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- 2021-06-16 发布
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一、选择题
1.已知一个点的球坐标为,则它的高低角为( )
A.- B. C. D.
解析:选A ∵φ=,∴它的高低角为-φ=-.
2.已知一个点的球坐标为,则它的方位角为( )
A. B. C. D.
解析:选A θ=,即它的方位角为.
3.点P的球坐标为,则它的直角坐标为( )
A.(1,0,0) B.(-1,-1,0)
C.(0,-1,0) D.(-1,0,0)
解析:选D x=rsin φcos θ=1·sin ·cos π=-1,
y=rsin φsin θ=1·sin sin π=0,
z=rcos φ=1·cos =0,
∴它的直角坐标为(-1,0,0).
4.在直角坐标系中,点P的坐标为,则其球坐标为( )
A. B.
C. D.
解析:选B r===cos φ===.∴φ=.tan θ==.
又y>0,x>0,∴θ=.∴球坐标为.
二、填空题
5.以地球中心为坐标原点,地球赤道平面为xOy坐标面,由原点指向北极点的连线方向为z轴正向,本初子午线所在平面为zOx
坐标面,如图所示,若某地在西经60°,南纬45°,地球的半径为R,则该地的球坐标可表示为________.
解析:由球坐标的定义可知,该地的球坐标为.
答案:
6.已知点M的球坐标为,则它的直角坐标为________,它的柱坐标是________.
解析:由坐标变换公式得x=rsin φcos θ=4sincos=-2,y=rsin φsin θ=4sinsin=2,
z=rcos φ=4cos=2.
∴它的直角坐标为(-2,2,2).
由公式得
∴ρ2=(-2)2+22=8,∴ρ=2.
∴cos θ=-,sin θ=,
又∵θ∈[0,2π],∴θ=.
即它的柱坐标是.
答案:(-2,2,2)
7.设点M的直角坐标为(-1,-1,),则它的球坐标为________.
解析:由坐标变换公式,得r===2,cos φ==,∴φ=.∵tan θ===1,又∵x<0,y<0,∴θ=.∴M的球坐标为.
答案:
8.在球坐标系中,方程r
=1表示______________________________________________,
方程φ=表示空间的____________________________________________________.
解析:数形结合,根据球坐标的定义判断形状.
答案:球心在原点,半径为1的球面 顶点在原点,轴截面顶角为的圆锥面
三、解答题
9.如图,请你写出点M的球坐标.
解:由球坐标的定义,记|OM|=R,OM与z轴正向所夹的角为φ,如图所示,设M在Oxy平面上的射影为Q,Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点M的位置就可以用有序数组(R,φ,θ)表示.
∴M点的球坐标为M(R,φ,θ).
10.已知点P的球坐标为,求它的直角坐标.
解:根据坐标变换公式
得
∴点P的直角坐标为.
11.如图建立球坐标系,正四面体ABCD的棱长为1,求A、B、C、D的球坐标.(其中O是△BCD的中心)
解:O是△BCD的中心,则OC=OD=OB=,AO=.∴C,D,B,A.