【数学】2020届一轮复习人教B版 坐标系与参数方程 课时作业 5页

‎1．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈.‎ ‎(1)求半圆C的参数方程；‎ ‎(2)若半圆C与圆D：(x－5)2＋(y－)2＝m(m是常数，m＞0)相切，试求切点的直角坐标．‎ 解：(1)半圆C的普通方程为(x－2)2＋y2＝4(0≤y≤2)，‎ 则半圆C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π)．‎ ‎(2)C，D的圆心坐标分别为(2,0)，(5，)，‎ 于是直线CD的斜率k＝＝.‎ 由于切点必在两个圆心的连线上，‎ 故切点对应的参数t满足tan t＝，t＝，‎ 所以切点的直角坐标为，即(2＋，1)．‎ ‎2．(2018·贵阳摸底考试)曲线C的参数方程为(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos＝.‎ ‎(1)写出C的普通方程，并用(α为直线的倾斜角，t为参数)的形式写出直线l的一个参数方程；‎ ‎(2)l与C是否相交？若相交，求出两交点的距离，若不相交，请说明理由．‎ 解：(1)C的普通方程为＋y2＝1，‎ 由ρcos＝得x－y－2＝0，‎ 则直线l的倾斜角为，‎ 又直线l过点(2,0)，‎ 得直线l的一个参数方程为(t为参数)．‎ ‎(2)将l的参数方程代入C的普通方程得 ‎5t2＋4t＝0，解得t1＝0，t2＝－，‎ 显然l与C有两个交点，‎ 分别记为A，B，且|AB|＝|t1－t2|＝.‎ ‎3．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos＝3.‎ ‎(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程．‎ ‎(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时点P的直角坐标．‎ 解：(1)曲线C1的参数方程为(α为参数)，普通方程为x2＋＝1，‎ 曲线C2的极坐标方程为ρcos＝3，‎ 即ρcos θ＋ρsin θ－6＝0，直角坐标方程为x＋y－6＝0.‎ ‎(2)设P(cos α，sin α)，则|PQ|的最小值为P到x＋y－6＝0距离，‎ 即＝，‎ 当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，|PQ|取得最小值2，‎ 此时P.‎ ‎4．(2018·贵阳适应性考试)在平面直角坐标系xOy中，曲线C：(α为参数)，在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为 ρcos＝－1.‎ ‎(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)过点M(－1,0)且与直线l平行的直线l1交曲线C于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之和．‎ 解：(1)曲线C的普通方程为＋y2＝1，‎ 由ρcos＝－1，得ρcos θ－ρsin θ＝－2，‎ 所以直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.‎ ‎(2)直线l1的参数方程为(t为参数)，将其代入＋y2＝1中，化简得2t2－t－2＝0，‎ 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，‎ 则t1＋t2＝，t1t2＝－1，‎ 所以|MA|＋|MB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2|＝＝‎ eq (lc( c)(avs4alco1(f( (2),2)))2－4×(－1))＝.‎ ‎5．(2018·福州四校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，直线C2的方程为y＝x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求＋.‎ 解：(1)由曲线C1的参数方程为(α为参数)，得曲线C1的普通方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，‎ 则C1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，‎ 由于直线C2过原点，且倾斜角为，故其极坐标方程为θ＝(ρ∈R)(tan θ＝)．‎ ‎(2)由得ρ2－(2＋2)ρ＋7＝0，‎ 设A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝2＋2，ρ1ρ2＝7，‎ ‎∴＋＝＝＝.‎ ‎6．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，曲线C2的参数方程为(t为参数，0≤α＜π)，射线θ＝φ，θ＝φ＋，θ＝φ－与曲线C1交于(不包括极点O)三点A，B，C.‎ ‎(1)求证：|OB|＋|OC|＝|OA|；‎ ‎(2)当φ＝时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．‎ 解：(1)证明：设点A，B，C的极坐标分别为(ρ1，φ)，，，‎ 因为点A，B，C在曲线C1上，‎ 所以ρ1＝4cos φ，ρ2＝4cos，ρ3＝4cos，‎ 所以|OB|＋|OC|＝ρ2＋ρ3＝4cos＋4cos＝4cos φ＝ρ1，‎ 故|OB|＋|OC|＝|OA|.‎ ‎(2)由曲线C2的方程知曲线C2是经过定点(m,0)且倾斜角为α的直线．‎ 当φ＝时，B，C两点的极坐标分别为2，，2，－，‎ 化为直角坐标为B(1，)，C(3，－)，‎ 所以tan α＝＝－，又0≤α＜π，所以α＝.‎ 故曲线C2的方程为y＝－(x－2)，易知曲线C2恒过点(2,0)，即m＝2.‎ ‎7．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1：ρ＝4cos θ.直线l与曲线C1相切．‎ ‎(1)将曲线C1的极坐标方程化为直角坐标方程，并求α的值．‎ ‎(2)已知点Q(2,0)，直线l与曲线C2：x2＋＝1交于A，B两点，求△ABQ的面积．‎ 解：(1)曲线C1：ρ＝4cos θ，即ρ2＝4ρcos θ，化为直角坐标方程为x2＋y2＝4x，即C1：(x－2)2＋y2＝4，可得圆心(2,0)，半径r＝2，‎ 直线l的参数方程为(t为参数)，其中0≤α＜π，由题意l与C1相切，可得普通方程为y－＝k(x－1)，k＝tan α，0≤α＜π且α≠，‎ 因为直线l与曲线C1相切，所以＝2，‎ 所以k＝，所以α＝.‎ ‎(2)直线l的方程为y＝x＋，‎ 代入曲线C2：x2＋＝1，整理可得10x2＋4x－5＝0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝－，x1·x2＝－，‎ 所以|AB|＝·＝，‎ Q到直线的距离d＝＝2，‎ 所以△ABQ的面积S＝××2＝.‎ ‎8．已知直线L的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝.‎ ‎(1)求直线L的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)过曲线C上任意一点P作与直线L夹角为的直线l，设直线l与直线L的交点为A，求|PA|的最大值．‎ 解：(1)由(t为参数)，得L的普通方程为2x＋y－6＝0，‎ 令x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ 得直线L的极坐标方程为2ρcos θ＋ρsin θ－6＝0，‎ 由曲线C的极坐标方程，知ρ2＋3ρ2cos2θ＝4，‎ 所以曲线C的直角坐标方程为x2＋＝1.‎ ‎(2)由(1)，知直线L的普通方程为2x＋y－6＝0，‎ 设曲线C上任意一点P(cos α，2sin α)，‎ 则点P到直线L的距离d＝.‎ 由题意得|PA|＝＝，‎ 所以当sin＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.‎