【数学】2021届一轮复习人教版（文理通用）第6章第7讲数学归纳法作业 6页

对应学生用书[练案45理]‎ 第七讲　数学归纳法(理)‎ A组基础巩固 一、选择题 ‎1．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋(　B　)‎ A．　 B．π　‎ C．π　 D．2π ‎[解析]　由凸多边形内角和公式易知选B．‎ ‎2．(2019·四川南充一诊)用数学归纳法证明：x2n－1＋y2n－1(n∈N*)能被x＋y整除．从假设n＝k成立到证明n＝k＋1成立时，被除式应为(　C　)‎ A．x2k＋3＋y2k＋3　 B．x2k＋2＋y2k＋2‎ C．x2k＋1＋y2k＋1　 D．x2k＋y2k ‎[解析]　由于n＝k＋1时，x2n－1＋y2n－1＝x2k＋1＋y2k＋1，故选C．‎ ‎3．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(　C　)‎ A．2　 B．3　‎ C．5　 D．6‎ ‎[解析]　当n＝1时，21＝2＝12＋1，‎ 当n＝2时，22＝4<22＋1＝5，‎ 当n＝3时，23＝8<32＋1＝10，‎ 当n＝4时，24＝16<42＋1＝17，‎ 当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，‎ 当n＝6时，26＝64>62＋1＝37，故起始值n0应取5.‎ ‎4．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，等式左边的项是(　C　)‎ A．1　 B．1＋a C．1＋a＋a2　 D．1＋a＋a2＋a3‎ ‎[解析]　当n＝1时，左边＝1＋a＋a2，故选C．‎ ‎5．用数学归纳法证明：“(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)”，从“k到k＋‎1”‎左端需增乘的代数式为(　B　)‎ A．2k＋1　 B．2(2k＋1)‎ C．　 D． ‎[解析]　依题意当n＝k时，左边＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(k＋k)，当n＝k＋1时，左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)(k＋1＋3)…(k＋1＋k)(k＋1＋k＋1)，从“k到k＋‎1”‎左端需增乘的代数式为＝2(2k＋1)．故选B．‎ ‎6．(2020·河南驻马店名校联考)某个命题和正整数n有关，如果当n＝k，k为正整数时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时，命题也成立．现已知当n＝7时命题不成立，那么可以推得(　A　)‎ A．当n＝6时该命题不成立 B．当n＝6时该命题成立 C．当n＝8时该命题不成立 D．当n＝8时该命题成立 ‎[解析]　由原命题与其逆否命题的真假性相同，得已知当n＝7时命题不成立，那么可以推得当n＝6时该命题不成立．‎ ‎7．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，经计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，观察上述结果，可推测出一般结论(　C　)‎ A．f(2n)>　 B．f(n2)≥ C．f(2n)≥　 D．以上都不对 ‎[解析]　f(2)＝，f(4)＝f(22)>，‎ f(8)＝f(23)>，f(16)＝f(24)>，‎ f(32)＝f(25)>，‎ 由此可推知f(2n)≥，故选C．‎ ‎8．对于不等式的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是　.‎ ‎[解析]　不等式的左边增加的式子是＋－＝，故填.‎ ‎12．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有(Sn－1)2＝anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn＝　.‎ ‎[解析]　由(S1－1)2＝S，得S1＝；‎ 由(S2－1)2＝(S2－S1)S2，得S2＝；‎ 由(S3－1)2＝(S3－S2)S3，得 S3＝.‎ 猜想Sn＝.‎ 三、解答题 ‎13．求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．‎ ‎[证明]　①n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．‎ ‎②假设n＝k时，等式成立，即 ‎12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．‎ 当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时，等式也成立．‎ 由①②得，等式对任何n∈N*都成立．‎ ‎14．设n∈N*，n>1，求证：1＋＋＋…＋>.‎ ‎[解析]　解法一：(用数学归纳法证明)‎ ‎①当n＝2时，不等式左边＝1＋>＝右边．‎ ‎②假设n＝k(k>1，k∈N*)时，不等式成立，‎ 即1＋＋＋…＋>，‎ 那么当n＝k＋1时，‎ 有1＋＋＋…＋＋>＋＝>＝＝.‎ 所以当n＝k＋1时，不等式也成立．‎ 由①②可知对任意n∈N*，n>1，‎ ‎1＋＋＋…＋>均成立．‎ 解法二：(构造数列法)‎ 记an＝1＋＋＋…＋－，‎ 则a2＝1＋－＝1－>0，‎ 且当n≥2时an＋1－an＝－＋ ‎＝＝>0，‎ ‎∴当n>1时{an}是递增数列，‎ ‎∴当n>1时an>0，即1＋＋…＋>.‎ B组能力提升 ‎1．若k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱的对角面的个数为(　B　)‎ A．‎2f(k)　 B．f(k)＋k－1‎ C．f(k)＋k　 D．f(k)＋2‎ ‎[解析]　增加一条棱与前面k条棱中不相邻的棱作对角面，有k－2个，同时，一个侧面变成了对角面，故共增加了k－2＋1＝k－1个对角面．故选B．‎ ‎2．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋>(n∈N*)成立，其初始值至少应取(　B　)‎ A．7　 B．8　‎ C．9　 D．10‎ ‎[解析]　∵左边＝1＋＋＋…＋＝2－，代入验证可知n的最小值为8.故选B．‎ ‎3．用数学归纳法证明“42n－1＋3n＋1(n∈N*)能被13整除”，当n＝k＋1时为了使用归纳假设，对42k＋1＋3k＋2变形正确的是(　A　)‎ A．16(42k－1＋3k＋1)－13×3k＋1‎ B．4×42k＋9×3k C．(42k－1＋3k＋1)＋15×42k－1＋2×3k＋1‎ D．3(42k－1＋3k＋1)－13×42k－1‎ ‎[解析]　假设n＝k时命题成立，即42k－1＋3k＋1能被13整除．当n＝k＋1时，42k＋1＋3k＋2＝16×42k－1＋3×3k＋1＝16(42k－1＋3k＋1)－13×3k＋1，故选A．‎ ‎4．(2019·山西省吕梁一中模拟)已知数列{an}满足a1＝a>2，an＝(n≥2，n∈N*)．‎ ‎(1)求证：对任意n∈N*，an>2恒成立；‎ ‎(2)判断数列{an}的单调性，并说明你的理由．‎ ‎[解析]　(1)用数学归纳法证明：an>2(n∈N*)；‎ ‎①当n＝1时，a1＝a>2，结论成立；‎ ‎②假设n＝k(k≥1)时结论成立，即ak>2，‎ 则n＝k＋1时，ak＋1＝>＝2，‎ 所以n＝k＋1时，结论成立．‎ 故由①②及数学归纳法原理，知对一切的n∈N*，都有an>2成立．‎ ‎(2){an}是单调递减的数列．‎ 因为a－a＝an＋2－a＝－(an－2)(an＋1)，‎ 又an>2，所以a－a<0，所以an＋1