在第(2)问的求解过程中，证明CM⊥AD时，利用第(1)问证明的结果BC∥AD.‎ ‎3．写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在解立体几何类解答题时，一定要写清得分关键点，如第(1)问中一定要写出BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD两个条件，否则不能得全分，在第(2)问中，证明PM⊥平面ABCD时，一定写全三个条件，如平面PAD∩平面ABCD＝AD，PM⊥AD一定要有，否则要扣分，再如第(2)问中，一定要分别求出BC，AD及PM ‎，再计算几何体的体积．‎ ‎[解题程序]　第一步：根据平面几何性质，证BC∥AD.‎ 第二步：由线面平行判定定理，证线BC∥平面PAD.学 ‎ 第三步：判定四边形ABCM为正方形，得CM⊥AD.‎ 第四步：证明直线PM⊥底面ABCD.‎ 第五步：利用面积求边BC，并计算相关量．‎ 第六步：计算四棱锥PABCD的体积．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1.(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥PABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．‎ ‎(1)证明：PO⊥平面ABC；‎ ‎(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．‎ ‎(1)证明：因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，‎ 所以OP⊥AC，且OP＝2.‎ 连接OB.因为AB＝BC＝AC，‎ 所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝AC＝2.‎ 由OP2＋OB2＝PB2，知OP⊥OB.‎ 又OP⊥AC，且OB∩AC＝O，‎ 所以PO⊥平面ABC.‎ ‎(2)解：如图，作CH⊥OM，垂足为H.‎ 又由(1)可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM.‎ 故CH的长为点C到平面POM的距离．‎ 由题设可知OC＝AC＝2，CM＝BC＝，‎ ‎∠ACB＝45°. 学 ]‎ 所以OM＝，CH＝＝. 学 ]‎ 所以点C到平面POM的距离为.‎ ‎2.(2018·潍坊模拟)如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，CC1＝4，AB＝BC＝2，AC＝2，点M是棱AA1上不同于A，A1的动点．‎ ‎(1)证明：BC⊥B1M；‎ ‎(2)若∠CMB1＝90°，判断点M的位置并求出此时平面MB1C把此棱柱分成的两部分几何体的体积之比．‎ ‎(1)证明：在△ABC中，因为AB2＋BC2＝8＝AC2，‎ 所以∠ABC＝90°，所以BC⊥AB，‎ 又因为BC⊥BB1，BB1∩AB＝B，‎ 所以BC⊥平面ABB1A1又B1M⊂平面ABB1A1，‎ 所以BC⊥B1M.‎ ‎(2)解：当∠CMB1＝90°时，设AM＝t(0＜t＜4)，‎ 所以A1M＝4－t，‎ 则在Rt△MAC中，CM2＝t2＋8，‎ 同理得B1M2＝(4－t)2＋4，B1C2＝16＋4＝20，‎ 据B1C2＝MB＋MC2，所以t2＋8＋(4－t)2＋4＝20，‎ 整理得，t2－4t＋4＝0，所以t＝2，‎ 故M为AA1的中点．‎ 此时平面MB1C把此棱柱分成两个几何体为：四棱锥CABB1M和四棱锥B1A1MCC1.‎ 由(1)知四棱锥CABB1M的高为BC＝2， 学 ] | |k ]‎ S梯形ABB1M＝×2＝6，‎ 所以V锥CABB1M＝×6×2＝4，‎ 又V柱＝×2×2×4＝8，‎ 所以V锥B1A1MCC1＝8－4＝4，‎ 故两部分几何体的体积之比为1∶1.‎