2020届二轮复习圆锥曲线问题中同解思想问题学案（全国通用） 7页

‎ 专题12 圆锥曲线问题中同解思想问题 同解思想简化运算的思路：构造方程，巧用韦达定理.‎ 类型一 构造两个直线方程 典例1. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，离心率为，又椭圆内接四边形ABCD (点A、B、C、D在椭圆上)的对角线AC，BD相交于点，且，．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求直线AB的斜率．‎ A B C D x P y ‎·‎ O ‎【答案】（1）（2）－1.‎ ‎【解析】（1）解：依题意，解得所求椭圆的方程为． ‎ ‎（2）解：设，则．‎ 由，得．代入椭圆方程，‎ 得．‎ 整理，得， ‎ 即． ③‎ 设，同理可得． ④‎ 由③④可得直线AB的方程为x＋y=，所以AB直线斜率为－1.‎ 类型二 构造两个二次方程 典例2 设平面直角坐标系xOy中，设二次函数的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.求：‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）求圆的方程；‎ ‎（3）问圆是否经过某定点（其坐标与无关）?请证明你的结论.‎ ‎【答案】（1）且；（2）（3）(－2,1)和(0,1).‎ ‎【解析】解：（1）由解得且；‎ ‎ （2）设二次函数与x轴的两个交点分别为和，则和是关于的方程 的两个不同解，设圆方程为，将点，，(0,b)分别代入圆方程有 ‎ 由前两个方程可知和是关于的方程的两个不同解，所以,代入第三个方程解得，‎ 所以圆C方程为；‎ ‎（3）由(2)圆C方程整理为，令 解得或，可知圆C经过两个定点(－2,1)和(0,1).‎ 类型三 构造一个二次方程两根 典例3 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为(，0)，离心率为.‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）‎ 椭圆C的标准方程为 ‎（2）若有切线斜率不存在，则 若两切线斜率都存在，设切线方程为 代入椭圆得，‎ 由判别式为零得：，‎ 两条切线相互垂直，所以，‎ 点P的轨迹方程为 ‎1. 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)经过点M(－2，－1)，离心率为.过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q.‎ ‎(1) 求椭圆C的方程；‎ ‎(2) 试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论．‎ ‎【答案】（1）＋＝1.（2）为定值 ‎【解析】解： (1) 由题设，得＋＝1，①且＝，②‎ 由①、②解得a2＝6，b2＝3，故椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2) 设直线MP的斜率为k，则直线MQ的斜率为－k，‎ 假设∠PMQ为直角，则k·(－k)＝－1，即k＝±1.‎ 若k＝1，则直线MQ的方程为y＋1＝－(x＋2)，‎ 与椭圆C方程联立，得x2＋4x＋4＝0，‎ 该方程有两个相等的实数根－2，不合题意；‎ 同理，若k＝－1也不合题意．故∠PMQ不可能为直角．‎ 记P(x1，y1)、Q(x2，y2)．‎ 设直线MP的方程为y＋1＝k(x＋2)，与椭圆C的方程联立，得(1＋2k2)x2＋(8k2－4k)x＋8k2－8k－4＝0，‎ 则－2，x1是该方程的两根，则－2x1＝，即x1＝.‎ 设直线MQ的方程为y＋1＝－k(x＋2)，同理得x2＝.‎ 因y1＋1＝k(x1＋2)，y2＋1＝－k(x2＋2)，故kPQ＝＝＝＝＝1，因此直线PQ的斜率为定值．‎ ‎2. 已知椭圆的中心在原点，长轴在x轴上，右顶点到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为. 不过A点的动直线交椭圆于两点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）证明两点的横坐标的平方和为定值；‎ ‎（3）过点的动圆记为圆,，已知动圆过定点和(异于点)，请求出定点的坐标. ‎ ‎【答案】（1）（2）见解析（3）(0,1).‎ ‎【解析】解：（1）设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0).由题意得, , 椭圆的标准方程为；‎ ‎（2）证明：设点将带入椭圆，‎ 化简得：①‎ ‎, , ‎ P,Q两点的横坐标的平方和为定值4.‎ ‎（3）法1：设圆的一般方程为:,则圆心为（）,‎ PQ中点M(), PQ的垂直平分线的方程为:, ‎ 圆心（）满足，所以②‎ 圆过定点(2,0)，所以③‎ 圆过, 则 两式相加得：‎ ‎ ,‎ ‎, ④‎ 因为动直线与椭圆C交与P,Q（均不与A点重合）所以，‎ 由②③④解得: ‎ 代入圆的方程为：,‎ 整理得：,‎ 所以： 解得：或(舍). ‎ 所以圆过定点(0,1).‎ 法2：设圆的一般方程为:,联立消去y得到：⑤，由题可知方程①和⑤同解 所以整理得，又有圆过点，可得且 ‎，由上述三个方程联立可得 ‎，余下同法一.‎ ‎3. 设斜率为的直线与椭圆相交于两个不同点（也不同于椭圆的右顶点），则过的圆恒过一个异于点的顶点 ‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】证明：设圆的一般方程为，直线的方程为：。将直线方程代入圆的方程得： （1）‎ 联立直线与椭圆方程得： （2）‎ 方程（1）与方程（2）为同解方程，所以 又圆过点A ，则 从而我们可得到关于的三元一次方程组 解得上述方程组的解为：‎ 代入圆的方程为：‎ 整理得：‎ 所以 解得：‎ 或（舍）‎ 故得证 注：最后解得一元二次方程： ‎