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- 2021-06-16 发布
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限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)
A级 基础夯实练
1.(2018·湖北襄阳模拟)某品牌电视新品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y(单位:台)与投放市场的月数x之间关系的是( )
A.y=100x B.y=50x2-50x+100
C.y=50×2x D.y=100log2x+100
解析:选C.根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应为指数型函数模型,代入数据验证即可,故选C.
2.(2018·江西九江检测)某家具的标价为132元,若降价以九折出售(即优惠10%),仍可获利10%(相对于进价),则该家具的进价是( )
A.118元 B.105元
C.106元 D.108元
解析:选D.设家具的进价为a元,由题意知132×(1-10%)-a=10%·a,解得a=108.故选D.
3.(2018·大连模拟)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )
A.100台 B.120台
C.150台 D.180台
解析:选C.设利润为f(x)万元,则
f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2)
=0.1x2+5x-3 000(0<x<240,x∈N*).
令f(x)≥0,得x≥150,
∴生产者不亏本时的最低产量是150台.
4.(2018·淄博二模)某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )
A. B.
C. D.-1
解析:选D.设第一年年初生产总值为1,则这两年的生产总值为(p+1)(q+1).设这两年生产总值的年平均增长率为x,则(1+x)2=(p+1)(q+1),解得x=-1,故选D.
5.(2018·兰州二模)一水池有两个进水口,一个出水口,每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示.
给出以下3个论断:①0点到3点只进水不出水;②3点到4点不进水只出水;③4点到6点不进水不出水,则一定正确的是( )
A.① B.①②
C.①③ D.①②③
解析:选A.由甲、乙两图知,进水速度是出水速度的,所以0点到3点不出水,3点到4点也可能一个进水口进水,一个出水口出水,但总蓄水量降低,4点到6点也可能两个进水口进水
,一个出水口出水,一定正确的是①.
6.(2018·广东佛山一中月考)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为________分钟.
解析:由实验数据和函数模型知,二次函数p=at2+bt+c的图象过点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5),分别代入解析式,得解得所以p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2(t-3.75)2+0.812 5,所以当t=3.75时,可食用率p最大,即最佳加工时间为3.75分钟.
答案:3.75
7.(2018·湖北枣阳模拟)拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位:元)由f(m)=1.06(0.5[m]+1)给出,其中m>0,[m]是不超过m的最大整数(如[3]=3,[3.7]=3,[3.1]=3),则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元.
解析:∵m=6.5,∴[m]=6,则f(m)=1.06×(0.5×6+1)=4.24.
答案:4.24
8.(2018·山东寿光模拟)某人根据经验绘制了2018年春节前后,从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象,如图所示,则此人在12月26日
大约卖出了西红柿________千克.
解析:前10天满足一次函数关系,设为y=kx+b,将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得解得k=,b=,所以y=x+,则当x=6时,y=.
答案:
9.候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙,研究某种鸟类的专家发现, 该种鸟类的飞行速度v(单位:m/s)与其耗氧量Q之间的关系为:v=a+blog3(其中a,b是实数).据统计,该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位,而其耗氧量为90个单位时,其飞行速度为1 m/s.
(1)求出a,b的值;
(2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s,则其耗氧量至少要多少个单位?
解:(1)由题意可知,当这种鸟类静止时,它的速度为0 m/s,此时耗氧量为30个单位,则a+blog3=0,即a+b=0;
当耗氧量为90个单位时,速度为1 m/s,则a+blog3=1,整理得a+2b=1.
解方程组得
(2)由(1)知,v=a+blog3=-1+log3.
所以要使飞行速度不低于2 m/s,则v≥2,
所以-1+log3≥2,即log3≥3,解得≥27,
即Q≥270.
所以若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s,则其耗氧量至少要270个单位.
10.某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测,服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线.
(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y=f(t);
(2)据进一步测定,每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效,求服药一次后治疗疾病有效的时间.
解:(1)由题图,设y=
当t=1时,由y=4得k=4,
由=4得a=3.所以y=
(2)由y≥0.25得或
解得≤t≤5.
因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5-=(小时).
B级 能力提升练
11.(2018·深圳调研)某食品的保鲜时间y
(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )
A.16小时 B.20小时
C.24小时 D.28小时
解析:选C.由已知条件,得192=eb,∴b=ln 192.
又∵48=e22k+b=e22k+ln 192=192e22k=192(e11k)2,
∴e11k===.设该食品在33 ℃的保鲜时间是t小时,则t=e33k+ln 192=192 e33k=192(e11k)3=192×=24(小时).
12.(2018·烟台二模)某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)=已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表:
月份
用气量
煤气费
一月份
4 m3
4元
二月份
25 m3
14元
三月份
35 m3
19元
若四月份该家庭使用了20 m3的煤气,则其煤气费为( )
A.11.5元 B.11元
C.10.5元 D.10元
解析:选A.根据题意可知f(4)=C=4,f(25)=C+B(25-A)=14,f(35)=C+B(35-A)=19,解得A=5,B=,C=4,所以f(x)=所以f(20)=4+(20-5)=11.5.
13.(2018·长春模拟)某校甲、乙两食堂某年1月营业额相等,甲食堂的营业额逐月增加,并且每月的增加值相同;乙食堂的营业额也逐月增加,且每月增加的百分率相同.已知本年9月份两食堂的营业额又相等,则本年5月份( )
A.甲食堂的营业额较高
B.乙食堂的营业额较高
C.甲、乙两食堂的营业额相同
D.不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高
解析:选A.设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m,甲食堂的营业额每月增加a(a>0),乙食堂的营业额每月增加的百分率为x,由题意可得,m+8a=m×(1+x)8,则5月份甲食堂的营业额y1=m+4a,乙食堂的营业额y2=m×(1+x)4=,因为y-y=(m+4a)2-m(m+8a)=16a2>0,所以y1>y2,故本年5月份甲食堂的营业额较高.
14.(2018·衡水模拟)已知一容器中有A,B两种菌,且在任何时刻A,B两种菌的个数乘积为定值1010,为了简单起见,科学家用PA=lg (nA)来记录A菌个数的资料,其中nA为A菌的个数,现有以下几种说法:
①PA≥1;
②若今天的PA值比昨天的PA值增加1,则今天的A
菌个数比昨天的A菌个数多了10个;
③假设科学家将B菌的个数控制为5万个,则此时5<PA<5.5.
其中正确的说法为________.(写出所有正确说法的序号)
解析:当nA=1时PA=0,故①错误;
若PA=1,则nA=10,若PA=2,则nA=100,故②错误;
设B菌的个数为nB=5×104,
∴nA==2×105,
∴PA=lg(nA)=lg 2+5.
又∵lg 2≈0.3,
∴5<PA<5.5,故③正确.
答案:③
15.(2018·唐山模拟)某人计划购买一辆A型轿车,售价为14.4万元,购买后轿车一年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需2.4万元,同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%),那么,大约使用________年后,花费在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元.
解析:设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元,
依题意可得,14.4(1-0.9x)+2.4x=14.4.
化简得:x-6×0.9x=0,令f(x)=x-6×0.9x.
因为f(3)=-1.374<0,f(4)=0.063 4>0,
所以函数f(x)在(3,4)上应有一个零点.
故大约使用4年后,花费在该车上的费用达到14.4万元.
答案:4
C级 素养加强练
16.(2018·无锡模拟)
某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月,预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势,而中期又将出现供大于求使价格连续下跌.现有三种价格模拟函数:①f(x)=p·qx;②f(x)=px2+qx+1;③f(x)=x(x-q)2+p(以上三式中p,q均为常数,且q>1).
(1)为准确研究其价格走势,应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?
(2)若f(0)=4,f(2)=6.
①求出所选函数f(x)的解析式(注:函数定义域是[0,5],其中x=0表示8月1日,x=1表示9月1日,以此类推);
②为保证养殖户的经济效益,当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销,请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌.
解:(1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势,而中期又将出现价格连续下跌,所以在所给出的函数中应选模拟函数f(x)=x(x-q)2+p.
(2)①对于f(x)=x(x-q)2+p,
由f(0)=4,f(2)=6,可得p=4,(2-q)2=1,
又q>1,所以q=3,
所以f(x)=x3-6x2+9x+4(0≤x≤5).
②因为f(x)=x3-6x2+9x+4(0≤x≤5),
所以f′(x)=3x2-12x+9,
令f′(x)<0,得1<x<3.
所以函数f(x)在(1,3)内单调递减,所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌.