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  • 2021-06-16 发布

【数学】2020届一轮复习人教版(理)第4章第3讲平面向量的数量积及应用作业

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A组 基础关 ‎1.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角的余弦值为sin,则b·(2a-b)等于(  )‎ A.2 B.-1 C.-6 D.-18‎ 答案 D 解析 ∵a与b的夹角的余弦值为sin=-,‎ ‎∴a·b=-3,b·(2a-b)=2a·b-b2=-18.‎ ‎2.(2018·烟台一模)已知a=,b=,则|a-b|=(  )‎ A.1 B. C. D. 答案 C 解析 因为a-b=,‎ 所以|a-b|2=2+2‎ ‎=2-2 ‎=2-2cos=2-2cos=3,‎ 所以|a-b|=.‎ ‎3.已知向量a=(,1),b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=,则b=(  )‎ A. B. C. D.(1,0)‎ 答案 B 解析 设b=(cosα,sinα)(α∈(0,π)∪(π,2π)),则a·b=(,1)·(cosα,sinα)=cosα+sinα=2sin=,解得α=,故b=.‎ ‎4.若单位向量e1,e2的夹角为,向量a=e1+λe2(λ∈R),且|a|=,则λ ‎=(  )‎ A. B.- C. D.- 答案 B 解析 由题意可得e1·e2=,|a|2=(e1+λe2)2=1+2λ×+λ2=,化简得λ2+λ+=0,解得λ=-.‎ ‎5.已知平面向量a,b满足|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为120°,若(a+mb)⊥a,则实数m的值为(  )‎ A.1 B. C.2 D.3‎ 答案 D 解析 ∵|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为120°,‎ ‎∴a·b=|a||b|cos120°=3×2×=-3.‎ ‎∵(a+mb)⊥a,‎ ‎∴(a+mb)·a=a2+ma·b=32-3m=0,解得m=3.‎ ‎6.(2018·成都二诊)已知平面向量a,b的夹角为,且|a|=1,|b|=,则a+2b与b的夹角是(  )‎ A. B. C. D. 答案 A 解析 解法一:因为a·b=1××cos=.‎ 所以|a+2b|2=a2+4a·b+4b2‎ ‎=1+4×+4×2=3,‎ 所以|a+2b|=,‎ ‎(a+2b)·b=a·b+2b2=+2×2=.‎ 设a+2b与b的夹角为θ,则 cosθ===.‎ 又θ∈[0,π],所以θ=.‎ 解法二:如图,设A=a,A=b,A=2b,A=a+2b.由|A|=|A|,∠BAD=,易知平行四边形ABCD是菱形,所以a+2b与b的夹角为.故选A.‎ ‎7.(2018·南平二模)在△ABC中,若BC=8,BC边上的中线长为3,则·=(  )‎ A.-7 B.7 C.-28 D.28‎ 答案 A 解析 在△ABC中,若BC=8,BC边上的中线长为3,可得|+|=6,|-|=8,‎ 可得2+2·+2=36,‎ 2-2·+2=64,‎ 两式作差可得,4·=-28,所以·=-7.‎ ‎8.(2018·潍坊模拟)在等腰三角形ABC中,AB=AC,BC=6,点D为边BC的中点,则·=________.‎ 答案 -9‎ 解析 因为AB=AC,点D为边BC的中点,所以AD⊥BC,所以在方向上的投影为||cos(π-B)=-||cosB=-||=-||=-3,‎ 所以·=||||cos(π-B)=3×(-3)=-9.‎ ‎9.若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a,b夹角θ的余弦值为________.‎ 答案 - 解析 题中等式两边平方得,|a|2=|a|2+4|b|2+4a·b=|a|2+4|b|2+4|a||b|cosθ,‎ 又考虑到|a|=3|b|,所以0=4|b|2+12|b|2cosθ.‎ 解得cosθ=-,故a,b夹角的余弦值为-.‎ ‎10.在△ABC中,AB=4,AC=2,∠BAC=120°,D是边BC的中点.若E是线段AD的中点,则·=________.‎ 答案 - 解析 由题意得||=4,||=2,‎ ·=4×2×cos120°=-4.‎ ==(+),‎ 2=(+)2=(2+2·+2)‎ ‎=(16-8+4)=,‎ 所以·=(-)·(-)‎ ‎=·-(+)·+2‎ ‎=·-42+2‎ ‎=·-32‎ ‎=-4-3×=-.‎ B组 能力关 ‎1.已知向量a,b,若a=(1,0)且|b|=2|a|,则下列结论错误的是(  )‎ A.|a-b|的最大值为3‎ B.|a+b|的最大值为3‎ C.当|a-b|最大时a·b=2‎ D.当|a+b|最大时a·b=2‎ 答案 C 解析 由题意可得|b|=2|a|=2.当a,b共线且所成的角为π时,|a-b|有最大值,最大值为3,A正确;此时a·b=|a||b|cosπ=-2,C错误;当a,b共线且所成的角为0时,|a+b|有最大值,最大值为3,B正确;此时a·b=|a||b|cos0=2,D正确.‎ ‎2.(2018·日照模拟)已知A,B是圆O:x2+y2=4上的两个动点,||=2,=-,若M是线段AB的中点,则·的值为(  )‎ A. B.2 C.2 D.3‎ 答案 D 解析 由=-,又=(+),所以·=·(+)=2-2+·,又△OAB为等边三角形,所以·=2×2cos60°=2.又2=2=4,所以·=×4-×4+×2=3.‎ ‎3.(2018·天津高考)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则·的最小值为(  )‎ A. B. C. D.3‎ 答案 A 解析 连接BD,由已知可得DB=且△BCD为等边三角形,因为=++,所以·=(++)·=,设=λ(0≤λ≤1),则·=·(‎ eq o(AE,sup16(→))-)=(-)·(--)=(-)2-(-)·=3λ2-λ+.所以,当λ=时,·有最小值.‎ ‎4.(2017·浙江高考)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记I1=·,I2=·,I3=·,则(  )‎ A.I10,即I1>I3.‎ ‎∴I3