2019届二轮复习数列的概念与表示法学案（全国通用） 11页

‎1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)‎ ‎2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数 热点题型一 由数列的前几项归纳数列的通项公式 例1、（2018年北京卷）设是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则的通项公式为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【变式探究】【2017课标3，理14】设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【变式探究】根据下面各数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：‎ ‎(1)－1,7，－13,19，…；‎ ‎(2)，，，，，…；‎ ‎(3)，2，，8，，…；‎ ‎(4)5,55,555,5 555，…。‎ ‎【解析】(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an＝(－1)n(6n－5)。‎ ‎(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项 ‎【提分秘籍】‎ 用观察法求数列的通项公式的方法 ‎(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要遵循先整体—再局部—再整体的观察次序，以常见的基本数列为基础，如自然数列、奇数列、偶数列、变号数列((－1)n或(－1)n＋1)等，注意观察项与其项数n之间的关系，同时，可以采取诸如添项、通分、分割等办法转化为一些常见数列； ‎ ‎(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想。‎ ‎ ‎ ‎【举一反三】 ‎ 下列公式可作为数列{an}：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是(　　)‎ A．an＝1 B．an＝ C．an＝2－ D．an＝ ‎【答案】C ‎【解析】由an＝2－可得a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝2，…。‎ 热点题型二 由an与Sn的关系求通项an ‎ 例2、已知数列{an}的前n项和Sn，分别求它们的通项公式an。‎ ‎(1)Sn＝2n2＋3n。‎ ‎(2)Sn＝3n＋1。‎ ‎【解析】(1)由题可知，当n＝1时，a1＝S1＝2×12＋3×1＝5， ‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋3(n－1) ＝4n＋1。‎ 当n＝1时，4×1＋1＝5＝a1，‎ 所以an＝4n＋1。‎ ‎(2)当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4，‎ 当n≥2时，‎ an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2×3n－1。‎ 当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，‎ 所以an＝ ‎【提分秘籍】 ‎ 已知Sn求an的三个步骤 ‎(1)先利用a1＝S1求出a1。‎ ‎(2)用n－1替换Sn中n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式。‎ ‎(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写。‎ ‎【举一反三】 ‎ 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为__________。‎ ‎【答案】an＝ 热点题型三 由递推关系式求通项公式 例3．根据下列条件，确定数列{an}的通项公式。‎ ‎(1)a1＝1，an＋1＝3an＋2；‎ ‎(2)a1＝1，an＝an－1(n≥2)；‎ ‎(3)已知数列{an}满足an＋1＝an＋3n＋2，且a1＝2，求an。‎ ‎【解析】(1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)， . ‎ ‎∴＝3，‎ ‎【提分秘籍】‎ 由递推关系式求通项公式的类型与方法 ‎①已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解。‎ ‎②当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；当出现＝f(n)时，用累乘法求解。 ‎ ‎【举一反三】 ‎ ‎(1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an等于(　　)‎ A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n C．2＋nln n D．1＋n＋ln n ‎(2)若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式an＝__________。‎ ‎【答案】(1) A ‎ ‎(2) 2。‎ ‎【解析】(1)由已知，an＋1－an＝ln，a1＝2，‎ 所以an－an－1＝ln(n≥2)，an－1－an－2＝ln，…‎ a2－a1＝ln，将以上n－1个式子叠加，得 an－a1＝ln＋ln＋…＋ln＝ln＝ln n。‎ 所以an＝2＋ln n(n≥2)，‎ 经检验n＝1时也适合。故选A。 . ‎ ‎(2)由于＝2n，故＝21，＝22，…，＝2n－1，将这n－1个等式叠乘得＝21＋2＋…＋(n－1)＝2，故an＝2。‎ 热点题型四 数列的性质及其应用 ‎ 例4、 (1)已知an＝，那么数列{an}是(　　)‎ A．递减数列 B．递增数列 C．常数列 D．摆动数列 ‎(2) 数列{an}满足an＋1＝a1＝，则数列的第2 015项为________。‎ ‎【答案】(1)B (2) ‎－1＝，…，‎ 所以该数列的周期T＝4。而2 015＝4×503＋3，‎ 所以a2 015＝a3＝。‎ ‎【提分秘籍】‎ ‎1．解决数列的单调性问题可用以下三种方法 ‎(1)用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或是常数列。‎ ‎(2)用作商比较法，根据(an＞0或an＜0)与1的大小关系进行判断。‎ ‎(3)结合相应函数的图象直观判断。‎ ‎2．解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值。‎ ‎【举一反三】 ‎ 设数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝1－，记数列{an}的前n项之积为Tr，则T2 014的值为(　　)‎ A．－ B．－1 C. D．－2‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎1. （2018年北京卷）设是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则的通项公式为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎2. （2018年北京卷）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则，故选D。‎ ‎1.【2017课标3，理14】设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设等比数列的公比为 ，很明显 ，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：‎ ‎，由 可得： ，代入①可得，‎ 由等比数列的通项公式可得： .‎ ‎1．（2014·江西卷）已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N )满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.‎ ‎(1)令cn＝，求数列{cn}的通项公式；‎ ‎(2)若bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn.‎ ‎－1，3Sn＝1×31＋3×32＋…＋(2n－3)×3n－1＋(2n－1)×3n，将两式相减得－2Sn＝1＋2×(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)×3n＝－2－(2n－2)×3n，‎ 所以Sn＝(n－1)3n＋1.‎ ‎2．（2014·新课标全国卷Ⅰ 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．‎ ‎(1)证明：an＋2－an＝λ.‎ ‎(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．‎ ‎【解析】(1)证明：由题设，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，‎ 两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.‎ 因为an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.‎ ‎(2)由题设，a1＝1，a‎1a2＝λS1－1，可得 a2＝λ－1，‎ 由(1)知，a3＝λ＋1.‎ 若{an}为等差数列，则‎2a2＝a1＋a3，解得λ＝4，故an＋2－an＝4.‎ 由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，‎ a2n－1＝4n－3；‎ ‎{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.‎ 所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.‎ 因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．‎ ‎3．（2014·新课标全国卷Ⅱ 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.‎ ‎(1)证明是等比数列，并求{an}的通项公式；‎ ‎(2)证明＋＋…＋＜. ‎ ‎【解析】(1)由an＋1＝3an＋1得an＋1＋＝3.‎ 又a1＋＝，所以是首项为，公比为3的等比数列，所以an＋＝，因此数列{an}的通项公 ‎4．（2014·重庆卷）设a1＝1，an＋1＝＋b(n∈N )．‎ ‎(1)若b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式．‎ ‎(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2n0)，因为所有AnBn相互平行且a1＝1，a2＝2，所以S梯形A1B1B‎2A2＝‎3m，当n≥2时，＝＝＝，‎ 故a＝a，‎ a＝a，‎ a＝a，‎ ‎……‎ a＝a 以上各式累乘可得a＝(3n－2)a，因为a1＝1，‎ 所以an＝.‎ ‎6．（2013·辽宁卷）下面是关于公差d>0的等差数列的四个命题：‎ p1：数列是递增数列；‎ p2：数列是递增数列；‎ p3：数列是递增数列；‎ p4：数列是递增数列．‎ 其中的真命题为(　　)‎ A．p1，p2 B．p3，p‎4 C．p2，p3 D．p1，p4‎ ‎【答案】D　‎ ‎【解析】因为数列{an}中d>0，所以{an}是递增数列，则p1为真命题．而数列{an＋3nd}也是递增数列，所以p4为真命题，故选D.‎ ‎7．（2013·全国卷）等差数列{an}前n项和为Sn.已知S3＝a，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．‎ ‎ ‎ ‎ ‎