【数学】2020届一轮复习人教B版（文）4-3平面向量的数量积与应用举例作业 9页

课时作业26　平面向量的数量积与应用举例 ‎ [基础达标]‎ 一、选择题 ‎1．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若‎2a－b与b垂直，则|a|＝(　　)‎ A．1　　B. C．2 D．4‎ 解析：因为‎2a－b与b垂直，所以(‎2a－b)·b＝0，所以－3＋n2＝0，解得n2＝3，所以|a|＝2.‎ 答案：C ‎2．[2019·云南省第一次统一检测]在▱ABCD中，||＝8，||＝6，N为DC的中点，＝2，则·＝(　　)‎ A．48 B．36‎ C．24 D．12‎ 解析：·＝(＋)·(＋)＝＝2－2＝×82－×62＝24，故选C.‎ 答案：C ‎3．[2019·石家庄高中质量检测]若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2，∴a·b＝0.又|a＋b|＝2|b|，∴|a＋b|2＝4|b|2，|a|2＝3|b|2，∴|a|＝|b|，cos〈a＋b，a〉＝＝＝＝＝，故a＋b与a的夹角为.‎ 答案：A ‎4．[2019·陕西西安地区八校联考]已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影是(　　)‎ A．－3 B．－ C．3 D. 解析：依题意得，＝(－2，－1)，＝(5,5)，·＝(－2，－1)·(5,5)＝－15，||＝，因此向量在方向上的投影是＝＝－3，选A.‎ 答案：A ‎5．[2019·惠州市调研考试]若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为(　　)‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 解析：(－)·(＋－2)＝0，即·(＋)＝0，∵－＝，∴(－)·(＋)＝0，即||＝||，∴△ABC是等腰三角形．‎ 答案：A ‎6．[2019·云南省高三11校跨区调研考试]平面向量a与b的夹角为45°，a＝(1,1)，|b|＝2，则|‎3a＋b|等于(　　)‎ A．13＋6 B．2 C. D. 解析：依题意得a2＝2，a·b＝×2×cos45°＝2，|‎3a＋b|＝＝＝＝，选D.‎ 答案：D ‎7．[2019·石家庄高中模拟考试]已知B是以线段AC为直径的圆上的一点(异于点A，C)，其中|AB|＝2，则·＝(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：连接BC，∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，在 上的投影||cos〈，〉＝||＝2，∴·＝||||·cos〈，〉＝4.故选D.‎ 答案：D ‎8．[2019·武汉市高中调研测试]已知平面向量a，b，e满足|e|＝1，a·e＝1，b·e＝－2，|a＋b|＝2，则a·b的最大值为(　　)‎ A．－1 B．－2‎ C．－ D．－ 解析：不妨设e＝(1,0)，则a＝(1，m)，b＝(－2，n)(m，n∈R)，则a＋b＝(－1，m＋n)，所以|a＋b|＝＝2，所以(m＋n)2＝3，即3＝m2＋n2＋2mn≥2mn＋2mn＝4mn，当且仅当m＝n时等号成立，所以mn≤，所以a·b＝－2＋mn≤－，综上可得a·b的最大值为－.故选D.‎ 答案：D ‎9．[2019·呼伦贝尔模拟]O是平面上一定点，A，B，C是该平面上不共线的三个点，一动点P满足：＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则直线AP一定通过△ABC的(　　)‎ A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 解析：‎ 如图，取BC中点D.因为＝＋λ(＋)，－＝λ(＋)，即＝2λ，‎ 所以A，P，D三点共线，‎ 所以AP一定通过△ABC的重心．‎ 答案：C ‎10．[2018·天津卷]如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则·的最小值为(　　)‎ A. B. C. D．3‎ 解析：本题主要考查数量积的综合应用．‎ 解法一　‎ 如图，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(1,0)，B，C(0，)，令E(0，t)，t∈[0，]，∴·＝(－1，t)·＝t2－t＋，‎ ‎∵t∈[0，]，‎ ‎∴当t＝＝时，·取得最小值，(·)min＝－×＋＝.故选A.‎ 解法二　令＝λ(0≤λ≤1)，由已知可得DC＝，‎ ‎∵＝＋λ，‎ ‎∴＝＋＝＋＋λ，‎ ‎∴·＝(＋λ)·(＋＋λ)‎ ‎＝·＋||2＋λ·＋λ2||2‎ ‎＝3λ2－λ＋.‎ 当λ＝＝时，·取得最小值.故选A.‎ 答案：A 二、填空题 ‎11．[2019·广东五校高三第一次考试]已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，且b在a上的投影为3，则向量a与b的夹角为________．‎ 解析：因为a·b＝3＋m，|a|＝＝2，|b|＝，由|b|cos〈a，b〉＝3可得|b|＝3，故＝3，解得m＝，故|b|＝＝2，故cos〈a，b〉＝＝，故〈a，b〉＝，即向量a与b的夹角为.‎ 答案： ‎12．已知e1，e2 是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________.‎ 解析：∵e1·e2＝，‎ ‎∴|e1||e2|cos〈e1，e2〉＝，∴〈e1，e2〉＝60°.‎ 又∵b·e1＝b·e2＝1>0，‎ ‎∴〈b，e1〉＝〈b，e2〉＝30°.‎ 由b·e1＝1，得|b||e1|cos30°＝1，‎ ‎∴|b|＝＝.‎ 答案： ‎13．已知平面向量a，b，c不共线，且两两所成的角相等，若|a|＝|b|＝2，|c|＝1，则|a＋b＋c|＝________.‎ 解析：∵平面向量a，b，c不共线，且两两所成的角相等，‎ ‎∴它们两两所成的角为120°.‎ ‎∵|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)2＝a＋b2＋c2＋‎2a·b＋2b·c＋‎2a·c＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2|a||b|·cos120°＋2|b||c|cos120°＋2|a||c|cos120°＝22＋22＋12‎ ‎＋2×2×2×＋2×2×1×＋2×2×1×＝1，∴|a＋b＋c|＝1.‎ 答案：1‎ ‎14．[2018·上海卷]在平面直角坐标系中，已知点A(－1,0)、B(2,0)，E、F是y轴上的两个动点，且||＝2，则·的最小值为________．‎ 解析：本题主要考查数量积的运算以及二次函数的最值问题．设E(0，m)，F(0，n)，‎ 又A(－1,0)，B(2,0)，‎ ‎∴＝(1，m)，＝(－2，n)．‎ ‎∴·＝－2＋mn，‎ 又知||＝2，∴|m－n|＝2.‎ ‎①当m＝n＋2时，·＝mn－2＝(n＋2)n－2＝n2＋2n－2＝(n＋1)2－3.‎ ‎∴当n＝－1，即E的坐标为(0,1)，F的坐标为(0，－1)时，·取得最小值－3.‎ ‎②当m＝n－2时，·＝mn－2＝(n－2)n－2＝n2－2n－2＝(n－1)2－3.‎ ‎∴当n＝1，即E的坐标为(0，－1)，F为坐标为(0,1)时，·取得最小值－3.‎ 综上可知，·的最小值为－3.‎ 答案：－3‎ ‎[能力挑战]‎ ‎15．[2018·浙江卷]已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是(　　)‎ A.－1 B.＋1‎ C．2 D．2－ 解析：本小题考查平面向量的数量积、坐标运算、向量模的最值和点到直线的距离．‎ 设＝a，＝b，＝e，以O为原点，的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，则E(1,0)．不妨设A点在第一象限，∵a与e的夹角为，∴点A在从原点出发，倾斜角为，且在第一象限内的射线上．设B(x，y)，由b2－4e·b＋3＝0，得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，即点B在圆(x－2)2＋y2＝1上运动．而＝a－b，∴|a－b|的最小值即为点B到射线OA的距离的最小值，即为圆心(2,0)到射线y＝x(x≥0)的距离减去圆的半径，所以|a－b|min＝－1.选A.‎ 一题多解　将b2－4e·b＋3＝0转化为b2－4e·b＋3e2＝0，‎ 即(b－e)·(b－3e)＝0，∴(b－e)⊥(b－3e)．‎ 设＝e，＝a，＝b，＝3e，＝2e，则⊥，‎ ‎∴点B在以M为圆心，1为半径的圆上运动，如图．‎ ‎∵|a－b|＝||，∴|a－b|的最小值即为点B到射线OA的距离的最小值，即为圆心M到射线OA的距离减去圆的半径．‎ ‎∵||＝2，∠AOM＝，‎ ‎∴|a－b|min＝2sin－1＝－1.‎ 答案：A ‎16．定义平面向量的一种运算a⊙b＝|a＋b|×|a－b|×sin〈a，b〉，其中〈a，b〉是a与b的夹角，给出下列命题：‎ ‎①若〈a，b〉＝90°，则a⊙b＝a2＋b2；‎ ‎②若|a|＝|b|，则(a＋b)⊙(a－b)＝‎4a·b；‎ ‎③若|a|＝|b|，则a⊙b≤2|a|2；‎ ‎④若a＝(1,2)，b＝(－2,2)，则(a＋b)⊙b＝.‎ 其中真命题的序号是________．‎ 解析：①中，因为〈a，b〉＝90°，则a⊙b＝|a＋b|×|a－b|＝a2＋b2，所以①成立；‎ ‎②中，因为|a|＝|b|，所以〈(a＋b)，(a－b)〉＝90°，所以(a＋b)⊙(a－b)＝|‎2a|×|2b|＝4|a||b|，所以②不成立；‎ ‎③中，因为|a|＝|b|，所以a⊙b＝|a＋b|×|a－b|×sin〈a，b〉≤|a＋b|×|a－b|≤＝2|a|2，所以③成立；‎ ‎④中，因为a＝(1,2)，b＝(－2,2)，所以a＋b＝(－1,4)，sin〈(a＋b)，b〉＝，所以(a＋b)⊙b＝3××＝，所以④不成立．‎ 答案：①③‎ ‎17．如图，设α∈(0，π)，且α≠.当∠xOy＝α时，定义平面坐标系xOy为α－仿射坐标系，在α－仿射坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：e1，e2分别为x轴，y轴正方向上的单位向量，若＝xe1＋ye2，则记为＝(x，y)，那么在以下的结论中，正确的是______．(填序号)‎ ‎①设a＝(m，n)，b＝(s，t)，若a＝b，则m＝s，n＝t；‎ ‎②设a＝(m，n)，则|a|＝；‎ ‎③设a＝(m，n)，b＝(s，t)，若a∥b，则mt－ns＝0；‎ ‎④设a＝(m，n)，b＝(s，t)，若a⊥b，则ms＋nt＝0；‎ ‎⑤设a＝(1,2)，b＝(2,1)，若a与b的夹角为，则α＝.‎ 解析：显然①正确；‎ ‎|a|＝|me1＋ne2|＝，‎ 因为α≠，所以②错误；‎ 由a∥b，得b＝λa(λ∈R)，所以s＝λm，t＝λn，‎ 所以mt－ns＝0，故③正确；‎ 因为a·b＝(me1＋ne2)·(se1＋te2)＝ms＋nt＋(mt＋ns)cosα≠ms＋nt，所以④错误；‎ 根据夹角公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，‎ 又|a|＝|b|＝，a·b＝4＋5e1·e2，‎ 所以4＋5e1·e2＝(5＋4e1·e2)cos，‎ 故e1·e2＝－，‎ 即cosα＝－，所以α＝，⑤正确．‎ 答案：①③⑤‎