【数学】2020届一轮复习（文理合用）第8章第6讲双曲线作业 8页

对应学生用书[练案59理][练案55文]‎ 第六讲　双曲线 A组基础巩固 一、选择题 ‎1．已知F1、F2是双曲线－y2＝1的左、右焦点，P、Q为右支上的两点，直线PQ过F2且倾斜角为α，则|PF1|＋|QF1|－|PQ|的值为(　C　)‎ A．8　　　 B．2 C．4　　　 D．随α的大小而变化 ‎[解析]　由双曲线定义知：‎ ‎|PF1|＋|QF1|－|PQ|‎ ‎＝|PF1|＋|QF1|－(|PF2|＋|QF2|)‎ ‎＝(|PF1|－|PF2|)＋(|QF1|－|QF2|)‎ ‎＝4a＝4.‎ ‎2．(2019·甘肃模拟)已知双曲线x2＋my2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值是(　C　)‎ A．4　　　 B．　　　‎ C．－　　　 D．－4‎ ‎[解析]　依题意得m<0，双曲线的标准方程为x2－＝1，于是有＝2×1，则m＝－.故选C．‎ ‎3．已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，且过点(4，)，则该双曲线的标准方程为(　A　)‎ A．－y2＝1　　　 B．y2－＝1‎ C．－y2＝1　　　 D．y2－＝1‎ ‎[解析]　依题意，设所求双曲线的方程为(x＋2y)(x－2y)＝λ(λ≠0)，即x2－4y2＝λ，则由该双曲线过点(4，)得16－12＝λ，λ＝4，因此所求双曲线的方程为x2－4y2＝4，即－y2＝1，选A．‎ ‎4．(2017·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x 轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为(　D　)‎ A．　　　 B．　　　‎ C．　　　 D． ‎[解析]　因为F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，所以F(2,0)．‎ 因为PF⊥x轴，所以可设P的坐标为(2，yP)．‎ 因为P是C上一点，所以4－＝1，解得yP＝±3，‎ 所以P(2，±3)，|PF|＝3.‎ 又因为A(1,3)，所以点A到直线PF的距离为1，‎ 所以S△APF＝×|PF|×1＝×3×1＝.故选D．‎ ‎5．(2018·课标全国Ⅲ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为(　D　)‎ A．　　　 B．2　　　‎ C．　　　 D．2 ‎[解析]　∵e＝＝＝，且a>0，b>0，‎ ‎∴＝1，∴C的渐近线方程为y＝±x，‎ ‎∴点(4,0)到C的渐近线的距离为＝2.‎ ‎6．(2018·河北唐山模拟)已知F1，F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为(　A　)‎ A．1　　　 B．　　　‎ C．2　　　 D． ‎[解析]　不妨设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则由双曲线的定义可知||PF1|－|PF2||＝|m－n|＝4.又因为∠F1PF2＝90°，所以|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝20，即m2＋n2＝20.又||PF1|－|PF2||2＝|m－n|2＝16，所以mn＝2.所以△F1PF2的面积为S＝mn＝1，故选A．‎ ‎7．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，‎ 且与椭圆＋＝1有公共焦点．则C的方程为(　B　)‎ A．－＝1　　　 B．－＝1‎ C．－＝1　　　 D．－＝1‎ ‎[解析]　因为双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则＝.①‎ 又因为椭圆＋＝1与双曲线有公共焦点，易知c＝3，则a2＋b2＝c2＝9.②‎ 由①②解得a＝2，b＝，则双曲线C的方程为－＝1，故选B．‎ ‎8．(2019·安徽合肥一模)已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为(　A　)‎ A．－2　　　 B．－　　　‎ C．1　　　 D．0‎ ‎[解析]　设点P(x，y)，其中x≥1.依题意得A1(－1,0)，F2(2,0)，则有y2＝3(x2－1)，·＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2＋3(x2－1)－x－2＝4x2－x－5＝4(x－)2－，其中x≥1.因此，当x＝1时，·取得最小值－2，故选A．‎ 二、填空题 ‎9．(2019·陕西模拟)双曲线－＝1的离心率为，则m等于__9___.‎ ‎[解析]　由双曲线方程知a＝4.又e＝＝，解得c＝5.故16＋m＝25，m＝9.‎ ‎10．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝　 　.‎ ‎[解析]　由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，‎ 又∵|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝|PF2|＝2，‎ 则cos∠F1PF2＝＝.故填.‎ ‎11．已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为　－y2＝1 　.‎ ‎[解析]　因为双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，故点(4，)在直线y＝x的下方．设该双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，所以解得故双曲线方程为－y2＝1.故填－y2＝1‎ ‎12．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过点F2作与x轴垂直的直线与双曲线一个交点为P，且∠PF1F2＝，则双曲线的渐近线方程为y＝±x.‎ ‎[解析]　根据已知可得，|PF1|＝且|PF2|＝，故－＝2a，所以＝2，＝，双曲线的渐近线方程为y＝±x.‎ 三、解答题 ‎13．如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，F1、F2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P，∠F1PF2＝，且△PF1F2的面积为2，又双曲线的离心率为2.求该双曲线的方程．‎ ‎[解析]　设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，‎ 所以F1(－c,0)，F2(c,0)．‎ 在△PF1F2中，由余弦定理，‎ 得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos ‎＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，‎ 即4c2＝4a2＋|PF1|·|PF2|.‎ 又因为S△PF1F2＝2，‎ 所以|PF1|·|PF2|·sin＝2.‎ 所以|PF1|·|PF2|＝8.‎ 所以4c2＝4a2＋8，即b2＝2.‎ 又因为e＝＝2，所以a2＝.‎ 所以所求双曲线方程为－＝1.‎ ‎14．设A，B分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.‎ ‎(1)求双曲线的方程；‎ ‎(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标．‎ ‎[解析]　(1)由题意知a＝2，‎ ‎∵一条渐近线为y＝x，即bx－ay＝0.‎ ‎∴由焦点到渐近线的距离为，得＝.‎ 又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝3，‎ ‎∴双曲线的方程为－＝1.‎ ‎(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，‎ 则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.‎ 将直线方程y＝x－2代入双曲线方程－＝1得x2－16x＋84＝0，‎ 则x1＋x2＝16，y1＋y2＝(x1＋x2)－4＝12.‎ ‎∴解得 ‎∴t＝4，点D的坐标为(4，3)．‎ B组能力提升 ‎1．(2019·辽宁盘锦模拟)已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　D　)‎ A．　　　 B．2　　　‎ C．　　　 D． ‎[解析]　如图，作MD⊥x轴于点D，在Rt△MBD中，|BD|＝a，|MD|＝a，∴M(2a，a)‎ ‎∴M点在双曲线上，∴a2＝b2，即a＝b.‎ ‎∴e＝.‎ ‎2．若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的中心为O，过C的右顶点A1和右焦点F分别作垂直于x轴的直线，交C的渐近线于A，B两点和M，N两点，若△OAB与△OMN的面积比为14，则C的渐近线方程为(　B　)‎ A．y＝±x　　　 B．y＝±x C．y＝±2x　　　 D．y＝±3x ‎[解析]　如图，因为AB∥MN，所以△OAB∽△OMN，又△OAB与△OMN的面积比为1∶4，所以＝＝，则a＝c，所以b2＝c2－a2＝c2，则b＝c，所以双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x＝±x＝±x，故选B．‎ ‎3．(2019·西安模拟)已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－，则此双曲线的方程是(　D　)‎ A．－＝1　　　 B．－＝1‎ C．－＝1　　　 D．－＝1‎ ‎[解析]　设双曲线方程－＝1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ ‎∴ ‎①－②，得＝·.‎ ‎∴1＝·，∴5a2＝2b2.‎ 又a2＋b2＝7，∴a2＝2，b2＝5，故选D．‎ ‎4．已知F1、F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为　＋1 　.‎ ‎[解析]　设正三角形MF1F2的边MF1的中点为H，‎ 则M(0，c)，F1(－c,0)．所以H(－c，c)，‎ H点在双曲线上．故－＝1，‎ 化简，得e4－8e2＋4＝0，‎ 解得e2＝4＋2，所以e＝＋1.‎ ‎5．(2019·南宁模拟)已知双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)经过点P(2,1)，且其中一焦点F到一条渐近线的距离为1.‎ ‎(1)求双曲线Γ的方程；‎ ‎(2)过点P作两条相互垂直的直线PA，PB分别交双曲线Γ于A，B两点，求点P到直线AB距离的最大值．‎ ‎[解析]　(1)∵双曲线－＝1过点(2,1)，∴－＝1.‎ 不妨设F为右焦点，则F(c,0)到渐近线bx－ay＝0的距离d＝＝b，∴b＝1，a2＝2，‎ ‎∴所求双曲线的方程为－y2＝1.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋m.‎ 将y＝kx＋m代入x2－2y2＝2中，‎ 整理得(2k2－1)x2＋4kmx＋2m2＋2＝0.‎ ‎∴x1＋x2＝，①‎ x1x2＝.②‎ ‎∵·＝0，∴(x1－2，y1－1)·(x2－2，y2－1)＝0，‎ ‎∴(x1－2)(x2－2)＋(kx1＋m－1)(kx2＋m－1)＝0，‎ ‎∴(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋m2－2m＋5＝0.③‎ 将①②代入③，得m2＋8km＋12k2＋2m－3＝0，‎ ‎∴(m＋2k－1)(m＋6k＋3)＝0.‎ 而P∉AB，∴m＝－6k－3，‎ 从而直线AB的方程为y＝kx－6k－3.‎ 将y＝kx－6k－3代入x2－2y2－2＝0中，‎ 判别式Δ＝8(34k2＋36k＋10)>0恒成立，‎ ‎∴y＝kx－6k－3即为所求直线．‎ ‎∴P到AB的距离d＝＝.‎ ‎∵()2＝＝1＋≤2.‎ ‎∴d≤4，即点P到直线AB距离的最大值为4.‎