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- 2021-06-16 发布
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第2讲 圆锥曲线
[考情考向分析] 1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率).2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等).
热点一 圆锥曲线的定义与标准方程
1.圆锥曲线的定义
(1)椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|).
(2)双曲线:||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|).
(3)抛物线:|PF|=|PM|,点F不在直线l上,PM⊥l于点M.
2.求圆锥曲线标准方程“先定型,后计算”
所谓“定型”,就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置;所谓“计算”,就是指利用待定系数法求出方程中的a2,b2,p的值.
例1 (1)(2018·乌鲁木齐诊断)椭圆的离心率为,F为椭圆的一个焦点,若椭圆上存在一点与F关于直线y=x+4对称,则椭圆方程为( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1或+=1 D.+=1或+=1
答案 C
解析 由题意知,=,得a2=2b2=2c2,
当F在x轴上时,
不妨设椭圆方程为+=1(a>b>0),
椭圆上任取点P,取焦点F(-c,0),
则PF中点M,
根据条件可得
联立两式解得x0=-4,y0=4-c,
代入椭圆方程解得a=3,b=3,
由此可得椭圆方程为+=1.
同理,当F在y轴上时,椭圆方程为+=1.
(2)(2018·龙岩质检)已知以圆C:(x-1)2+y2=4的圆心为焦点的抛物线C1与圆C在第一象限交于A点,B点是抛物线C2:x2=8y上任意一点,BM与直线y=-2垂直,垂足为M,则|BM|-|AB|的最大值为( )
A.1 B.2 C.-1 D.8
答案 A
解析 因为圆C:(x-1)2+y2=4的圆心为C(1,0),
所以可得以C(1,0)为焦点的抛物线方程为y2=4x,
由解得A(1,2).
抛物线C2:x2=8y的焦点为F(0,2),
准线方程为y=-2,
即有|BM|-|AB|=|BF|-|AB|≤|AF|=1,
当且仅当A,B,F(A在B,F之间)三点共线时,可得最大值1.
思维升华 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质,注意当焦点在不同坐标轴上时,椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式.
(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法,可结合草图确定.
跟踪演练1 (1)(2018·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学模拟)与椭圆C:+=1共焦点且渐近线方程为y=±x的双曲线的标准方程为( )
A.x2-=1 B.-y2=1
C.y2-=1 D.-x2=1
答案 D
解析 ∵+=1的焦点坐标为(0,±2),
∴双曲线的焦点为(0,±2),可得c=2=,
由渐近线方程为y=±x,得=,
∴a=,b=1,
∴双曲线的标准方程为-x2=1,故选D.
(2)如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A,B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线方程为( )
A.y2=9x B.y2=6x C.y2=3x D.y2=x
答案 C
解析 如图分别过点A,B作准线的垂线,分别交准线于点E,D,设准线交x轴于点G.
设=a,则由已知得=2a,
由抛物线定义,得=a,故∠BCD=30°,
在Rt△ACE中,
∵=|AF|=3,=3+3a,|AC|=2|AE|,
∴3+3a=6,
从而得a=1,=3a=3.
∴p===,
因此抛物线方程为y2=3x,故选C.
热点二 圆锥曲线的几何性质
1.椭圆、双曲线中a,b,c之间的关系
(1)在椭圆中:a2=b2+c2,离心率为e==.
(2)在双曲线中:c2=a2+b2,离心率为e==.
2.双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系.
例2 (1)(2018·永州模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F2,O为坐标原点,M为y轴上一点,点A是直线MF2与椭圆C的一个交点,且|OA|=|OF2|=3|OM|,则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 因为|OA|=|OF2|=3|OM|,
所以∠F1AF2=90°.
设|AF1|=m,|AF2|=n,
如图所示,由题意可得
Rt△AF1F2∽Rt△OMF2,
所以==,
则m+n=2a,m2+n2=4c2,
n=3m,
解得m2=,n2=9m2=6b2,
所以+6b2=4c2,即=c2,
解得e==,故选A.
(2)(2018·全国Ⅲ)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距离为( )
A. B.2 C. D.2
答案 D
解析 由题意,得e==,c2=a2+b2,得a2=b2.
又因为a>0,b>0,所以a=b,渐近线方程为x±y=0,
所以点(4,0)到渐近线的距离为=2.
思维升华 (1)明确圆锥曲线中a,b,c,e各量之间的关系是求解问题的关键.
(2)在求解有关离心率的问题时,一般并不是直接求出c和a的值,而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点,建立关于参数c,a,b的方程或不等式,通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.
跟踪演练2 (1)(2018·全国Ⅱ)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点.若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为( )
A.1- B.2- C. D.-1
答案 D
解析 在Rt△PF1F2中,∠PF2F1=60°,设椭圆的方程为+=1(a>b>0),且焦距|F1F2|=2,
则|PF2|=1,|PF1|=,
由椭圆的定义可知,2a=1+,2c=2,
得a=,c=1,所以离心率e===-1.
(2)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的焦距为2c,直线l过点且与双曲线C的一条渐近线垂直,以双曲线C的右焦点为圆心,半焦距为半径的圆与直线l交于M,N两点,若|MN|=c,则双曲线C的渐近线方程为( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±2x D.y=±4x
答案 B
解析 方法一 由题意可设渐近线方程为y=x,则直线l的斜率kl=-,
直线l的方程为y=-,
整理可得ax+by-a2=0.
焦点(c,0)到直线l的距离
d==,
则弦长为2=2=c,
整理可得c4-9a2c2+12a3c-4a4=0,
即e4-9e2+12e-4=0,
分解因式得=0.
又双曲线的离心率e>1,则e==2,
所以===,
所以双曲线C的渐近线方程为y=±x.
方法二 圆心到直线l的距离为=,
∴=,∴c2-3ac+2a2=0,
∴c=2a,b=a,∴渐近线方程为y=±x.
热点三 直线与圆锥曲线
判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法
(1)代数法:联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x,y的方程组,消去y(或x)得一元二次方程,此方程根的个数即为交点个数,方程组的解即为交点坐标.
(2)几何法:画出直线与圆锥曲线的图象,根据图象判断公共点个数.
例3 (2018·衡水金卷调研)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于A,B两点.
(1)若直线AB与椭圆的长轴垂直,|AB|=a,求椭圆的离心率;
(2)若直线AB的斜率为1,|AB|=,求椭圆的短轴与长轴的比值.
解 (1)由题意可知,直线AB的方程为x=-c,
∴|AB|==a,
即a2=4b2,
故e====.
(2)设F1(-c,0),则直线AB的方程为y=x+c,
联立消去y,
得(a2+b2)x2+2a2cx+a2c2-a2b2=0,
Δ=4a4c2-4a2(a2+b2)(c2-b2)=8a2b4.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-,x1x2=,
∴|AB|=|x1-x2|
=·=·
==,
∴a2=2b2,∴=,
∴=,即椭圆的短轴与长轴之比为.
思维升华 解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程,利用根与系数的关系,设而不求思想,弦长公式等简化计算;涉及中点弦问题时,也可用“点差法”求解.
跟踪演练3 如图所示,抛物线y2=4x的焦点为F,动点T(-1,m),过F作TF的垂线交抛物线于P,Q两点,弦PQ的中点为N.
(1)证明:线段NT平行于x轴(或在x轴上);
(2)若m>0且|NF|=|TF|,求m的值及点N的坐标.
(1)证明 抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,动点T(-1,m)在准线上,
则kTF=-.
当m=0时,T为抛物线准线与x轴的交点,这时PQ为抛物线的通径,点N与焦点F重合,显然线段NT在x轴上;
当m≠0时,由条件知kPQ=,
所以直线PQ的方程为y=(x-1).
联立消去y,
得x2-(2+m2)x+1=0,
Δ=[-(2+m2)]2-4=m2(4+m2)>0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
可知x1+x2=2+m2,y1+y2=(x1+x2-2)=2m.
所以弦PQ的中点N,又T(-1,m),
所以kNT=0,则NT平行于x轴.
综上可知,线段NT平行于x轴(或在x轴上).
(2)解 已知|NF|=|TF|,
在△TFN中,tan∠NTF==1,得∠NTF=45°,
设A是准线与x轴的交点,则△TFA是等腰直角三角形,所以|TA|=|AF|=2,
又动点T(-1,m),其中m>0,则m=2.
因为∠NTF=45°,所以kPQ=tan 45°=1,
又焦点F(1,0),可得直线PQ的方程为y=x-1.
由m=2,得T(-1,2),
由(1)知线段NT平行于x轴,
设N(x0,y0),则y0=2,代入y=x-1,得x0=3,
所以N(3,2).
综上可知,m=2,N(3,2).
真题体验
1.(2017·北京)若双曲线x2-=1的离心率为,则实数m=________.
答案 2
解析 由双曲线的标准方程知,a=1,b2=m,c=,
故双曲线的离心率e===,
∴1+m=3,解得m=2.
2.(2017·全国Ⅱ改编)若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则双曲线C的离心率为________.
答案 2
解析 设双曲线的一条渐近线方程为y=x,
圆的圆心为(2,0),半径为2,
由弦长为2,得圆心到渐近线的距离为=.
由点到直线的距离公式,得=,解得b2=3a2.
所以双曲线C的离心率e====2.
3.(2017·全国Ⅱ改编)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为________.
答案 2
解析 抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.由直线方程的点斜式,
可得直线MF的方程为y=(x-1).
联立方程组
解得或
∵点M在x轴的上方,∴M(3,2).
∵MN⊥l,∴N(-1,2).
∴|NF|==4,
|MF|=|MN|=3-(-1)=4.
∴△MNF是边长为4的等边三角形.
∴点M到直线NF的距离为2.
4.(2017·山东)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为________.
答案 y=±x
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),
由消去x,
得a2y2-2pb2y+a2b2=0,
∴y1+y2=.
又∵|AF|+|BF|=4|OF|,
∴y1++y2+=4×,即y1+y2=p,
∴=p,即=,∴=,
∴双曲线的渐近线方程为y=±x.
押题预测
1.已知F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F2作双曲线一条渐近线的垂线,
垂足为点A,交另一条渐近线于点B,且=,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.2
押题依据 圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的灵魂,其中离心率、渐近线是高考命题的热点.
答案 A
解析 由F2(c,0)到渐近线y=x的距离为d==b,即=b,则=3b.
在△AF2O中,=c,tan∠F2OA=,tan∠AOB==,化简可得a2=2b2,即c2=a2+b2=a2,即e==,故选A.
2.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且点在该椭圆上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆C相交于A,B两点,若△AOB的面积为,求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程.
押题依据 椭圆及其性质是历年高考的重点,直线与椭圆的位置关系中的弦长、中点等知识应给予充分关注.
解 (1)由题意可得e==,
又a2=b2+c2,
所以b2=a2.
因为椭圆C经过点,
所以+=1,
解得a2=4,所以b2=3,
故椭圆C的方程为+=1.
(2)由(1)知F1(-1,0),设直线l的方程为x=ty-1,
由消去x,得(4+3t2)y2-6ty-9=0,
显然Δ>0恒成立,设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=,y1y2=-,
所以|y1-y2|=
= =,
所以S△AOB=·|F1O|·|y1-y2|
==,
化简得18t4-t2-17=0,
即(18t2+17)(t2-1)=0,
解得t=1,t=-(舍去).
又圆O的半径r==,
所以r=,故圆O的方程为x2+y2=.
A组 专题通关
1.(2018·合肥模拟)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的上焦点为F,M是双曲线虚轴的一个端点,过F,M的直线交双曲线的下支于A点.若M为AF的中点,且||=6,则双曲线C的方程为( )
A.-=1 B.-=1
C.y2-=1 D.-x2=1
答案 C
解析 设M为双曲线虚轴的右端点,
由题意,可得F(0,c),M(b,0),则A(2b,-c),
由题意可得解得a=1,b=2,
所以双曲线C的方程为y2-=1.
2.(2018·潍坊模拟)设P为双曲线-=1右支上一点,F1,F2分别为该双曲线的左、右焦点,
c,e分别表示该双曲线的半焦距和离心率.若·=0,直线PF2交y轴于点A,则△AF1P的内切圆的半径为( )
A.a B.b C.c D.e
答案 A
解析 根据题意·=0,可知△AF1P是直角三角形,根据直角三角形的内切圆的半径公式以及双曲线的定义可知2r=|PF1|+|PA|-|AF1|=|PF1|+|PA|-|AF2|=|PF1|-(|AF2|-|PA|)=|PF1|-|PF2|=2a,求得r=a,故选A.
3.(2018·天津)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
答案 A
解析 设双曲线的右焦点为F(c,0).
将x=c代入-=1,得-=1,
∴y=±.
不妨设A,B.
双曲线的一条渐近线方程为y=x,即bx-ay=0,
则d1===(c-b),
d2===(c+b),
∴d1+d2=·2c=2b=6,∴b=3.
∵=2,c2=a2+b2,∴a2=3,
∴双曲线的方程为-=1.
故选A.
4.(2018·全国Ⅲ)设F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=|OP|,则C的离心率为( )
A. B.2 C. D.
答案 C
解析 如图,过点F1向OP的反向延长线作垂线,垂足为P′,连接P′F2,
由题意可知,四边形PF1P′F2为平行四边形,且△PP′F2是直角三角形.
因为|F2P|=b,|F2O|=c,所以|OP|=a.
又|PF1|=a=|F2P′|,|PP′|=2a,
所以|F2P|=a=b,
所以c==a,所以e==.
5.(2018·全国Ⅲ)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k=________.
答案 2
解析 方法一 设点A(x1,y1),B(x2,y2),则
∴y-y=4(x1-x2),∴k==.
设AB的中点为M′(x0,y0),抛物线的焦点为F,分别过点A,B作准线x=-1的垂线,垂足为A′,B′,
则|MM′|=|AB|=(|AF|+|BF|)
=(|AA′|+|BB′|).
∵M′(x0,y0)为AB的中点,
∴M为A′B′的中点,∴MM′平行于x轴,
∴y1+y2=2,∴k=2.
方法二 由题意知,抛物线的焦点坐标为F(1,0),设直线方程为y=k(x-1),直线方程与y2=4x联立,消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=1,x1+x2=.
由M(-1,1),得=(-1-x1,1-y1),
=(-1-x2,1-y2).
由∠AMB=90°,得·=0,
∴(x1+1)(x2+1)+(y1-1)(y2-1)=0,
∴x1x2+(x1+x2)+1+y1y2-(y1+y2)+1=0.
又y1y2=k(x1-1)·k(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1],y1+y2=k(x1+x2-2),
∴1++1+k2-k+1=0,
整理得-+1=0,解得k=2.
6.(2018·北京)已知椭圆M:+=1(a>b>0),双曲线N:-=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为________;双曲线N的离心率为________.
答案 -1 2
解析 方法一 双曲线N的渐近线方程为y=±x,则=tan 60°=,
∴双曲线N的离心率e1满足e=1+=4,∴e1=2.
由得x2=.
如图,设D点的横坐标为x,
由正六边形的性质得|ED|=2x=c,∴4x2=c2.
∴=a2-b2,得3a4-6a2b2-b4=0,
∴3--2=0,解得=2-3.
∴椭圆M的离心率e2满足e=1-=4-2.
∴e2=-1.
方法二 双曲线N的渐近线方程为y=±x,
则=tan 60°=.
又c1==2m,∴双曲线N的离心率为=2.
如图,连接EC,由题意知,F,C为椭圆M的两焦点,设正六边形的边长为1,
则|FC|=2c2=2,即c2=1.
又E为椭圆M上一点,则|EF|+|EC|=2a,即1+=2a,
∴a=.
∴椭圆M的离心率为==-1.
7.(2018·衡阳模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,且直线l与圆x2-px+y2-p2=0交于C,D两点,若|AB|=3|CD|,则直线l的斜率为________.
答案 ±
解析 由题意得F,由x2-px+y2-p2=0,配方得2+y2=p2,
所以直线l过圆心,可得|CD|=2p,
若直线l的斜率不存在,则l:x=,|AB|=2p,|CD|=2p,不符合题意,
∴直线l的斜率存在.
∴可设直线l的方程为y=k,
A(x1,y1),B(x2,y2),
联立
化为x2-x+=0,
所以x1+x2=p+,
所以|AB|=x1+x2+p=2p+,
由|AB|=3|CD|,所以2p+=6p,
可得k2=,所以k=±.
8.(2018·郑州模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),且离心率为,△ABC的三个顶点都在椭圆C上,设△ABC三条边AB,BC,AC的中点分别为D,E,M,
且三条边所在直线的斜率分别为k1,k2,k3,且k1,k2,k3均不为0.O为坐标原点,若直线OD,OE,OM的斜率之和为1,则++=________.
答案 -
解析 由题意可得c=1,=,
所以a=2,b=,
椭圆C:+=1,
设A(x1,y1),B(x2,y2),C,
+=1,+=1,
两式作差得=-,
则=-,=-kOD,
同理可得=-kOM,=-kOE,
所以++=-=-.
9.(2018·全国Ⅱ)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.
(1)求l的方程;
(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.
解 (1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.
所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=.
由题意知=8,解得k=-1(舍去)或k=1.
因此l的方程为x-y-1=0.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),
即y=-x+5.
设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),
则
解得或
因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.
10.(2018·天津)设椭圆+=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B,已知椭圆的离心率为,|AB|=.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线l:y=kx(k<0)与椭圆交于P,Q两点,l与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限.若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,求k的值.
解 (1)设椭圆的焦距为2c,由已知有=,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.
又|AB|==,从而a=3,b=2,所以椭圆的方程为+=1.
(2)设点P的坐标为(x1,y1),点M的坐标为(x2,y2),
由题意知,x2>x1>0,点Q的坐标为(-x1,-y1).
由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,可得|PM|=2|PQ|,
从而x2-x1=2[x1-(-x1)],即x2=5x1.
由题意求得直线AB的方程为2x+3y=6,
由方程组消去y,可得x2=.
由方程组消去y,可得x1= .
由x2=5x1,可得=5(3k+2),两边平方,
整理得18k2+25k+8=0,解得k=-或k=-.
当k=-时,x2=-9<0,不合题意,舍去;
当k=-时,x2=12,x1=,符合题意.
所以k的值为-.
B组 能力提高
11.(2018·长沙模拟)2000多年前,古希腊大数学家阿波罗尼奥斯(Apollonius)发现:平面截圆锥的截口曲线是圆锥曲线.已知圆锥的高为PH,AB为地面直径,顶角为2θ,那么不过顶点P的平面与PH夹角>a>θ时,截口曲线为椭圆;与PH夹角a=θ时,截口曲线为抛物线;与PH夹角θ>a>0时,截口曲线为双曲线.如图,底面内的直线AM⊥AB,过AM的平面截圆锥得到的曲线为椭圆,其中与PB的交点为C,可知AC为长轴.那么当C在线段PB
上运动时,截口曲线的短轴端点的轨迹为( )
A.圆的一部分 B.椭圆的一部分
C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分
答案 D
解析 如图,
因为对于给定的椭圆来说,短轴的端点Q到焦点F的距离等于长半轴a,但短轴的端点Q到直线AM的距离也是a,即说明短轴的端点Q到定点F的距离等于到定直线AM的距离,且点F不在定直线AM上,所以由抛物线的定义可知,短轴的端点的轨迹是抛物线的一部分,故选D.
12.双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2,以F1为圆心,|F1F2|为半径的圆与C的左支相交于M,N两点,若△MNF2的一个内角为60°,则C的离心率为________.
答案
解析 画出图形如图所示,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).
由题意得△MNF2是等边三角形,点M,N关于x轴对称,且|F1M|=|F1N|=2c,∠MF1N=120°.
∴点M的横坐标为-c-2c·cos 60°=-2c,
纵坐标为2c·sin 60°=c,
故点M(-2c,c).
又点M在双曲线-=1(a>0,b>0)上,
∴-=1,即-=1,
整理得4c4-8c2a2+a4=0,
∴4e4-8e2+1=0,
解得e2==,
∴e=,
又e>1,故e=.
13.已知直线MN过椭圆+y2=1的左焦点F,与椭圆交于M,N两点,直线PQ过原点O与MN平行,且与椭圆交于P,Q两点,则=________.
答案 2
解析 方法一 特殊化,设MN⊥x轴,
则|MN|===,|PQ|2=4,==2.
方法二 由题意知F(-1,0),当直线MN的斜率不存在时,|MN|==,|PQ|=2b=2,
则=2;
当直线MN的斜率存在时,设直线MN的斜率为k,
则MN的方程为y=k(x+1),M(x1,y1),N(x2,y2),
联立方程
整理得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,
Δ=8k2+8>0.
由根与系数的关系,得
x1+x2=-,x1x2=,
则|MN|==.
直线PQ的方程为y=kx,P(x3,y3),Q(x4,y4),
则解得x2=,y2=,
则|OP|2=x+y=,
又|PQ|=2|OP|,
所以|PQ|2=4|OP|2=,
所以=2.
综上,=2.
14.(2017·天津)已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),△EFA的面积为.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设点Q在线段AE上,|FQ|=,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PM∥QN,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.
①求直线FP的斜率;
②求椭圆的方程.
解 (1)设椭圆的离心率为e.
由已知可得(c+a)c=.
又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,
即2e2+e-1=0,解得e=-1或e=.
又因为00),
则直线FP的斜率为.
由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为+=1,
即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,
可得x=,y=,
即点Q的坐标为.
由已知|FQ|=,
有2+2=2,
整理得3m2-4m=0,所以m=(m=0舍去),
即直线FP的斜率为.
②由a=2c,可得b=c,
故椭圆方程可以表示为+=1.
由①得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立得
消去y,整理得7x2+6cx-13c2=0,
解得x=-(舍去)或x=c.
因此可得点P,
进而可得|FP|==,
所以|PQ|=|FP|-|FQ|=-=c.
由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.
因为QN⊥FP,
所以|QN|=|FQ|·tan∠QFN=×=,
所以△FQN的面积为|FQ||QN|=.
同理△FPM的面积等于.
由四边形PQNM的面积为3c,得-=3c,
整理得c2=2c.又由c>0,得c=2.
所以椭圆的方程为+=1.