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- 2021-06-16 发布
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2020届一轮复习人教A版 几何证明选讲 课时作业
1、如图,已知四边形是圆的内接四边形,是圆上的动点,与交于,圆的切线与线段的延长线交于.
(1)证明:是的平分线;
(2)若过圆心,,求的长.
2、如图是直径,是切线,交与点.
(Ⅰ)若为中点,求证:是切线;
(Ⅱ)若,求的大小.
3、已知中,,为外接圆劣弧上的点(不与点重合),延长至,延长交的延长线于.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求证:.
4、如图,与都是以为斜边的直角三角形,为线段上一点,平分,且.
(1)证明:四点共圆,且为圆心;
(2)与相交于点,若,求之间的距离.
5、如图所示,已知PA与相切,A为切点,过点P的割线交圆于B,C两点,CD//AP,AD,BC相交于点E,F为CE上一点,且.
(1)求证:;
(2)若求PA的长.
6、如图,在中,作平行于的直线交于,交于,如果和相交于点,和相交于点,的延长线和相交于.
证明:(1);
(2).
7、如图,在中,作平行于的直线交于,交于,如果和相交于点,和相交于点,的延长线和相交于.
证明:(Ⅰ);
(Ⅱ)
8、如图,为的直径,切于点,交于点,,点在上,求证:是的切线.
9、如图,在中,平分,交于点,点在上,.
(1)求证:是的外接圆的切线;
(2)若,求的长.
10、等腰梯形中,,交于点,平分,为梯形外接圆的切线,交的延长线于点.
(I)求证:;
(II)若,,,求的长.
11、如图,四边形中,交于点,的角平分线交于点.
(1)求的值;
(2)若,求证:.
12、如图,△ABC的两条中线和相交于点,且四点共圆.
(1)求证:;
(2)若,求.
13、如图,直线与圆相切于点,是过点的割线,,点是线段的中点.
(1)证明:四点共圆;
(2)证明:.
14、如图,在圆内接梯形中,,过点作圆的切线与的延长线交于点,若.
(1)求证:梯形为等腰梯形;
(2)求弦的长.
15、如图,△内接于直径为的圆,过点作圆的切线交的延长线于点,的角平分线交和圆于点、,且.
(1)求的比值;
(2)求的值.
16、如图,是△的外接圆,的平分线交于,交于,连接并延长,交于,交于.
(1)证明:;
(2)若,,,求的长.
17、如图,△是圆的内接三角形,是的延长线上一点,且切圆
于点.
(1)求证:;
(2)若,且,求的长.
18、如图,直线与圆切于点,过作直线与圆交于两点,点在圆上,且.
(1)求证:;
(2)若,求.
19、如图,是的直径,为的切线,点为上不同于、的一点,为的平分线,且分别与交于,与交于,与交于,连接、.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求证:.
20、如图,直线与圆切于点,过作直线与圆交于两点,点在圆上,且.
(1)求证:;
(2)若,求.
参考答案
1、答案:(1)证明见解析;(2).
试题分析:(1)由弦切角等于所夹的弧所对的圆周角,得,又所以,故是的平分线;(2)因为为直径,由垂径定理得,且,再由切割线定理列方程,求解得.
试题
(1)因为是圆的切线,所以,又,
所以,故是的平分线
(2)因为为圆心,易得,
因为,所以,所以,
由切割线定理得,即,
即,解得
考点:几何证明选讲.
2、答案:(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ).
试题分析:(Ⅰ)连结,由已知得,,,又,则,易得,所以,得证;(Ⅱ)设,,由射影定理得,解得,所以.
试题(Ⅰ)连结,由已知得,,,
在中,由已知得,∴,
连结,,
∵,∴,
∴,
∴是圆的切线.
(Ⅱ)设,,由已知得,,由射影定理可得,,
∴,解得,∴
考点:平面几何证明.
3、答案:试题分析:(Ⅰ)易得,由得,且,由同弧所对圆周角相等可得结论;(Ⅱ)由(Ⅰ)得,结合,与相似,则,又,可得,由割线定理易得.
试题(Ⅰ)证明:∵、、、四点共圆,
∴,
∵,∴,且,
,
∴.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,又∵,
所以与相似,
∴,∴,
又∵,∴,∴,
根据割线定理得,
.
考点:平面几何证明.
4、答案:(1)证明见解析;(2).
试题分析:(1)因为与都是以为斜边的直角三角形,所以四点都在以为直径的圆上.先利用证明,再利用直角证明,所以为圆心;
(2)由,得,由得.设,则,由角平分线定理有,解得,故距离为.
试题
(1)因为与都是以为斜边的直角三角形,
所以四点都在以为直径的圆上.
因为平分,且,所以.
又,所以.
所以,是的中点,为圆心.
(2)由,得,
由得.
设,则,由平分得,
所以,解得,即,
连接,由(1),.
考点:几何证明选讲.
5、答案:(1)证明见解析;(2).
试题分析:(1)从要证明结论可以看出,利用相交弦定理,,因此只要证,要可通过证明得到,(2)由(1)及已知依次计算出,然后由切割线定理可得.
试题证明:(I)∵,
∴,
又∵,∴,
∴∽
∴
又∵,
∴
(2),,,
PA是⊙O的切线,,
考点:相交弦定理,切割线定理,相似三角形的判定与性质.
6、答案:(1)证明见解析;(2)证明见解析.
试题分析:(1)由平行线分线段成比例有,所以;(2)由(1)有①,由平行线分线段成比例有,同理
,所以②,由①②得,即.
试题
(1)∵,∴,即,同理,
于是.
(2)∵,∴,即,同理,
所以,又由(1)有,
所以,即.
考点:几何证明选讲.
7、答案:(I)证明见解析;(II)证明见解析.
试题分析:(I)利用三角形相似易得;(II)由∽,即,同理,易得.
试题解(Ⅰ)∵,∽,即,
同理,于是.
(Ⅱ),∴∽,
即,同理,
所以,
又由(Ⅰ)有,
所以,即.
考点:三角形相似判定和性质.
8、答案:试题分析:连接,由条件得出,故,再由,得是圆的切线.
试题根据已知得出是解题关键,根据为的直径,切于点,那么利用角的关系可知是的切线.
考点:平面几何证明.
9、答案:(1)证明见解析;(2).
试题分析:(1)取的中点,则,又,易得,由已知可得,所以是的外接圆的切线;(2)设圆半径为,则,得,从而有,故.
试题(1)证明:如图,取的中点,连接,
∵平面,∴,
∵,∴,
∴,∴,
∵,∴,
∴是的外接圆的切线.
(2)解:设的半径为,则在中,,即,解得,
∴,
∴,
∴,
∴.
考点:平面几何证明.
10、答案:(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).
试题分析:(Ⅰ)首先根据弦切角定理与角平分线的定义结合三角形外角定理,可得,然后根据切割线定理得到所证;(Ⅱ)根据,以及切割线定理,结合,即得所求线段长.
试题(I)∵为圆的切线,∴,∵平分,∴,
∴,∴,∴.
∵为圆的切线,∴,∴.5分
(II)∵,∴,∴.
∵,∴,∴.10分
考点:1、弦切角定理;2、切割线定理;3、相似三角形.
11、答案:(1),(2)证明见解析
试题分析:(1)在四边形中,由,可得,可得对应边成比例,再由,
可得答案
(2)先分别过点作的平行线交的延长线于两点,再证明四边形是平行四边形,可得.再证,即可得结论
试题(1)∵,∴.
∵,∴,
∴.
(2)证明:分别过点作的平行线交的延长线于两点,则.
∵平分,∴,∴,∴.
又∵,∴四边形是平行四边形,∴.
∴.
∵,∴,∴,∴
考点:三角形相似的判定及性质;平行四边形的判定及性质
12、答案:(1)证明见解析;(2).
试题分析:(1)连结,因为四点共圆,则.又因为为△的两条中线,所以点分别是的中点,故,问题得证;(2)因为为与的交点,故为的重心,延长交于,则为的中点,且.由三角形∽,得,因为,,,所以,即.
试题(1)连结,因为四点共圆,则.
又因为为△的两条中线,
所以点分别是的中点,故.
所以,从而.
(2)因为为与的交点,
故为△的重心,延长交于,
则为的中点,且.
在△与△中,因为,,
所以△∽△,所以,即.
因为,,,
所以,即,
又,所以.
考点:1、圆的割线性质;2、重心的性质;3、三角形相似.
13、答案:试题分析:(1)连接,证明,再证明,即可证明四点共圆;(2)由平分,得,由弦切角定理得,从而,由此能证明.
试题解:(1)∵是切线,是弦,∴,,
∴,
∵
∴,即是等腰三角形
又点是线段的中点,∴是线段垂直平分线,即
又由可知是线段的垂直平分线,∴与互相垂直且平分,
∴四边形是正方形,则四点共圆.
(2由割线定理得,由(1)知是线段的垂直平分线,
∴,从而
考点:与圆有关的比例线段.
14、答案:(1)证明见解析;(2).
试题分析:(1)由等腰梯形的概念证明;(2)由切割线定理求得长,再由余弦定理求得.
试题(1)∵,∴,
∴,∴梯形为等腰梯形.
(2)由(1)可得,∴,
∴,
∴,∴.
考点:圆内接四边形.
15、答案:(1)2(2)50
试题分析:(1)由弦切角定理得,所以三角形相似:△,因此(2)由切割线定理得:,解得,由角平分线定理得,解得,,再由相交弦定理得:.
试题(1)∵是圆的切线,∴,
又是公共角,∴△,
∴.
(2)由切割线定理得:,∴,
又,∴,为的角平分线,
∵,∴,,∴,,
又由相交弦定理得:.
考点:弦切角定理,三角形相似,相交弦定理,切割线定理
【名师名师点评】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路
(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论;(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时,可转化为证明三角形相似,一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”.在证明中有时还要借助中间比来代换,解题时应灵活把握.
2.应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容:如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等.
16、答案:(1)详见解析(2)
试题分析:(1)证明线段比例关系,先利用角平分线性质得,同理可得,因此
(2)先根据解出,再相交弦定理得,根据三角形相似得,解出
试题(1)证明:过作,交于,连接,
∴,,
∵,
∴,∴,
∴,,
∴,同理,
∴.
(2)解:∵,,∴,
∵,∴,
∴,
∴,
∴,
∴.
考点:角平分线定理,相交弦定理,三角形相似
【名师名师点评】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路
(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论;(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时,可转化为证明三角形相似,一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”.在证明中有时还要借助中间比来代换,解题时应灵活把握.
2.应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容:如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等.
17、答案:(1)证明见解析;(2).
试题分析:(1)为圆的切线,因为,又因为,所以,所以,即;(2)设(),则,由切割线定理可得,,解得
,所以,由(1)有,解得.
试题
(1)∵为圆的切线,∴,
又∵,
∴,∴,
即.
(2)设(),则,
由切割线定理可得,,∴,
解得或(舍),∴,
由(1)知,,∴,
∴.
考点:几何证明选讲.
18、答案:(1)详见解析(2)
试题分析:(1)由角相等,得直线平行,再根据平行性质得内错角相等,即(2)求线段比例关系,一般利用三角形相似,根据题中角相等得三角形相似:,得解得,即
试题
(1)证明:因为直线与圆切于点,
.
(2),
则,即.
考点:三角形相似
【名师名师点评】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路
(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论;(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时,可转化为证明三角形相似,一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”.在证明中有时还要借助中间比来代换,解题时应灵活把握.
2.应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容:如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等.
19、答案:试题分析:(Ⅰ)由为的平分线得,得出,再由弦切角定理得到,可得;(Ⅱ)证明,得出即可.
试题(Ⅰ):∵为平分线,即,
∴,可得,
又∵与圆相切于点,
∴,可得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知.
所以,
因为,,
所以,
所以,即,
所以.
考点:与圆有关的比例线段.
【易错点晴】本题主要考查的是圆的内接四边形的判定定理、圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等和割线定理,属于中档题.解题时一定要注意灵活运用圆的性质,否则很容易出现错误.凡是题目中涉及长度的,通常会使用到相似三角形、全等三角形、正弦定理、余弦定理等基础知识.
20、答案:(1)证明见解析;(2).
试题分析:(1)证明,即可证明,得结果;(2)若,证明,即可求.
试题(1)证明:∵直线与圆切于点,∴,
∵,∴,
∴,
∴
(2)解:∵,
∴,则,
∵,∴,即,
∴
考点:(1)与圆有关的比例线段;(2)圆内接多边形的性质与判定.
【易错点晴】本题主要考查的是圆的内接四边形的判定定理、圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等和割线定理,属于中档题.解题时一定要注意灵活运用圆的性质,否则很容易出现错误.凡是题目中涉及长度的,通常会使用到相似三角形、全等三角形、正弦定理、余弦定理等基础知识.