【数学】2020届一轮复习人教A版第47课椭圆的几何性质作业（江苏专用） 4页

随堂巩固训练(47)‎ ‎ 1. 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，使△OPF1为正三角形，则椭圆的离心率为__－1__．‎ 解析：设F1为椭圆的左焦点，则由题意得，点P横坐标为－，所以点P到左准线的距离d＝－＝.因为△OPF1的边长为c，所以e＝＝＝＝，解得e＝－1或e＝－－1(舍去)，故椭圆的离心率为－1.‎ ‎ 2. 已知椭圆＋y2＝1的两个焦点分别为F1，F2，过点F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则PF2＝____．‎ 解析：由题意知，a2＝4，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝3，不妨设F1(－，0)，将x＝－代入椭圆的方程可得＋y2＝1，所以y＝±，所以PF1＝，PF2＝2a－PF1＝4－＝.‎ ‎ 3. 过椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点F2作x轴的垂线交椭圆于点P，F1为左焦点，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为__－1__．‎ 解析：由题意可得PF2＝F1F2＝2c，则PF1＝2c，所以2c＋2c＝2a，即(2＋2)c＝2a，e＝＝－1.‎ ‎ 4. 若椭圆＋＝1的离心率为，则实数m的值为__4或－__．‎ 解析：若焦点在x轴上，则8＋m>9，即m>1，a＝，b＝3，则c＝＝，所以e＝＝＝，解得m＝4；若焦点在y轴上，则8＋m<9，即m<1，a＝3，b＝，则c＝＝，所以e＝＝＝，解得m＝－.故实数m的值为4或－.‎ ‎ 5. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆的方程为__＋＝1或＋＝1__．‎ 解析：由题意得2a＝12，即a＝6.因为离心率为，所以c＝2，所以b2＝36－4＝32.当焦点在x轴上时，椭圆的方程为＋＝1；当焦点在y轴上时，椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎ 6. 如图，已知P是以F1，F2为焦点的椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，若PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝，则此椭圆的离心率是____．‎ 解析：由题意可知△PF1F2为直角三角形，设PF1＝m，因为tan∠PF1F2＝，所以PF2＝，F1F2＝m，所以e＝＝＝.‎ ‎ 7. 焦点在x轴上的椭圆的一个焦点到长轴两个端点的距离之比为，短轴长为8，则椭 圆的标准方程为__＋＝1__．‎ 解析：由题意可得，2b＝8，＝，a2－b2＝c2，解得a＝5，b＝4，c＝3.因为椭圆焦点在x轴上，所以椭圆方程为＋＝1.‎ ‎ 8. 已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，在长轴A1A2上任取一点M，过M作垂直于A1A2的直线，与椭圆的一个交点为P，则使得·<0的点M的概率为____．‎ 解析：由题意得A1A2＝2a＝4，b＝1，2c＝2，设点P(x0，y0)，当·＝0时，(x0－)(x0＋)＋y＝0，联立＋y＝1，解得x0＝±.符合·<0的点M的横坐标在之间，故使得·<0的点M的概率为＝.‎ ‎ 9. 设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆的离心率的取值范围是____．‎ 解析：设准线与x轴的交点为Q，连结PF2.因为PF1的中垂线过点F2，所以F1F2＝PF2＝2c.因为QF2＝－c，且PF2≥QF2，所以由2c≥－c，可得2·≥－，即2e≥－e，解得e≥，结合椭圆的离心率e∈(0，1)，得≤e<1.‎ ‎10. 设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D.若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于____．‎ 解析：因为AB⊥x轴，所以D为F1B的中点，且AF2＝.又AD⊥F1B，所以AF1＝AB，所以2a－＝，所以＝，e2＝1－＝，所以e＝.‎ ‎11. 椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若AB＝2，OC所在直线的斜率为，求椭圆的方程．‎ 解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 代入椭圆方程并作差得a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0.‎ 而＝－1，kOC＝＝，‎ 代入上式可得b＝a.‎ 联立方程组 化简得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0，‎ 所以x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 因为AB＝|x2－x1|＝|x2－x1|＝2，‎ 所以－4·＝4，‎ 将b＝a代入得a＝，所以b＝，‎ 所以所求椭圆的方程是＋＝1.‎ ‎12. 设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足BM＝2MA，直线OM的斜率为.‎ ‎(1) 求椭圆E的离心率；‎ ‎(2) 设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求椭圆E的方程．‎ 解析：(1) 由题设条件知，点M的坐标为.‎ 又kOM＝，则＝，‎ 所以a＝b，c＝＝2b，‎ 故e＝＝.‎ ‎(2) 由题意得直线AB的方程为＋＝1，‎ 点N的坐标为.‎ 设N关于直线AB的对称点S的坐标为，‎ 则线段NS的中点T的坐标为(＋，－＋)．‎ 又点T在直线AB上，且kNS·kAB＝－1，‎ 则 解得b＝3，‎ 所以a＝3，‎ 故椭圆E的方程为＋＝1.‎ ‎13. 设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且点P(a，b)满足PF2＝F1 F2.‎ ‎(1) 求椭圆的离心率；‎ ‎(2) 设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆(x＋1)2＋(y－)2＝16相交于M，N两点，且MN＝AB，求椭圆的方程．‎ 解析：(1) 设点F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)，‎ 因为PF2＝F1F2，‎ 所以＝2c，‎ 整理得2＋－1＝0，‎ 解得＝－1(舍)或＝，所以e＝.‎ ‎(2) 由(1)知a＝2c，b＝c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，‎ 直线PF2的方程为y＝(x－c)．‎ A，B两点的坐标满足方程组 消去y并整理，得5x2－8cx＝0，‎ 解得x1＝0或x2＝c，‎ 所以方程组的解 或 不妨设A，B(0，－c)，‎ 所以AB＝＝c，‎ 则MN＝AB＝2c.‎ 圆心(－1，)到直线PF2的距离d＝＝.‎ 因为d2＋＝42，所以(2＋c)2＋c2＝16，‎ 整理得7c2＋12c－52＝0，解得c＝－(舍)或c＝2，‎ 所以椭圆方程为＋＝1.‎