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- 2021-06-16 发布
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四川省2017级高三大数据精准教学第一次统一监测
文科数学
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求出中不等式的解集确定出,找出与的交集即可.
【详解】解:由题意知,,
而,
∴.
故选:B.
【点睛】本题考查交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解题的关键.
2.若复数满足,则( )
A. B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数模的计算公式计算.
【详解】解:由题意知,,
,
∴,
故选:D.
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法.
- 22 -
3.已知且,函数,若,则( )
A. 2 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据分段函数的解析式,知当时,且,由于,则,即可求出.
【详解】由题意知:
当时,且
由于,则可知:,
则,
∴,则,
则.
即.
故选:C.
【点睛】本题考查分段函数的应用,由分段函数解析式求自变量.
4.已知向量,,则与的夹角为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知向量的坐标,利用平面向量的夹角公式,直接可求出结果.
【详解】解:由题意得,设与的夹角为,
,
- 22 -
由于向量夹角范围为:,
∴.
故选:B.
【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求两向量的夹角,注意向量夹角的范围.
5.函数的部分图像大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数解析式,可知的定义域为,通过定义法判断函数的奇偶性,得出,则为偶函数,可排除选项,观察选项的图象,可知代入,解得,排除选项,即可得出答案.
【详解】解:因为,
所以的定义域为,
则,
∴为偶函数,图象关于轴对称,排除选项,
且当时,,排除选项,所以正确.
故选:A.
【点睛】本题考查由函数解析式识别函数图象,利用函数的奇偶性和特殊值法进行排除.
- 22 -
6.已知双曲线的焦距是虚轴长的2倍,则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据双曲线的焦距是虚轴长的2倍,可得出,结合,得出,即可求出双曲线的渐近线方程.
【详解】解:由双曲线可知,焦点在轴上,
则双曲线的渐近线方程为:,
由于焦距是虚轴长的2倍,可得:,
∴,
即:,,
所以双曲线的渐近线方程为:.
故选:A.
【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质,以及双曲线的渐近线方程.
7.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用二倍角的正弦公式换化简
- 22 -
,再利用齐次式进行弦切互化,得出,即可求出,即可判断充分条件和必要条件.
【详解】解:,
则或,
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选:B.
【点睛】本题考查必要不充分条件的判断,运用到三角函数中的二倍角正弦公式、同角平方关系、齐次式进行弦切互化.
8.“完全数”是一些特殊的自然数,它所有的真因子(即除了自身以外的约数)的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28,进一步研究发现后续三个完全数”分别为496,8128,33550336,现将这五个“完全数”随机分为两组,一组2个,另一组3个,则6和28不在同一组的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出五个“完全数”随机分为两组,一组2个,另一组3个的基本事件总数为,再求出6和28恰好在同一组包含的基本事件个数,根据即可求出6和28不在同一组的概率.
【详解】解:根据题意,将五个“完全数”随机分两组,一组2个,另一组3个,
则基本事件总数为,
则6和28恰好在同一组包含的基本事件个数,
∴6和28不在同一组的概率.
故选:C.
【点睛】本题考查古典概型的概率的求法,涉及实际问题中组合数的应用.
9.曲线上任意一点处的切线斜率的最小值为( )
- 22 -
A. 3 B. 2 C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意,求导后结合基本不等式,即可求出切线斜率,即可得出答案.
【详解】解:由于,根据导数的几何意义得:
,
即切线斜率,
当且仅当等号成立,
所以上任意一点处的切线斜率的最小值为3.
故选:A.
【点睛】本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值,考查计算能力.
10.正三棱柱中,,是的中点,则异面直线与所成的角为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
取中点,连接,,根据正棱柱的结构性质,得出//,则即为异面直线与所成角,求出,即可得出结果.
【详解】解:如图,取中点,连接,,
- 22 -
由于正三棱柱,则底面,
而底面,所以,
由正三棱柱的性质可知,为等边三角形,
所以,且,
所以平面,
而平面,则,
则//,,
∴即为异面直线与所成角,
设,则,,,
则,
∴.
故选:C.
【点睛】本题考查通过几何法求异面直线的夹角,考查计算能力.
11.已知直线:与圆:交于,两点,与平行的直线与圆交于,两点,且与的面积相等,给出下列直线:①,②,③,④.其中满足条件的所有直线的编号有( )
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ①②④
- 22 -
【答案】D
【解析】
【分析】
求出圆心到直线的距离为:,得出,根据条件得出到直线的距离或时满足条件,即可得出答案.
【详解】解:由已知可得:圆:的圆心为(0,0),半径为2,
则圆心到直线的距离为:,
∴,
而,与的面积相等,
∴或,
即到直线的距离或时满足条件,
根据点到直线距离可知,①②④满足条件.
故选:D.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用,涉及点到直线的距离公式.
12.已知函数在区间有三个零点,,,且,若,则的最小正周期为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意,知当时,,由对称轴的性质可知和,即可求出,即可求出的最小正周期.
- 22 -
【详解】解:由于在区间有三个零点,,,
当时,,
∴由对称轴可知,满足,
即.
同理,满足,即,
∴,,
所以最小正周期:.
故选:C.
【点睛】本题考查正弦型函数的最小正周期,涉及函数的对称性的应用,考查计算能力.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上,圆柱的高和球半径均为2,则该圆柱的底面半径为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
由圆柱外接球的性质,即可求得结果.
【详解】解:由于圆柱的高和球半径均为2,,则球心到圆柱底面的距离为1,
设圆柱底面半径为,由已知有,
∴,
即圆柱的底面半径为.
故答案为:.
- 22 -
【点睛】本题考查由圆柱的外接球的性质求圆柱底面半径,属于基础题.
14.已知,满足约束条件则的最大值为__________.
【答案】1
【解析】
【分析】
先画出约束条件的可行域,根据平移法判断出最优点,代入目标函数的解析式,易可得到目标函数的最大值.
【详解】解:由约束条件得如图所示的三角形区域,
由于,则,
要求的最大值,则求的截距的最小值,
显然当平行直线过点时,
取得最大值为:.
故答案为:1.
【点睛】本题考查线性规划求最值问题,我们常用几何法求最值.
15.已知,,分别为内角,,的对边,,,,则的面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意,利用余弦定理求得,再运用三角形的面积公式即可求得结果.
- 22 -
【详解】解:由于,,,
∵,∴,,
由余弦定理得,解得,
∴的面积.
故答案为:.
【点睛】本题考查余弦定理的应用和三角形的面积公式,考查计算能力.
16.已知椭圆:左,右焦点分别为,,过的直线交椭圆于,两点,若,且的三边长,,成等差数列,则的离心率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
设,,,根据勾股定理得出,而由椭圆的定义得出的周长为,有,便可求出和的关系,即可求得椭圆的离心率.
【详解】解:由已知,的三边长,,成等差数列,
设,,,
而,根据勾股定理有:,
解得:,
由椭圆定义知:的周长为,有,,
在直角中,由勾股定理,,即:,
- 22 -
∴离心率.
故答案为:.
【点睛】本题考查椭圆的离心率以及椭圆的定义的应用,考查计算能力.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
17.已知数列的各项均为正数,且满足.
(1)求,及的通项公式;
(2)求数列的前项和.
【答案】(1);.;(2)
【解析】
【分析】
(1)根据题意,知,且,令和即可求出,,以及运用递推关系求出的通项公式;
(2)通过定义法证明出是首项为8,公比为4的等比数列,利用等比数列的前项和公式,即可求得的前项和.
【详解】解:(1)由题可知,,且,
当时,,则,
当时,,,
- 22 -
由已知可得,且,
∴的通项公式:.
(2)设,则,
所以,,
得是首项为8,公比为4的等比数列,
所以数列的前项和为:
,
即,
所以数列的前项和:.
【点睛】本题考查通过递推关系求数列的通项公式,以及等比数列的前项和公式,考查计算能力.
18.语音交互是人工智能的方向之一,现在市场上流行多种可实现语音交互的智能音箱.主要代表有小米公司的“小爱同学”智能音箱和阿里巴巴的“天猫精灵”智能音箱,它们可以通过语音交互满足人们的部分需求.某经销商为了了解不同智能音箱与其购买者性别之间的关联程度,从某地区随机抽取了100名购买“小爱同学”和100名购买“天猫精灵”的人,具体数据如下:
“小爱同学”智能音箱
“天猫精灵”智能音箱
合计
男
45
60
105
女
55
40
95
合计
100
100
200
(1)若该地区共有13000人购买了“小爱同学”,有12000人购买了“天猫精灵”,试估计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多多少人?
(2)根据列联表,能否有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关?
- 22 -
附:
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】(1)多2350人;(2)有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关.
【解析】
【分析】
(1)根据题意,知100人中购买“小爱同学”的女性有55人,购买“天猫精灵”的女性有40人,即可估计该地区购买“小爱同学”的女性人数和购买“天猫精灵”的女性的人数,即可求得答案;
(2)根据列联表和给出的公式,求出,与临界值比较,即可得出结论.
【详解】解:(1)由题可知,100人中购买“小爱同学”的女性有55人,购买“天猫精灵”的女性有40人,
由于地区共有13000人购买了“小爱同学”,有12000人购买了“天猫精灵”,
估计购买“小爱同学”的女性有人.
估计购买“天猫精灵”的女性有人.
则,
∴估计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多2350人.
(2)由题可知, ,
∴有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关.
【点睛】本题考查随机抽样估计总体以及独立性检验的应用,考查计算能力.
- 22 -
19.如图,四棱锥中,四边形是矩形,,,为正三角形,且平面平面,、分别为、的中点.
(1)证明:平面;
(2)求几何体的体积.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
【分析】
(1)由题可知,根据三角形的中位线的性质,得出,根据矩形的性质得出,所以,再利用线面平行的判定定理即可证出平面;
(2)由于平面平面,根据面面垂直的性质,得出平面,从而得出到平面的距离为,结合棱锥的体积公式,即可求得结果.
【详解】解:(1)∵,分别为,的中点,
∴,
∵四边形是矩形,∴,∴,
∵平面,平面,
∴平面.
(2)取,的中点,,连接,,,,则,
由于为三棱柱,为四棱锥,
∵平面平面,∴平面,
由已知可求得,
∴到平面的距离为,
- 22 -
因为四边形是矩形,,,
,
设几何体的体积为,
则,
∴,
即:.
【点睛】本题考查线面平行的判定、面面垂直的性质和棱锥的体积公式,考查逻辑推理和计算能力.
20.在平面直角坐标系中,直线与抛物线:交于,两点,且当时,.
(1)求的值;
(2)设线段的中点为,抛物线在点处的切线与的准线交于点,证明:轴.
【答案】(1)1;(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)设,,联立直线和抛物线方程,得,写出韦达定理,根据弦长公式,即可求出;
(2)由,得,根据导数的几何意义,求出抛物线在点
- 22 -
点处切线方程,进而求出,即可证出轴.
【详解】解:(1)设,,
将直线代入中整理得:,
∴,,
∴,
解得:.
(2)同(1)假设,,
由,得,
从而抛物线在点点处的切线方程为,
即,
令,得,
由(1)知,从而,
这表明轴.
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系,涉及联立方程组、韦达定理、弦长公式以及利用导数求切线方程,考查转化思想和计算能力.
21.已知函数,.
(1)讨论的单调性;
(2)当时,证明:.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)求导得,分类讨论和,利用导数研究含参数的函数单调性;
- 22 -
(2)根据(1)中求得的单调性,得出在处取得最大值为,构造函数,利用导数,推出,即可证明不等式.
【详解】解:(1)由于,得,
当时,,此时在上递增;
当时,由,解得,
若,则,
若,,
此时在递增,在上递减.
(2)由(1)知在处取得最大值为:
,
设,则,
令,则,
则在单调递减,∴,
即,则在单调递减
∴,
∴,
∴.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值,涉及分类讨论和构造新函数,通过导数证明不等式,考查转化思想和计算能力.
- 22 -
22.在极坐标系中,曲线的极坐标方程为
(1)求曲线与极轴所在直线围成图形的面积;
(2)设曲线与曲线交于,两点,求.
【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】
(1)利用互化公式,将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,得出曲线与极轴所在直线围成的图形是一个半径为1的圆周及一个两直角边分别为1与的直角三角形,即可求出面积;
(2)联立方程组,分别求出和的坐标,即可求出.
【详解】解:(1)由于的极坐标方程为,
根据互化公式得,曲线直角坐标方程为:
当时,,
当时,,
则曲线与极轴所在直线围成的图形,
是一个半径为1的圆周及一个两直角边分别为1与的直角三角形,
∴围成图形的面积.
- 22 -
(2)由得,其直角坐标为,
化直角坐标方程为,
化直角坐标方程为,
∴,
∴.
【点睛】本题考查利用互化公式将极坐标方程化为直角坐标方程,以及联立方程组求交点坐标,考查计算能力.
23.设,,,.
(1)若的最小值为4,求的值;
(2)若,证明:或.
【答案】(1)2;(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)将化简为,再利用基本不等式即可求出最小值为4,便可得出的值;
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(2)根据,即,得出,利用基本不等式求出最值,便可得出的取值范围.
【详解】解:(1)由题可知,,,,
,
∴.
(2)∵,
∴,
∴,
∴,即:或.
【点睛】本题考查基本不等式的应用,利用基本不等式和放缩法求最值,考查化简计算能力.
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