【数学】2020届一轮复习（理）通用版考点测试47空间向量及其应用作业 17页

考点测试47　空间向量及其应用 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 高考概览 考纲研读 ‎1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置 ‎2．会简单应用空间两点间的距离公式 ‎3．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示 ‎4．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 ‎5．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直 一、基础小题 ‎1．空间四边形ABCD中，已知M，G分别为BC，CD的中点，则向量＋(＋)＝(　　)‎ A． B． C． D． 答案　A 解析　如图所示，(＋)＝，＋＝．故选A．‎ ‎2．分别以棱长为1的正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则四边形AA1B1B的对角线的交点的坐标为(　　)‎ A．0，， B．，0， C．，，0 D．，， 答案　B 解析　设所求交点为O，在空间直角坐标系中，点A1(0，0，1)，B(1，0，0)，则＝(1，0，0)，＝(0，0，1)，故＝，0，，即对角线的交点坐标为，0，，故选B．‎ ‎3．若向量a＝(2，－2，－2)，b＝(2，0，4)，则a与b的夹角的余弦值为(　　)‎ A． B． C．－ D．0‎ 答案　C 解析　cos〈a，b〉＝＝＝－．‎ ‎4．设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O，球面上的两个点A，B的坐标分别为A(1，2，2)，B(2，－2，1)，则|AB|等于(　　)‎ A．18 B．‎12 C．3 D．2 答案　C 解析　|AB|＝＝3．‎ ‎5．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝(　　)‎ A．－1 B．‎0 C．1 D．不确定 答案　B 解析　‎ 如图，设a＝，b＝，c＝，则·＋·＋·＝(b－a)·(－c)＋(c－a)·b＋(－a)·(c－b)＝－b·c＋a·c＋c·b－a·b－a·c＋a·b＝0．‎ ‎6．在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，给出以下向量表达式：‎ ‎①(－)－；②(＋)－；③(－)－2；④(＋)＋．‎ 其中能够化简为向量的是(　　)‎ A．①② B．②③ C．③④ D．①④‎ 答案　A 解析　①(－)－＝－＝；‎ ‎②(＋)－＝－＝；‎ ‎③(－)－2＝－2≠；‎ ‎④(＋)＋＝＋＝≠．综上，①②符合题意．故选A．‎ ‎7．在空间直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则边AC上的高BD＝(　　)‎ A．5 B． C．4 D．2 答案　A 解析　设＝λ，＝(0，4，－3)，则＝(0，4λ，－3λ)，＝(4，－5，0)，‎ ＝(－4，4λ＋5，－3λ)．由·＝0，得λ＝－，所以＝－4，，，所以||＝5．故选A．‎ ‎8．已知空间向量a，b，满足|a|＝|b|＝1，且a，b的夹角为，O为空间直角坐标系的原点，点A，B满足＝‎2a＋b，＝‎3a－b，则△OAB的面积为________．‎ 答案　 解析　由已知＝‎2a＋b，＝‎3a－b，得 ‎||＝ ＝ ，||＝ ＝．‎ ‎∴cos∠BOA＝＝，∴sin∠BOA＝．‎ ‎∴S△OAB＝||||sin∠BOA＝．‎ 二、高考小题 ‎9．(2014·广东高考)已知向量a＝(1，0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是(　　)‎ A．(－1，1，0) B．(1，－1，0)‎ C．(0，－1，1) D．(－1，0，1)‎ 答案　B 解析　经检验，选项B中向量(1，－1，0)与向量a＝(1，0，－1)的夹角的余弦值为，即它们的夹角为60°．故选B．‎ ‎10．(2015·浙江高考)已知e1，e2是空间单位向量，e1·e2＝．若空间向量b满足b·e1＝2，b·e2＝，且对于任意x，y∈R，|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1(x0，y0∈R)，则x0＝________，y0＝________，|b|＝________．‎ 答案　1　2　2 解析　∵e1，e2是单位向量，e1·e2＝，∴cos〈e1，e2〉＝，又∵0°≤〈e1，e2〉≤180°，∴〈e1，e2〉＝60°．不妨把e1，e2放到空间直角坐标系Oxyz的平面xOy中，设e1＝(1，0，0)，则e2＝，再设＝b＝(m，n，r)，由b·e1＝2，b·e2＝，得m＝2，n＝，则b＝(2，，r)．而xe1＋ye2是平面xOy上任一向量，由|b－(xe1＋ye2)|≥1知点B(2，，r)到平面xOy的距离为1，故可得r＝1，则b＝(2，，1)，∴|b|＝2．又由|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1知x0e1＋y0e2＝(2，，0)，解得x0＝1，y0＝2．‎ 三、模拟小题 ‎11．(2018·山东临沂模拟)若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则(　　)‎ A．l∥α B．l⊥α C．l⊂α D．l与α斜交 答案　B 解析　∵a＝(1，0，2)，n＝(－2，0，－4)，即n＝－‎2a，故a∥n，∴l⊥α．‎ ‎12．(2018·河南安阳联考)设平面α的一个法向量为n1＝(1，2，－2)，平面β的一个法向量为n2＝(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝(　　)‎ A．2 B．－‎4 C．－2 D．4‎ 答案　D 解析　∵α∥β，∴n1∥n2，由题意可得＝＝，∴k＝4．‎ ‎13．(2018·河北衡水月考)正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，点E为上底面A‎1C1的中心．若向量A＝＋x＋y，则实数x，y的值分别为(　　)‎ A．x＝1，y＝1 B．x＝1，y＝ C．x＝，y＝ D．x＝，y＝1‎ 答案　C ‎14．(2018·合肥质检)长方体ABCD－A1B‎1C1D1中，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，‎ 点M是BC的中点，点P∈AC1，Q∈MD，则PQ长度的最小值为(　　)‎ A．1 B． C． D．2‎ 答案　C 解析　根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 设P(x0，2x0，3－3x0)，‎ Q(x1，2－x1，3)，x0，‎ x1∈[0，1]，所以 PQ＝‎ ‎＝ ，‎ 当且仅当x0＝，x1＝时，PQ取得最小值，‎ 即PQmin＝＝．‎ ‎15．(2018·贵阳模拟)如图，在直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，∠ACB＝90°，‎2AC＝AA1＝BC＝2．若二面角B1－DC－C1的大小为60°，则AD的长为(　　)‎ A． B． C．2 D． 答案　A 解析　如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(1，0，0)，B1(0，2，2)，C1(0，0，2)‎ 设AD＝a，则D点坐标为(1，0，a)，＝(1，0，a)，＝(0，2，2)，设平面B1CD的一个法向量为m＝(x，y，z)．‎ 则⇒令z＝－1，‎ 得m＝(a，1，－1)，又平面C1DC的一个法向量为n＝(0，1，0)，则由cos60°＝，得＝，即a＝，故AD＝．‎ ‎16．(2018·北京海淀区一模)正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则·的取值范围是________．‎ 答案　[0，1]‎ 解析　‎ 以DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，DD1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系Dxyz．‎ 则D(0，0，0)，C(0，1，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)．‎ ‎∴＝(0，1，0)，＝(－1，－1，1)．‎ ‎∵点P在线段BD1上运动，‎ ‎∴设＝λ＝(－λ，－λ，λ)，且0≤λ≤1．‎ ‎∴＝＋＝＋＝(－λ，1－λ，λ)．‎ ‎∴·＝1－λ∈[0，1]．‎ 一、高考大题 ‎1．(2018·全国卷Ⅲ)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．‎ ‎(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；‎ ‎(2)当三棱锥M－ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．‎ 解　(1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．‎ 因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．‎ 因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，‎ 所以DM⊥CM．‎ 又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC．‎ 而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．‎ ‎(2)以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz．‎ 当三棱锥M－ABC体积最大时，M为的中点．‎ 由题设得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，M(0，1，1)，‎ ＝(－2，1，1)，＝(0，2，0)，＝(2，0，0)．‎ 设n＝(x，y，z)是平面MAB的法向量，则 即 可取n＝(1，0，2)．‎ 是平面MCD的法向量，因此，‎ cos〈n，〉＝＝，sin〈n，〉＝，‎ 所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是．‎ ‎2．(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．‎ ‎(1)证明：PO⊥平面ABC；‎ ‎(2)若点M在棱BC上，且二面角M－PA－C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．‎ 解　(1)证明：因为PA＝PC＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2．‎ 连接OB．因为AB＝BC＝AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝AC＝2．‎ 由OP2＋OB2＝PB2，知OP⊥OB．‎ 由OP⊥OB，OP⊥AC，AC∩OB＝O，知PO⊥平面ABC．‎ ‎(2)如图，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz．‎ 由已知得O(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，－2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，则＝(0，2，2)，取平面PAC的法向量＝(2，0，0)．‎ 设M(a，2－a，0)(0