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  • 2021-06-16 发布

【数学】2020届一轮复习(理)通用版考点测试47空间向量及其应用作业

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考点测试47 空间向量及其应用 ‎                  ‎ 高考概览 考纲研读 ‎1.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置 ‎2.会简单应用空间两点间的距离公式 ‎3.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示 ‎4.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 ‎5.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直 一、基础小题 ‎1.空间四边形ABCD中,已知M,G分别为BC,CD的中点,则向量+(+)=(  )‎ A. B. C. D. 答案 A 解析 如图所示,(+)=,+=.故选A.‎ ‎2.分别以棱长为1的正方体ABCD-A1B‎1C1D1的棱AB,AD,AA1所在的直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则四边形AA1B1B的对角线的交点的坐标为(  )‎ A.0,, B.,0, C.,,0 D.,, 答案 B 解析 设所求交点为O,在空间直角坐标系中,点A1(0,0,1),B(1,0,0),则=(1,0,0),=(0,0,1),故=,0,,即对角线的交点坐标为,0,,故选B.‎ ‎3.若向量a=(2,-2,-2),b=(2,0,4),则a与b的夹角的余弦值为(  )‎ A. B. C.- D.0‎ 答案 C 解析 cos〈a,b〉===-.‎ ‎4.设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O,球面上的两个点A,B的坐标分别为A(1,2,2),B(2,-2,1),则|AB|等于(  )‎ A.18 B.‎12 C.3 D.2 答案 C 解析 |AB|==3.‎ ‎5.在空间四边形ABCD中,·+·+·=(  )‎ A.-1 B.‎0 C.1 D.不确定 答案 B 解析 ‎ 如图,设a=,b=,c=,则·+·+·=(b-a)·(-c)+(c-a)·b+(-a)·(c-b)=-b·c+a·c+c·b-a·b-a·c+a·b=0.‎ ‎6.在正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,给出以下向量表达式:‎ ‎①(-)-;②(+)-;③(-)-2;④(+)+.‎ 其中能够化简为向量的是(  )‎ A.①② B.②③ C.③④ D.①④‎ 答案 A 解析 ①(-)-=-=;‎ ‎②(+)-=-=;‎ ‎③(-)-2=-2≠;‎ ‎④(+)+=+=≠.综上,①②符合题意.故选A.‎ ‎7.在空间直角坐标系中,已知△ABC的顶点坐标分别为A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则边AC上的高BD=(  )‎ A.5 B. C.4 D.2 答案 A 解析 设=λ,=(0,4,-3),则=(0,4λ,-3λ),=(4,-5,0),‎ =(-4,4λ+5,-3λ).由·=0,得λ=-,所以=-4,,,所以||=5.故选A.‎ ‎8.已知空间向量a,b,满足|a|=|b|=1,且a,b的夹角为,O为空间直角坐标系的原点,点A,B满足=‎2a+b,=‎3a-b,则△OAB的面积为________.‎ 答案  解析 由已知=‎2a+b,=‎3a-b,得 ‎||= = ,||= =.‎ ‎∴cos∠BOA==,∴sin∠BOA=.‎ ‎∴S△OAB=||||sin∠BOA=.‎ 二、高考小题 ‎9.(2014·广东高考)已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a成60°夹角的是(  )‎ A.(-1,1,0) B.(1,-1,0)‎ C.(0,-1,1) D.(-1,0,1)‎ 答案 B 解析 经检验,选项B中向量(1,-1,0)与向量a=(1,0,-1)的夹角的余弦值为,即它们的夹角为60°.故选B.‎ ‎10.(2015·浙江高考)已知e1,e2是空间单位向量,e1·e2=.若空间向量b满足b·e1=2,b·e2=,且对于任意x,y∈R,|b-(xe1+ye2)|≥|b-(x0e1+y0e2)|=1(x0,y0∈R),则x0=________,y0=________,|b|=________.‎ 答案 1 2 2 解析 ∵e1,e2是单位向量,e1·e2=,∴cos〈e1,e2〉=,又∵0°≤〈e1,e2〉≤180°,∴〈e1,e2〉=60°.不妨把e1,e2放到空间直角坐标系Oxyz的平面xOy中,设e1=(1,0,0),则e2=,再设=b=(m,n,r),由b·e1=2,b·e2=,得m=2,n=,则b=(2,,r).而xe1+ye2是平面xOy上任一向量,由|b-(xe1+ye2)|≥1知点B(2,,r)到平面xOy的距离为1,故可得r=1,则b=(2,,1),∴|b|=2.又由|b-(xe1+ye2)|≥|b-(x0e1+y0e2)|=1知x0e1+y0e2=(2,,0),解得x0=1,y0=2.‎ 三、模拟小题 ‎11.(2018·山东临沂模拟)若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为n=(-2,0,-4),则(  )‎ A.l∥α B.l⊥α C.l⊂α D.l与α斜交 答案 B 解析 ∵a=(1,0,2),n=(-2,0,-4),即n=-‎2a,故a∥n,∴l⊥α.‎ ‎12.(2018·河南安阳联考)设平面α的一个法向量为n1=(1,2,-2),平面β的一个法向量为n2=(-2,-4,k),若α∥β,则k=(  )‎ A.2 B.-‎4 C.-2 D.4‎ 答案 D 解析 ∵α∥β,∴n1∥n2,由题意可得==,∴k=4.‎ ‎13.(2018·河北衡水月考)正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,点E为上底面A‎1C1的中心.若向量A=+x+y,则实数x,y的值分别为(  )‎ A.x=1,y=1 B.x=1,y= C.x=,y= D.x=,y=1‎ 答案 C ‎14.(2018·合肥质检)长方体ABCD-A1B‎1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=3,‎ 点M是BC的中点,点P∈AC1,Q∈MD,则PQ长度的最小值为(  )‎ A.1 B. C. D.2‎ 答案 C 解析 根据题意建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 设P(x0,2x0,3-3x0),‎ Q(x1,2-x1,3),x0,‎ x1∈[0,1],所以 PQ=‎ ‎= ,‎ 当且仅当x0=,x1=时,PQ取得最小值,‎ 即PQmin==.‎ ‎15.(2018·贵阳模拟)如图,在直三棱柱ABC-A1B‎1C1中,∠ACB=90°,‎2AC=AA1=BC=2.若二面角B1-DC-C1的大小为60°,则AD的长为(  )‎ A. B. C.2 D. 答案 A 解析 如图,以C为坐标原点,CA,CB,CC1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,2,2),C1(0,0,2)‎ 设AD=a,则D点坐标为(1,0,a),=(1,0,a),=(0,2,2),设平面B1CD的一个法向量为m=(x,y,z).‎ 则⇒令z=-1,‎ 得m=(a,1,-1),又平面C1DC的一个法向量为n=(0,1,0),则由cos60°=,得=,即a=,故AD=.‎ ‎16.(2018·北京海淀区一模)正方体ABCD-A1B‎1C1D1的棱长为1,若动点P在线段BD1上运动,则·的取值范围是________.‎ 答案 [0,1]‎ 解析 ‎ 以DA所在的直线为x轴,DC所在的直线为y轴,DD1所在的直线为z轴,建立空间直角坐标系Dxyz.‎ 则D(0,0,0),C(0,1,0),A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1).‎ ‎∴=(0,1,0),=(-1,-1,1).‎ ‎∵点P在线段BD1上运动,‎ ‎∴设=λ=(-λ,-λ,λ),且0≤λ≤1.‎ ‎∴=+=+=(-λ,1-λ,λ).‎ ‎∴·=1-λ∈[0,1].‎ 一、高考大题 ‎1.(2018·全国卷Ⅲ)如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.‎ ‎(1)证明:平面AMD⊥平面BMC;‎ ‎(2)当三棱锥M-ABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.‎ 解 (1)证明:由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.‎ 因为BC⊥CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.‎ 因为M为上异于C,D的点,且DC为直径,‎ 所以DM⊥CM.‎ 又BC∩CM=C,所以DM⊥平面BMC.‎ 而DM⊂平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.‎ ‎(2)以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.‎ 当三棱锥M-ABC体积最大时,M为的中点.‎ 由题设得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1),‎ =(-2,1,1),=(0,2,0),=(2,0,0).‎ 设n=(x,y,z)是平面MAB的法向量,则 即 可取n=(1,0,2).‎ 是平面MCD的法向量,因此,‎ cos〈n,〉==,sin〈n,〉=,‎ 所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是.‎ ‎2.(2018·全国卷Ⅱ)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.‎ ‎(1)证明:PO⊥平面ABC;‎ ‎(2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值.‎ 解 (1)证明:因为PA=PC=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=2.‎ 连接OB.因为AB=BC=AC,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB=AC=2.‎ 由OP2+OB2=PB2,知OP⊥OB.‎ 由OP⊥OB,OP⊥AC,AC∩OB=O,知PO⊥平面ABC.‎ ‎(2)如图,以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.‎ 由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),则=(0,2,2),取平面PAC的法向量=(2,0,0).‎ 设M(a,2-a,0)(0