【数学】2020届一轮复习人教B版（理）第八章36空间几何体的表面积及体积作业 7页

‎【课时训练】第36节　空间几何体的表面积及体积 一、选择题 ‎1．(2018郑州质量预测)如图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为(　　)‎ A. B． C． D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】由三视图可知，此四面体如图所示，其高为2，底面三角形的一边长为1，对应的高为2，所以其体积V＝××2×1×2＝.故选A.‎ ‎2．(2018四川泸州二模)已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的底面边长为时，其高的值为(　　)‎ A．3　 B． C．2　 D．2　 ‎【答案】D ‎【解析】设正六棱柱的高为h，则可得()2＋＝32，解得h＝2.‎ ‎3．(2018石家庄一模)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)‎ A．π B． C．　 D． ‎【答案】D ‎【解析】由题图可知该几何体是一个底面圆的半径为1，高为1的半圆锥，故所求体积V＝×π×12×1＝.故选【答案】D.‎ ‎4．(2018洛阳统一考试)如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为(　　)‎ A．200π B．150π ‎ C．100π D．50π ‎【答案】D ‎【解析】由三视图知，该几何体可以由一个长方体截去3个角后得到，该长方体的长、宽、高分别为5,4,3，所以其外接球半径R满足2R＝＝5，所以该几何体的外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×2＝50π.故选D.‎ ‎5．(2018山东枣庄模拟)已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是(　　)‎ A．6　 B．12　 C．18　 D．24　 ‎【答案】C ‎【解析】根据已知可得球的半径等于1，故三棱柱的高等于2，底面三角形内切圆的半径等于1，即底面三角形的高等于3，边长等于2，所以这个三棱柱的表面积等于3×2×2＋2××2　×3＝18　.‎ ‎6．(2019昆明调研)一个正三棱柱被平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(　　)‎ A.　　　 B． C.　　 D． ‎【答案】A ‎【解析】由三视图可知，剩余部分所表示的几何体是从正三棱柱ABC－A1B‎1C1(其底面边长是2)中截去三棱锥E－A1B‎1C1(其中E是侧棱BB1的中点)，因此三棱锥E－A1B‎1C1的体积为VE－A1B‎1C1＝××22×1＝，剩余部分的体积为V＝VABC－A1B‎1C1－VE－A1B‎1C1＝×22×2－＝，因此截去部分体积与剩余部分体积的比值为.故选A.‎ ‎7．(2018天津南开区模拟)已知三棱锥P－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，PC为球O的直径，该三棱锥的体积为，则球O的表面积为(　　)‎ A．4π B．8π C．12π D．16π ‎【答案】A ‎【解析】依题意，设球O的半径为R，球心O到平面ABC的距离为d，则由O是PC的中点得，点P到平面ABC的距离等于2d，‎ 所以VP－ABC＝2VO－ABC＝2×S△ABC×d＝××12×d＝，解得d＝.又R2＝d2＋2＝1，所以球O的表面积等于4πR2＝4π.故选A.‎ ‎8．(2018福建三明一中1月月考)如图，直三棱柱ABC－A1B‎1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB‎1A1的面积为(　　)‎ A. B． C．2 D．1‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意知，球心在正方形的中心上，球的半径为1，则正方形的边长为.∵ABC－A1B‎1C1为直三棱柱，∴平面ABC⊥平面BCC1B1.∴BC为截面圆的直径．∴∠BAC＝90°.∵AB＝AC，∴AB＝1.∴侧面ABB‎1A1的面积为×1＝.故选A.‎ ‎9．(2018开封模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为(　　)‎ A. B． C．4　π D．π ‎【答案】A ‎【解析】由三视图可知，该几何体为一个三棱锥，令其为三棱锥A－BCD，由俯视图可知，底面BCD是一个等腰直角三角形，∠BCD为直角．平面ABD⊥平面BCD，易知外接球的球心O为△ABD的中心，则球O的半径R＝，外接球的表面积等于4πR2＝4π×2＝.‎ ‎10．(2018河北衡水四调)三棱锥A－BCD的外接球为球O，球O的直径AD＝2，且△ABC，△BCD都是等边三角形，则三棱锥A－BCD的体积是(　　)‎ A. B． C． D． ‎【答案】A ‎【解析】取△ABC外接圆的圆心为F，连接AD的中点即球心O与F(图略)．由球的性质可知OF与平面ABC垂直，AB＝BD＝，连接AF，在Rt△AOF中，AO＝1，AF＝，故OF＝＝.又AD＝2OA，故点D到平面ABC的距离h＝2OF＝，因此VA－BCD＝VD－ABC＝××()2×＝.故选A.‎ 二、填空题 ‎11．(2018辽宁抚顺一模)如图，半球内有一内接正四棱锥S－ABCD，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为________．‎ ‎11题图 ‎【答案】π ‎【解析】设所给半球的半径为R，则棱锥的高h＝R，底面正方形中有AB＝BC＝CD＝DA＝R，∴其体积为R3＝，则R3＝2　，于是所求半球的体积为V＝πR3＝π.‎ ‎12．(2018安徽淮南一模)如图所示，在直三棱柱A1B‎1C1－ABC中，AC⊥BC，AC＝4，BC＝CC1＝2.若用平行于三棱柱A1B‎1C1－ABC的某一侧面的平面去截此三棱柱，使得到的两个几何体能够拼接成长方体，则长方体表面积的最小值为________．‎ ‎12题图 ‎【答案】24‎ ‎【解析】由题意知，拼接后的长方体有两种情形：一是长方体的高为2，底面是边长为2的正方形；二是长方体的高为2，底面是长为4，宽为1的矩形．所以其表面积分别为24,28，故长方体表面积的最小值为24.‎