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  • 2021-06-16 发布

2019届二轮复习解题技巧 圆锥曲线学案(全国通用)

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第2讲 圆锥曲线 ‎[考情考向分析] 1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率).2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等).‎ 热点一 圆锥曲线的定义与标准方程 ‎1.圆锥曲线的定义 ‎(1)椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|).‎ ‎(2)双曲线:||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|).‎ ‎(3)抛物线:|PF|=|PM|,点F不在直线l上,PM⊥l于点M.‎ ‎2.求圆锥曲线标准方程“先定型,后计算”‎ 所谓“定型”,就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置;所谓“计算”,就是指利用待定系数法求出方程中的a2,b2,p的值.‎ 例1 (1)(2018·乌鲁木齐诊断)椭圆的离心率为,F为椭圆的一个焦点,若椭圆上存在一点与F关于直线y=x+4对称,则椭圆方程为(  )‎ A.+=1 B.+=1‎ C.+=1或+=1 D.+=1或+=1‎ 答案 C 解析 由题意知,=,得a2=2b2=2c2,‎ 当F在x轴上时,‎ 不妨设椭圆方程为+=1(a>b>0),‎ 椭圆上任取点P,取焦点F(-c,0),‎ 则PF中点M,‎ 根据条件可得 联立两式解得x0=-4,y0=4-c,‎ 代入椭圆方程解得a=3,b=3,‎ 由此可得椭圆方程为+=1.‎ 同理,当F在y轴上时,椭圆方程为+=1.‎ ‎(2)(2018·龙岩质检)已知以圆C:(x-1)2+y2=4的圆心为焦点的抛物线C1与圆C在第一象限交于A点,B点是抛物线C2:x2=8y上任意一点,BM与直线y=-2垂直,垂足为M,则|BM|-|AB|的最大值为(  )‎ A.1 B.2 C.-1 D.8‎ 答案 A 解析 因为圆C:(x-1)2+y2=4的圆心为C(1,0),‎ 所以可得以C(1,0)为焦点的抛物线方程为y2=4x,‎ 由解得A(1,2).‎ 抛物线C2:x2=8y的焦点为F(0,2),‎ 准线方程为y=-2,‎ 即有|BM|-|AB|=|BF|-|AB|≤|AF|=1,‎ 当且仅当A,B,F(A在B,F之间)三点共线时,可得最大值1.‎ 思维升华 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质,注意当焦点在不同坐标轴上时,椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式.‎ ‎(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法,可结合草图确定.‎ 跟踪演练1 (1)(2018·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学模拟)与椭圆C:+=1共焦点且渐近线方程为y=±x的双曲线的标准方程为(  )‎ A.x2-=1 B.-y2=1‎ C.y2-=1 D.-x2=1‎ 答案 D 解析 ∵+=1的焦点坐标为(0,±2),‎ ‎∴双曲线的焦点为(0,±2),可得c=2=,‎ 由渐近线方程为y=±x,得=,‎ ‎∴a=,b=1,‎ ‎∴双曲线的标准方程为-x2=1,故选D.‎ ‎(2)如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A,B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线方程为(  )‎ A.y2=9x B.y2=6x C.y2=3x D.y2=x 答案 C 解析 如图分别过点A,B作准线的垂线,分别交准线于点E,D,设准线交x轴于点G.‎ 设=a,则由已知得=2a,‎ 由抛物线定义,得=a,故∠BCD=30°,‎ 在Rt△ACE中,‎ ‎∵=|AF|=3,=3+3a,|AC|=2|AE|,‎ ‎∴3+3a=6,‎ 从而得a=1,=3a=3.‎ ‎∴p===,‎ 因此抛物线方程为y2=3x,故选C.‎ 热点二 圆锥曲线的几何性质 ‎1.椭圆、双曲线中a,b,c之间的关系 ‎(1)在椭圆中:a2=b2+c2,离心率为e==.‎ ‎(2)在双曲线中:c2=a2+b2,离心率为e==.‎ ‎2.双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系.‎ 例2 (1)(2018·永州模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F2,O为坐标原点,M为y轴上一点,点A是直线MF2与椭圆C的一个交点,且|OA|=|OF2|=3|OM|,则椭圆C的离心率为(  )‎ A. B. C. D. 答案 A 解析 因为|OA|=|OF2|=3|OM|,‎ 所以∠F1AF2=90°.‎ 设|AF1|=m,|AF2|=n,‎ 如图所示,由题意可得 Rt△AF1F2∽Rt△OMF2,‎ 所以==,‎ 则m+n=2a,m2+n2=4c2,‎ n=3m,‎ 解得m2=,n2=9m2=6b2,‎ 所以+6b2=4c2,即=c2,‎ 解得e==,故选A.‎ ‎(2)(2018·全国Ⅲ)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距离为(  )‎ A. B.2 C. D.2 答案 D 解析 由题意,得e==,c2=a2+b2,得a2=b2.‎ 又因为a>0,b>0,所以a=b,渐近线方程为x±y=0,‎ 所以点(4,0)到渐近线的距离为=2.‎ 思维升华 (1)明确圆锥曲线中a,b,c,e各量之间的关系是求解问题的关键.‎ ‎(2)在求解有关离心率的问题时,一般并不是直接求出c和a的值,而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点,建立关于参数c,a,b的方程或不等式,通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.‎ 跟踪演练2 (1)(2018·全国Ⅱ)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点.若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为(  )‎ A.1- B.2- C. D.-1‎ 答案 D 解析 在Rt△PF1F2中,∠PF2F1=60°,设椭圆的方程为+=1(a>b>0),且焦距|F1F2|=2,‎ 则|PF2|=1,|PF1|=,‎ 由椭圆的定义可知,2a=1+,2c=2,‎ 得a=,c=1,所以离心率e===-1.‎ ‎(2)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的焦距为2c,直线l过点且与双曲线C的一条渐近线垂直,以双曲线C的右焦点为圆心,半焦距为半径的圆与直线l交于M,N两点,若|MN|=c,则双曲线C的渐近线方程为(  )‎ A.y=±x B.y=±x C.y=±2x D.y=±4x 答案 B 解析 方法一 由题意可设渐近线方程为y=x,则直线l的斜率kl=-,‎ 直线l的方程为y=-,‎ 整理可得ax+by-a2=0.‎ 焦点(c,0)到直线l的距离 d==,‎ 则弦长为2=2=c,‎ 整理可得c4-9a2c2+12a3c-4a4=0,‎ 即e4-9e2+12e-4=0,‎ 分解因式得=0.‎ 又双曲线的离心率e>1,则e==2,‎ 所以===,‎ 所以双曲线C的渐近线方程为y=±x.‎ 方法二 圆心到直线l的距离为=,‎ ‎∴=,∴c2-3ac+2a2=0,‎ ‎∴c=2a,b=a,∴渐近线方程为y=±x.‎ 热点三 直线与圆锥曲线 判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法 ‎(1)代数法:联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x,y的方程组,消去y(或x)得一元二次方程,此方程根的个数即为交点个数,方程组的解即为交点坐标.‎ ‎(2)几何法:画出直线与圆锥曲线的图象,根据图象判断公共点个数.‎ 例3 (2018·衡水金卷调研)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于A,B两点.‎ ‎(1)若直线AB与椭圆的长轴垂直,|AB|=a,求椭圆的离心率;‎ ‎(2)若直线AB的斜率为1,|AB|=,求椭圆的短轴与长轴的比值.‎ 解 (1)由题意可知,直线AB的方程为x=-c,‎ ‎∴|AB|==a,‎ 即a2=4b2,‎ 故e====.‎ ‎(2)设F1(-c,0),则直线AB的方程为y=x+c,‎ 联立消去y,‎ 得(a2+b2)x2+2a2cx+a2c2-a2b2=0,‎ Δ=4a4c2-4a2(a2+b2)(c2-b2)=8a2b4.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则x1+x2=-,x1x2=,‎ ‎∴|AB|=|x1-x2|‎ ‎=·=· ‎==,‎ ‎∴a2=2b2,∴=,‎ ‎∴=,即椭圆的短轴与长轴之比为.‎ 思维升华 解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程,利用根与系数的关系,设而不求思想,弦长公式等简化计算;涉及中点弦问题时,也可用“点差法”求解.‎ 跟踪演练3 如图所示,抛物线y2=4x的焦点为F,动点T(-1,m),过F作TF的垂线交抛物线于P,Q两点,弦PQ的中点为N.‎ ‎(1)证明:线段NT平行于x轴(或在x轴上);‎ ‎(2)若m>0且|NF|=|TF|,求m的值及点N的坐标.‎ ‎(1)证明 抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,动点T(-1,m)在准线上,‎ 则kTF=-.‎ 当m=0时,T为抛物线准线与x轴的交点,这时PQ为抛物线的通径,点N与焦点F重合,显然线段NT在x轴上;‎ 当m≠0时,由条件知kPQ=,‎ 所以直线PQ的方程为y=(x-1).‎ 联立消去y,‎ 得x2-(2+m2)x+1=0,‎ Δ=[-(2+m2)]2-4=m2(4+m2)>0,‎ 设P(x1,y1),Q(x2,y2),‎ 可知x1+x2=2+m2,y1+y2=(x1+x2-2)=2m.‎ 所以弦PQ的中点N,又T(-1,m),‎ 所以kNT=0,则NT平行于x轴.‎ 综上可知,线段NT平行于x轴(或在x轴上).‎ ‎(2)解 已知|NF|=|TF|,‎ 在△TFN中,tan∠NTF==1,得∠NTF=45°,‎ 设A是准线与x轴的交点,则△TFA是等腰直角三角形,所以|TA|=|AF|=2,‎ 又动点T(-1,m),其中m>0,则m=2.‎ 因为∠NTF=45°,所以kPQ=tan 45°=1,‎ 又焦点F(1,0),可得直线PQ的方程为y=x-1.‎ 由m=2,得T(-1,2),‎ 由(1)知线段NT平行于x轴,‎ 设N(x0,y0),则y0=2,代入y=x-1,得x0=3,‎ 所以N(3,2).‎ 综上可知,m=2,N(3,2).‎ 真题体验 ‎1.(2017·北京)若双曲线x2-=1的离心率为,则实数m=________.‎ 答案 2‎ 解析 由双曲线的标准方程知,a=1,b2=m,c=,‎ 故双曲线的离心率e===,‎ ‎∴1+m=3,解得m=2.‎ ‎2.(2017·全国Ⅱ改编)若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则双曲线C的离心率为________.‎ 答案 2‎ 解析 设双曲线的一条渐近线方程为y=x,‎ 圆的圆心为(2,0),半径为2,‎ 由弦长为2,得圆心到渐近线的距离为=.‎ 由点到直线的距离公式,得=,解得b2=3a2.‎ 所以双曲线C的离心率e====2.‎ ‎3.(2017·全国Ⅱ改编)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为________.‎ 答案 2 解析 抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.由直线方程的点斜式,‎ 可得直线MF的方程为y=(x-1).‎ 联立方程组 解得或 ‎∵点M在x轴的上方,∴M(3,2).‎ ‎∵MN⊥l,∴N(-1,2).‎ ‎∴|NF|==4,‎ ‎|MF|=|MN|=3-(-1)=4.‎ ‎∴△MNF是边长为4的等边三角形.‎ ‎∴点M到直线NF的距离为2.‎ ‎4.(2017·山东)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为________.‎ 答案 y=±x 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由消去x,‎ 得a2y2-2pb2y+a2b2=0,‎ ‎∴y1+y2=.‎ 又∵|AF|+|BF|=4|OF|,‎ ‎∴y1++y2+=4×,即y1+y2=p,‎ ‎∴=p,即=,∴=,‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为y=±x.‎ 押题预测 ‎1.已知F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F2作双曲线一条渐近线的垂线,‎ 垂足为点A,交另一条渐近线于点B,且=,则该双曲线的离心率为(  )‎ A. B. C. D.2‎ 押题依据 圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的灵魂,其中离心率、渐近线是高考命题的热点.‎ 答案 A 解析 由F2(c,0)到渐近线y=x的距离为d==b,即=b,则=3b.‎ 在△AF2O中,=c,tan∠F2OA=,tan∠AOB==,化简可得a2=2b2,即c2=a2+b2=a2,即e==,故选A.‎ ‎2.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且点在该椭圆上.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆C相交于A,B两点,若△AOB的面积为,求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程.‎ 押题依据 椭圆及其性质是历年高考的重点,直线与椭圆的位置关系中的弦长、中点等知识应给予充分关注.‎ 解 (1)由题意可得e==,‎ 又a2=b2+c2,‎ 所以b2=a2.‎ 因为椭圆C经过点,‎ 所以+=1,‎ 解得a2=4,所以b2=3,‎ 故椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)由(1)知F1(-1,0),设直线l的方程为x=ty-1,‎ 由消去x,得(4+3t2)y2-6ty-9=0,‎ 显然Δ>0恒成立,设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则y1+y2=,y1y2=-,‎ 所以|y1-y2|= ‎= =,‎ 所以S△AOB=·|F1O|·|y1-y2|‎ ‎==,‎ 化简得18t4-t2-17=0,‎ 即(18t2+17)(t2-1)=0,‎ 解得t=1,t=-(舍去).‎ 又圆O的半径r==,‎ 所以r=,故圆O的方程为x2+y2=.‎ A组 专题通关 ‎1.(2018·合肥模拟)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的上焦点为F,M是双曲线虚轴的一个端点,过F,M的直线交双曲线的下支于A点.若M为AF的中点,且||=6,则双曲线C的方程为(  )‎ A.-=1 B.-=1‎ C.y2-=1 D.-x2=1‎ 答案 C 解析 设M为双曲线虚轴的右端点,‎ 由题意,可得F(0,c),M(b,0),则A(2b,-c),‎ 由题意可得解得a=1,b=2,‎ 所以双曲线C的方程为y2-=1.‎ ‎2.(2018·潍坊模拟)设P为双曲线-=1右支上一点,F1,F2分别为该双曲线的左、右焦点,‎ c,e分别表示该双曲线的半焦距和离心率.若·=0,直线PF2交y轴于点A,则△AF1P的内切圆的半径为(  )‎ A.a B.b C.c D.e 答案 A 解析 根据题意·=0,可知△AF1P是直角三角形,根据直角三角形的内切圆的半径公式以及双曲线的定义可知2r=|PF1|+|PA|-|AF1|=|PF1|+|PA|-|AF2|=|PF1|-(|AF2|-|PA|)=|PF1|-|PF2|=2a,求得r=a,故选A.‎ ‎3.(2018·天津)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为(  )‎ A.-=1 B.-=1‎ C.-=1 D.-=1‎ 答案 A 解析 设双曲线的右焦点为F(c,0).‎ 将x=c代入-=1,得-=1,‎ ‎∴y=±.‎ 不妨设A,B.‎ 双曲线的一条渐近线方程为y=x,即bx-ay=0,‎ 则d1===(c-b),‎ d2===(c+b),‎ ‎∴d1+d2=·2c=2b=6,∴b=3.‎ ‎∵=2,c2=a2+b2,∴a2=3,‎ ‎∴双曲线的方程为-=1.‎ 故选A.‎ ‎4.(2018·全国Ⅲ)设F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=|OP|,则C的离心率为(  )‎ A. B.2 C. D. 答案 C 解析 如图,过点F1向OP的反向延长线作垂线,垂足为P′,连接P′F2,‎ 由题意可知,四边形PF1P′F2为平行四边形,且△PP′F2是直角三角形.‎ 因为|F2P|=b,|F2O|=c,所以|OP|=a.‎ 又|PF1|=a=|F2P′|,|PP′|=2a,‎ 所以|F2P|=a=b,‎ 所以c==a,所以e==.‎ ‎5.(2018·全国Ⅲ)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k=________.‎ 答案 2‎ 解析 方法一 设点A(x1,y1),B(x2,y2),则 ‎∴y-y=4(x1-x2),∴k==.‎ 设AB的中点为M′(x0,y0),抛物线的焦点为F,分别过点A,B作准线x=-1的垂线,垂足为A′,B′,‎ 则|MM′|=|AB|=(|AF|+|BF|)‎ ‎=(|AA′|+|BB′|).‎ ‎∵M′(x0,y0)为AB的中点,‎ ‎∴M为A′B′的中点,∴MM′平行于x轴,‎ ‎∴y1+y2=2,∴k=2.‎ 方法二 由题意知,抛物线的焦点坐标为F(1,0),设直线方程为y=k(x-1),直线方程与y2=4x联立,消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=1,x1+x2=.‎ 由M(-1,1),得=(-1-x1,1-y1),‎ =(-1-x2,1-y2).‎ 由∠AMB=90°,得·=0,‎ ‎∴(x1+1)(x2+1)+(y1-1)(y2-1)=0,‎ ‎∴x1x2+(x1+x2)+1+y1y2-(y1+y2)+1=0.‎ 又y1y2=k(x1-1)·k(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1],y1+y2=k(x1+x2-2),‎ ‎∴1++1+k2-k+1=0,‎ 整理得-+1=0,解得k=2.‎ ‎6.(2018·北京)已知椭圆M:+=1(a>b>0),双曲线N:-=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为________;双曲线N的离心率为________.‎ 答案 -1 2‎ 解析 方法一 双曲线N的渐近线方程为y=±x,则=tan 60°=,‎ ‎∴双曲线N的离心率e1满足e=1+=4,∴e1=2.‎ 由得x2=.‎ 如图,设D点的横坐标为x,‎ 由正六边形的性质得|ED|=2x=c,∴4x2=c2.‎ ‎∴=a2-b2,得3a4-6a2b2-b4=0,‎ ‎∴3--2=0,解得=2-3.‎ ‎∴椭圆M的离心率e2满足e=1-=4-2.‎ ‎∴e2=-1.‎ 方法二 双曲线N的渐近线方程为y=±x,‎ 则=tan 60°=.‎ 又c1==2m,∴双曲线N的离心率为=2.‎ 如图,连接EC,由题意知,F,C为椭圆M的两焦点,设正六边形的边长为1,‎ 则|FC|=2c2=2,即c2=1.‎ 又E为椭圆M上一点,则|EF|+|EC|=2a,即1+=2a,‎ ‎∴a=.‎ ‎∴椭圆M的离心率为==-1.‎ ‎7.(2018·衡阳模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,且直线l与圆x2-px+y2-p2=0交于C,D两点,若|AB|=3|CD|,则直线l的斜率为________.‎ 答案 ± 解析 由题意得F,由x2-px+y2-p2=0,配方得2+y2=p2,‎ 所以直线l过圆心,可得|CD|=2p,‎ 若直线l的斜率不存在,则l:x=,|AB|=2p,|CD|=2p,不符合题意,‎ ‎∴直线l的斜率存在.‎ ‎∴可设直线l的方程为y=k,‎ A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 联立 化为x2-x+=0,‎ 所以x1+x2=p+,‎ 所以|AB|=x1+x2+p=2p+,‎ 由|AB|=3|CD|,所以2p+=6p,‎ 可得k2=,所以k=±.‎ ‎8.(2018·郑州模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),且离心率为,△ABC的三个顶点都在椭圆C上,设△ABC三条边AB,BC,AC的中点分别为D,E,M,‎ 且三条边所在直线的斜率分别为k1,k2,k3,且k1,k2,k3均不为0.O为坐标原点,若直线OD,OE,OM的斜率之和为1,则++=________.‎ 答案 - 解析 由题意可得c=1,=,‎ 所以a=2,b=,‎ 椭圆C:+=1,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),C,‎ +=1,+=1,‎ 两式作差得=-,‎ 则=-,=-kOD,‎ 同理可得=-kOM,=-kOE,‎ 所以++=-=-.‎ ‎9.(2018·全国Ⅱ)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.‎ ‎(1)求l的方程;‎ ‎(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.‎ 解 (1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.‎ Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.‎ 所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=.‎ 由题意知=8,解得k=-1(舍去)或k=1.‎ 因此l的方程为x-y-1=0.‎ ‎(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),‎ 即y=-x+5.‎ 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),‎ 则 解得或 因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.‎ ‎10.(2018·天津)设椭圆+=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B,已知椭圆的离心率为,|AB|=.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设直线l:y=kx(k<0)与椭圆交于P,Q两点,l与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限.若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,求k的值.‎ 解 (1)设椭圆的焦距为2c,由已知有=,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.‎ 又|AB|==,从而a=3,b=2,所以椭圆的方程为+=1.‎ ‎(2)设点P的坐标为(x1,y1),点M的坐标为(x2,y2),‎ 由题意知,x2>x1>0,点Q的坐标为(-x1,-y1).‎ 由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,可得|PM|=2|PQ|,‎ 从而x2-x1=2[x1-(-x1)],即x2=5x1.‎ 由题意求得直线AB的方程为2x+3y=6,‎ 由方程组消去y,可得x2=.‎ 由方程组消去y,可得x1= .‎ 由x2=5x1,可得=5(3k+2),两边平方,‎ 整理得18k2+25k+8=0,解得k=-或k=-.‎ 当k=-时,x2=-9<0,不合题意,舍去;‎ 当k=-时,x2=12,x1=,符合题意.‎ 所以k的值为-.‎ B组 能力提高 ‎11.(2018·长沙模拟)2000多年前,古希腊大数学家阿波罗尼奥斯(Apollonius)发现:平面截圆锥的截口曲线是圆锥曲线.已知圆锥的高为PH,AB为地面直径,顶角为2θ,那么不过顶点P的平面与PH夹角>a>θ时,截口曲线为椭圆;与PH夹角a=θ时,截口曲线为抛物线;与PH夹角θ>a>0时,截口曲线为双曲线.如图,底面内的直线AM⊥AB,过AM的平面截圆锥得到的曲线为椭圆,其中与PB的交点为C,可知AC为长轴.那么当C在线段PB 上运动时,截口曲线的短轴端点的轨迹为(  )‎ A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分 答案 D 解析 如图,‎ 因为对于给定的椭圆来说,短轴的端点Q到焦点F的距离等于长半轴a,但短轴的端点Q到直线AM的距离也是a,即说明短轴的端点Q到定点F的距离等于到定直线AM的距离,且点F不在定直线AM上,所以由抛物线的定义可知,短轴的端点的轨迹是抛物线的一部分,故选D.‎ ‎12.双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2,以F1为圆心,|F1F2|为半径的圆与C的左支相交于M,N两点,若△MNF2的一个内角为60°,则C的离心率为________.‎ 答案  解析 画出图形如图所示,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).‎ 由题意得△MNF2是等边三角形,点M,N关于x轴对称,且|F1M|=|F1N|=2c,∠MF1N=120°.‎ ‎∴点M的横坐标为-c-2c·cos 60°=-2c,‎ 纵坐标为2c·sin 60°=c,‎ 故点M(-2c,c).‎ 又点M在双曲线-=1(a>0,b>0)上,‎ ‎∴-=1,即-=1,‎ 整理得4c4-8c2a2+a4=0,‎ ‎∴4e4-8e2+1=0,‎ 解得e2==,‎ ‎∴e=,‎ 又e>1,故e=.‎ ‎13.已知直线MN过椭圆+y2=1的左焦点F,与椭圆交于M,N两点,直线PQ过原点O与MN平行,且与椭圆交于P,Q两点,则=________.‎ 答案 2 解析 方法一 特殊化,设MN⊥x轴,‎ 则|MN|===,|PQ|2=4,==2.‎ 方法二 由题意知F(-1,0),当直线MN的斜率不存在时,|MN|==,|PQ|=2b=2,‎ 则=2;‎ 当直线MN的斜率存在时,设直线MN的斜率为k,‎ 则MN的方程为y=k(x+1),M(x1,y1),N(x2,y2),‎ 联立方程 整理得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,‎ Δ=8k2+8>0.‎ 由根与系数的关系,得 x1+x2=-,x1x2=,‎ 则|MN|==.‎ 直线PQ的方程为y=kx,P(x3,y3),Q(x4,y4),‎ 则解得x2=,y2=,‎ 则|OP|2=x+y=,‎ 又|PQ|=2|OP|,‎ 所以|PQ|2=4|OP|2=,‎ 所以=2.‎ 综上,=2.‎ ‎14.(2017·天津)已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),△EFA的面积为.‎ ‎(1)求椭圆的离心率;‎ ‎(2)设点Q在线段AE上,|FQ|=,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PM∥QN,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.‎ ‎①求直线FP的斜率;‎ ‎②求椭圆的方程.‎ 解 (1)设椭圆的离心率为e.‎ 由已知可得(c+a)c=.‎ 又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,‎ 即2e2+e-1=0,解得e=-1或e=.‎ 又因为00),‎ 则直线FP的斜率为.‎ 由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为+=1,‎ 即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,‎ 可得x=,y=,‎ 即点Q的坐标为.‎ 由已知|FQ|=,‎ 有2+2=2,‎ 整理得3m2-4m=0,所以m=(m=0舍去),‎ 即直线FP的斜率为.‎ ‎②由a=2c,可得b=c,‎ 故椭圆方程可以表示为+=1.‎ 由①得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立得 消去y,整理得7x2+6cx-13c2=0,‎ 解得x=-(舍去)或x=c.‎ 因此可得点P,‎ 进而可得|FP|==,‎ 所以|PQ|=|FP|-|FQ|=-=c.‎ 由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.‎ 因为QN⊥FP,‎ 所以|QN|=|FQ|·tan∠QFN=×=,‎ 所以△FQN的面积为|FQ||QN|=.‎ 同理△FPM的面积等于.‎ 由四边形PQNM的面积为3c,得-=3c,‎ 整理得c2=2c.又由c>0,得c=2.‎ 所以椭圆的方程为+=1.‎