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- 2021-06-16 发布
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A组 基础关
1.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角的余弦值为sin,则b·(2a-b)等于( )
A.2 B.-1 C.-6 D.-18
答案 D
解析 ∵a与b的夹角的余弦值为sin=-,
∴a·b=-3,b·(2a-b)=2a·b-b2=-18.
2.(2018·烟台一模)已知a=,b=,则|a-b|=( )
A.1 B. C. D.
答案 C
解析 因为a-b=,
所以|a-b|2=2+2
=2-2
=2-2cos=2-2cos=3,
所以|a-b|=.
3.已知向量a=(,1),b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=,则b=( )
A. B.
C. D.(1,0)
答案 B
解析 设b=(cosα,sinα)(α∈(0,π)∪(π,2π)),则a·b=(,1)·(cosα,sinα)=cosα+sinα=2sin=,解得α=,故b=.
4.若单位向量e1,e2的夹角为,向量a=e1+λe2(λ∈R),且|a|=,则λ
=( )
A. B.- C. D.-
答案 B
解析 由题意可得e1·e2=,|a|2=(e1+λe2)2=1+2λ×+λ2=,化简得λ2+λ+=0,解得λ=-.
5.已知平面向量a,b满足|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为120°,若(a+mb)⊥a,则实数m的值为( )
A.1 B. C.2 D.3
答案 D
解析 ∵|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为120°,
∴a·b=|a||b|cos120°=3×2×=-3.
∵(a+mb)⊥a,
∴(a+mb)·a=a2+ma·b=32-3m=0,解得m=3.
6.(2018·成都二诊)已知平面向量a,b的夹角为,且|a|=1,|b|=,则a+2b与b的夹角是( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 解法一:因为a·b=1××cos=.
所以|a+2b|2=a2+4a·b+4b2
=1+4×+4×2=3,
所以|a+2b|=,
(a+2b)·b=a·b+2b2=+2×2=.
设a+2b与b的夹角为θ,则
cosθ===.
又θ∈[0,π],所以θ=.
解法二:如图,设A=a,A=b,A=2b,A=a+2b.由|A|=|A|,∠BAD=,易知平行四边形ABCD是菱形,所以a+2b与b的夹角为.故选A.
7.(2018·南平二模)在△ABC中,若BC=8,BC边上的中线长为3,则·=( )
A.-7 B.7 C.-28 D.28
答案 A
解析 在△ABC中,若BC=8,BC边上的中线长为3,可得|+|=6,|-|=8,
可得2+2·+2=36,
2-2·+2=64,
两式作差可得,4·=-28,所以·=-7.
8.(2018·潍坊模拟)在等腰三角形ABC中,AB=AC,BC=6,点D为边BC的中点,则·=________.
答案 -9
解析 因为AB=AC,点D为边BC的中点,所以AD⊥BC,所以在方向上的投影为||cos(π-B)=-||cosB=-||=-||=-3,
所以·=||||cos(π-B)=3×(-3)=-9.
9.若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a,b夹角θ的余弦值为________.
答案 -
解析 题中等式两边平方得,|a|2=|a|2+4|b|2+4a·b=|a|2+4|b|2+4|a||b|cosθ,
又考虑到|a|=3|b|,所以0=4|b|2+12|b|2cosθ.
解得cosθ=-,故a,b夹角的余弦值为-.
10.在△ABC中,AB=4,AC=2,∠BAC=120°,D是边BC的中点.若E是线段AD的中点,则·=________.
答案 -
解析 由题意得||=4,||=2,
·=4×2×cos120°=-4.
==(+),
2=(+)2=(2+2·+2)
=(16-8+4)=,
所以·=(-)·(-)
=·-(+)·+2
=·-42+2
=·-32
=-4-3×=-.
B组 能力关
1.已知向量a,b,若a=(1,0)且|b|=2|a|,则下列结论错误的是( )
A.|a-b|的最大值为3
B.|a+b|的最大值为3
C.当|a-b|最大时a·b=2
D.当|a+b|最大时a·b=2
答案 C
解析 由题意可得|b|=2|a|=2.当a,b共线且所成的角为π时,|a-b|有最大值,最大值为3,A正确;此时a·b=|a||b|cosπ=-2,C错误;当a,b共线且所成的角为0时,|a+b|有最大值,最大值为3,B正确;此时a·b=|a||b|cos0=2,D正确.
2.(2018·日照模拟)已知A,B是圆O:x2+y2=4上的两个动点,||=2,=-,若M是线段AB的中点,则·的值为( )
A. B.2 C.2 D.3
答案 D
解析 由=-,又=(+),所以·=·(+)=2-2+·,又△OAB为等边三角形,所以·=2×2cos60°=2.又2=2=4,所以·=×4-×4+×2=3.
3.(2018·天津高考)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则·的最小值为( )
A. B.
C. D.3
答案 A
解析 连接BD,由已知可得DB=且△BCD为等边三角形,因为=++,所以·=(++)·=,设=λ(0≤λ≤1),则·=·(
eq o(AE,sup16(→))-)=(-)·(--)=(-)2-(-)·=3λ2-λ+.所以,当λ=时,·有最小值.
4.(2017·浙江高考)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记I1=·,I2=·,I3=·,则( )
A.I10,即I1>I3.
∴I3