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  • 2021-06-16 发布

四川省大数据精准教学2020届高三第一次统一监测数学(文)试题 Word版含解析

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www.ks5u.com 四川省2017级高三大数据精准教学第一次统一监测 文科数学 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出中不等式的解集确定出,找出与的交集即可.‎ ‎【详解】解:由题意知,,‎ 而,‎ ‎∴.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解题的关键.‎ ‎2.若复数满足,则( )‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数模的计算公式计算.‎ ‎【详解】解:由题意知,,‎ ‎,‎ ‎∴,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法.‎ - 22 -‎ ‎3.已知且,函数,若,则( )‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数的解析式,知当时,且,由于,则,即可求出.‎ ‎【详解】由题意知:‎ 当时,且 由于,则可知:,‎ 则,‎ ‎∴,则,‎ 则.‎ 即.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的应用,由分段函数解析式求自变量.‎ ‎4.已知向量,,则与的夹角为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知向量的坐标,利用平面向量的夹角公式,直接可求出结果.‎ ‎【详解】解:由题意得,设与的夹角为,‎ ‎,‎ - 22 -‎ 由于向量夹角范围为:,‎ ‎∴.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求两向量的夹角,注意向量夹角的范围.‎ ‎5.函数的部分图像大致为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数解析式,可知的定义域为,通过定义法判断函数的奇偶性,得出,则为偶函数,可排除选项,观察选项的图象,可知代入,解得,排除选项,即可得出答案.‎ ‎【详解】解:因为,‎ 所以的定义域为,‎ 则,‎ ‎∴为偶函数,图象关于轴对称,排除选项,‎ 且当时,,排除选项,所以正确.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查由函数解析式识别函数图象,利用函数的奇偶性和特殊值法进行排除.‎ - 22 -‎ ‎6.已知双曲线的焦距是虚轴长的2倍,则双曲线的渐近线方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的焦距是虚轴长的2倍,可得出,结合,得出,即可求出双曲线的渐近线方程.‎ ‎【详解】解:由双曲线可知,焦点在轴上,‎ 则双曲线的渐近线方程为:,‎ 由于焦距是虚轴长的2倍,可得:,‎ ‎∴,‎ 即:,,‎ 所以双曲线的渐近线方程为:.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质,以及双曲线的渐近线方程.‎ ‎7.“”是“”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用二倍角的正弦公式换化简 - 22 -‎ ‎,再利用齐次式进行弦切互化,得出,即可求出,即可判断充分条件和必要条件.‎ ‎【详解】解:,‎ 则或,‎ 所以“”是“”的必要不充分条件.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查必要不充分条件的判断,运用到三角函数中的二倍角正弦公式、同角平方关系、齐次式进行弦切互化.‎ ‎8.“完全数”是一些特殊的自然数,它所有的真因子(即除了自身以外的约数)的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28,进一步研究发现后续三个完全数”分别为496,8128,33550336,现将这五个“完全数”随机分为两组,一组2个,另一组3个,则6和28不在同一组的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出五个“完全数”随机分为两组,一组2个,另一组3个的基本事件总数为,再求出6和28恰好在同一组包含的基本事件个数,根据即可求出6和28不在同一组的概率.‎ ‎【详解】解:根据题意,将五个“完全数”随机分两组,一组2个,另一组3个,‎ 则基本事件总数为,‎ 则6和28恰好在同一组包含的基本事件个数,‎ ‎∴6和28不在同一组的概率.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查古典概型的概率的求法,涉及实际问题中组合数的应用.‎ ‎9.曲线上任意一点处的切线斜率的最小值为( )‎ - 22 -‎ A. 3 B. 2 C. D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,求导后结合基本不等式,即可求出切线斜率,即可得出答案.‎ ‎【详解】解:由于,根据导数的几何意义得:‎ ‎,‎ 即切线斜率,‎ 当且仅当等号成立,‎ 所以上任意一点处的切线斜率的最小值为3.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值,考查计算能力.‎ ‎10.正三棱柱中,,是的中点,则异面直线与所成的角为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取中点,连接,,根据正棱柱的结构性质,得出//,则即为异面直线与所成角,求出,即可得出结果.‎ ‎【详解】解:如图,取中点,连接,,‎ - 22 -‎ 由于正三棱柱,则底面,‎ 而底面,所以,‎ 由正三棱柱的性质可知,为等边三角形,‎ 所以,且,‎ 所以平面,‎ 而平面,则,‎ 则//,,‎ ‎∴即为异面直线与所成角,‎ 设,则,,,‎ 则,‎ ‎∴.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查通过几何法求异面直线的夹角,考查计算能力.‎ ‎11.已知直线:与圆:交于,两点,与平行的直线与圆交于,两点,且与的面积相等,给出下列直线:①,②,③,④.其中满足条件的所有直线的编号有( )‎ A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ①②④‎ - 22 -‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出圆心到直线的距离为:,得出,根据条件得出到直线的距离或时满足条件,即可得出答案.‎ ‎【详解】解:由已知可得:圆:的圆心为(0,0),半径为2,‎ 则圆心到直线的距离为:,‎ ‎∴,‎ 而,与的面积相等,‎ ‎∴或,‎ 即到直线的距离或时满足条件,‎ 根据点到直线距离可知,①②④满足条件.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用,涉及点到直线的距离公式.‎ ‎12.已知函数在区间有三个零点,,,且,若,则的最小正周期为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,知当时,,由对称轴的性质可知和,即可求出,即可求出的最小正周期.‎ - 22 -‎ ‎【详解】解:由于在区间有三个零点,,,‎ 当时,,‎ ‎∴由对称轴可知,满足,‎ 即.‎ 同理,满足,即,‎ ‎∴,,‎ 所以最小正周期:.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查正弦型函数的最小正周期,涉及函数的对称性的应用,考查计算能力.‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.已知圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上,圆柱的高和球半径均为2,则该圆柱的底面半径为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由圆柱外接球的性质,即可求得结果.‎ ‎【详解】解:由于圆柱的高和球半径均为2,,则球心到圆柱底面的距离为1,‎ 设圆柱底面半径为,由已知有,‎ ‎∴,‎ 即圆柱的底面半径为.‎ 故答案为:.‎ - 22 -‎ ‎【点睛】本题考查由圆柱的外接球的性质求圆柱底面半径,属于基础题.‎ ‎14.已知,满足约束条件则的最大值为__________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先画出约束条件的可行域,根据平移法判断出最优点,代入目标函数的解析式,易可得到目标函数的最大值.‎ ‎【详解】解:由约束条件得如图所示的三角形区域,‎ 由于,则,‎ 要求的最大值,则求的截距的最小值,‎ 显然当平行直线过点时,‎ 取得最大值为:.‎ 故答案为:1.‎ ‎【点睛】本题考查线性规划求最值问题,我们常用几何法求最值.‎ ‎15.已知,,分别为内角,,的对边,,,,则的面积为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,利用余弦定理求得,再运用三角形的面积公式即可求得结果.‎ - 22 -‎ ‎【详解】解:由于,,,‎ ‎∵,∴,,‎ 由余弦定理得,解得,‎ ‎∴的面积.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理的应用和三角形的面积公式,考查计算能力.‎ ‎16.已知椭圆:左,右焦点分别为,,过的直线交椭圆于,两点,若,且的三边长,,成等差数列,则的离心率为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设,,,根据勾股定理得出,而由椭圆的定义得出的周长为,有,便可求出和的关系,即可求得椭圆的离心率.‎ ‎【详解】解:由已知,的三边长,,成等差数列,‎ 设,,,‎ 而,根据勾股定理有:,‎ 解得:,‎ 由椭圆定义知:的周长为,有,,‎ 在直角中,由勾股定理,,即:,‎ - 22 -‎ ‎∴离心率.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的离心率以及椭圆的定义的应用,考查计算能力.‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎17.已知数列的各项均为正数,且满足.‎ ‎(1)求,及的通项公式;‎ ‎(2)求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1);.;(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题意,知,且,令和即可求出,,以及运用递推关系求出的通项公式;‎ ‎(2)通过定义法证明出是首项为8,公比为4的等比数列,利用等比数列的前项和公式,即可求得的前项和.‎ ‎【详解】解:(1)由题可知,,且,‎ 当时,,则,‎ 当时,,,‎ - 22 -‎ 由已知可得,且,‎ ‎∴的通项公式:.‎ ‎(2)设,则,‎ 所以,,‎ 得是首项为8,公比为4的等比数列,‎ 所以数列的前项和为:‎ ‎,‎ 即,‎ 所以数列的前项和:.‎ ‎【点睛】本题考查通过递推关系求数列的通项公式,以及等比数列的前项和公式,考查计算能力.‎ ‎18.语音交互是人工智能的方向之一,现在市场上流行多种可实现语音交互的智能音箱.主要代表有小米公司的“小爱同学”智能音箱和阿里巴巴的“天猫精灵”智能音箱,它们可以通过语音交互满足人们的部分需求.某经销商为了了解不同智能音箱与其购买者性别之间的关联程度,从某地区随机抽取了100名购买“小爱同学”和100名购买“天猫精灵”的人,具体数据如下:‎ ‎“小爱同学”智能音箱 ‎“天猫精灵”智能音箱 合计 男 ‎45‎ ‎60‎ ‎105‎ 女 ‎55‎ ‎40‎ ‎95‎ 合计 ‎100‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎(1)若该地区共有13000人购买了“小爱同学”,有12000人购买了“天猫精灵”,试估计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多多少人?‎ ‎(2)根据列联表,能否有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关?‎ - 22 -‎ 附:‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.01‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】(1)多2350人;(2)有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题意,知100人中购买“小爱同学”的女性有55人,购买“天猫精灵”的女性有40人,即可估计该地区购买“小爱同学”的女性人数和购买“天猫精灵”的女性的人数,即可求得答案;‎ ‎(2)根据列联表和给出的公式,求出,与临界值比较,即可得出结论.‎ ‎【详解】解:(1)由题可知,100人中购买“小爱同学”的女性有55人,购买“天猫精灵”的女性有40人,‎ 由于地区共有13000人购买了“小爱同学”,有12000人购买了“天猫精灵”,‎ 估计购买“小爱同学”的女性有人.‎ 估计购买“天猫精灵”的女性有人.‎ 则,‎ ‎∴估计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多2350人.‎ ‎(2)由题可知, ,‎ ‎∴有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关.‎ ‎【点睛】本题考查随机抽样估计总体以及独立性检验的应用,考查计算能力.‎ - 22 -‎ ‎19.如图,四棱锥中,四边形是矩形,,,为正三角形,且平面平面,、分别为、的中点.‎ ‎(1)证明:平面;‎ ‎(2)求几何体的体积.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题可知,根据三角形的中位线的性质,得出,根据矩形的性质得出,所以,再利用线面平行的判定定理即可证出平面;‎ ‎(2)由于平面平面,根据面面垂直的性质,得出平面,从而得出到平面的距离为,结合棱锥的体积公式,即可求得结果.‎ ‎【详解】解:(1)∵,分别为,的中点,‎ ‎∴,‎ ‎∵四边形是矩形,∴,∴,‎ ‎∵平面,平面,‎ ‎∴平面.‎ ‎(2)取,的中点,,连接,,,,则,‎ 由于为三棱柱,为四棱锥,‎ ‎∵平面平面,∴平面,‎ 由已知可求得,‎ ‎∴到平面的距离为,‎ - 22 -‎ 因为四边形是矩形,,,‎ ‎,‎ 设几何体的体积为,‎ 则,‎ ‎∴,‎ 即:.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的判定、面面垂直的性质和棱锥的体积公式,考查逻辑推理和计算能力.‎ ‎20.在平面直角坐标系中,直线与抛物线:交于,两点,且当时,.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)设线段的中点为,抛物线在点处的切线与的准线交于点,证明:轴.‎ ‎【答案】(1)1;(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设,,联立直线和抛物线方程,得,写出韦达定理,根据弦长公式,即可求出;‎ ‎(2)由,得,根据导数的几何意义,求出抛物线在点 - 22 -‎ 点处切线方程,进而求出,即可证出轴.‎ ‎【详解】解:(1)设,,‎ 将直线代入中整理得:,‎ ‎∴,,‎ ‎∴,‎ 解得:.‎ ‎(2)同(1)假设,,‎ 由,得,‎ 从而抛物线在点点处的切线方程为,‎ 即,‎ 令,得,‎ 由(1)知,从而,‎ 这表明轴.‎ ‎【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系,涉及联立方程组、韦达定理、弦长公式以及利用导数求切线方程,考查转化思想和计算能力.‎ ‎21.已知函数,.‎ ‎(1)讨论的单调性;‎ ‎(2)当时,证明:.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求导得,分类讨论和,利用导数研究含参数的函数单调性;‎ - 22 -‎ ‎(2)根据(1)中求得的单调性,得出在处取得最大值为,构造函数,利用导数,推出,即可证明不等式.‎ ‎【详解】解:(1)由于,得,‎ 当时,,此时在上递增;‎ 当时,由,解得,‎ 若,则,‎ 若,,‎ 此时在递增,在上递减.‎ ‎(2)由(1)知在处取得最大值为:‎ ‎,‎ 设,则,‎ 令,则,‎ 则在单调递减,∴,‎ 即,则在单调递减 ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值,涉及分类讨论和构造新函数,通过导数证明不等式,考查转化思想和计算能力.‎ - 22 -‎ ‎22.在极坐标系中,曲线的极坐标方程为 ‎(1)求曲线与极轴所在直线围成图形的面积;‎ ‎(2)设曲线与曲线交于,两点,求.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用互化公式,将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,得出曲线与极轴所在直线围成的图形是一个半径为1的圆周及一个两直角边分别为1与的直角三角形,即可求出面积;‎ ‎(2)联立方程组,分别求出和的坐标,即可求出.‎ ‎【详解】解:(1)由于的极坐标方程为,‎ 根据互化公式得,曲线直角坐标方程为:‎ 当时,,‎ 当时,,‎ 则曲线与极轴所在直线围成的图形,‎ 是一个半径为1的圆周及一个两直角边分别为1与的直角三角形,‎ ‎∴围成图形的面积.‎ - 22 -‎ ‎(2)由得,其直角坐标为,‎ 化直角坐标方程为,‎ 化直角坐标方程为,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查利用互化公式将极坐标方程化为直角坐标方程,以及联立方程组求交点坐标,考查计算能力.‎ ‎23.设,,,.‎ ‎(1)若的最小值为4,求的值;‎ ‎(2)若,证明:或.‎ ‎【答案】(1)2;(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将化简为,再利用基本不等式即可求出最小值为4,便可得出的值;‎ - 22 -‎ ‎(2)根据,即,得出,利用基本不等式求出最值,便可得出的取值范围.‎ ‎【详解】解:(1)由题可知,,,,‎ ‎,‎ ‎∴.‎ ‎(2)∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,即:或.‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式的应用,利用基本不等式和放缩法求最值,考查化简计算能力.‎ - 22 -‎ - 22 -‎