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- 2021-06-16 发布
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对应学生用书[练案82理][练案71文]
选修4-5 不等式选讲
第一讲 绝对值不等式
1.(2018·课标Ⅱ卷)设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|(a∈R).
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;
(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.
[解析] (1)当a=1时,f(x)=
可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}.
(2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.
而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立.
故f(x)≤1等价于|a+2|≥4.
由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2.
所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).
2.(2020·桂林模拟)已知函数f(x)=|x-2a|+a.
(1)当a=2时,求不等式xf(x)≥8的解集;
(2)若不等式f(x)≥|x-1|+4有解,求实数a的取值范围.
[解析] (1)当a=2时,f(x)=|x-4|+2=
当x≥4时,由xf(x)≥8,得x2-2x-8≥0,得x≥4.
当x<4时,由xf(x)≥8,得x2-6x+8≤0,得2≤x<4.
所以不等式xf(x)≥8的解集为{x|x≥2}.
(2)由f(x)≥|x-1|+4有解,可得|x-2a|-|x-1|≥4-a有解,
又|x-2a|-|x-1|≤|(x-2a)-(x-1)|=|2a-1|,
所以|2a-1|≥4-a,①
当a≥4时,不等式①恒成立;
当≤a<4时,不等式①可化为2a-1≥4-a,可得≤a<4;
当a<时,不等式①可化为1-2a≥4-a,可得a≤-3.
所以实数a的取值范围是(-∞,-3]∪[,+∞).
3.(2019·课标全国Ⅱ)已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).
(1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集;
(2)若x∈(-∞,1)时,f(x)<0,求a的取值范围.
[解析] (1)当a=1时,f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1).
当x<1时,f(x)=-2(x-1)2<0;
当x≥1时,f(x)≥0.
所以,不等式f(x)<0的解集为(-∞,1).
(2)因为f(a)=0,所以a≥1.
当a≥1,x∈(-∞,1)时,f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)<0,
所以,a的取值范围是[1,+∞).
4.(2019·山东泰安)已知函数f(x)=|x+m|+|2x-3|(m∈R).
(1)当m=-3时,解不等式f(x)<9;
(2)若存在x∈[2,4],使得f(x)≤3成立,求m的取值范围.
[解析] (1)f(x)=|x+m|+|2x-3|(m∈R),
当m=-3时,f(x)=|x-3|+|2x-3|(m∈R),
由于f(x)<9,
则|x-3|+|2x-3|<9,
所以
或或
解得-10.
(2)若f(x)+3|x-4|>|m-2|对一切实数x均成立,求实数m的取值范围.
[解析] (1)当x≥4时,f(x)=2x+1-x+4=x+5,
原不等式即x+5>0,解得x>-5,又x≥4,∴x≥4;
当-≤x<4时,f(x)=2x+1+x-4=3x-3,
原不等式即3x-3>0,
解得x>1,又-≤x<4,∴10,解得x<-5,∴x<-5.
综上,原不等式的解集为{x|x>1或x<-5}.
(2)f(x)+3|x-4|=|2x+1|+2|x-4|≥|2x+1-(2x-8)|=9,当-≤x≤4时,等号成立,
∴f(x)+3|x-4|的最小值为9,要使f(x)+3|x-4|>|m-2|对一切实数x均成立.需|m-2|<9.
∴m的取值范围是(-7,11).
6.(2020·重庆模拟)已知函数f(x)=|2x+4|+|x-a|.
(1)当a<-2时,f(x)的最小值为1,求实数a的值;
(2)当f(x)=|x+a+4|时,求x的取值范围.
[解析] (1)当a<-2时,函数
f(x)=|2x+4|+|x-a|=
可知,当x=-2时,f(x)取得最小值,最小值为f(-2)=-a-2=1,
解得a=-3.
(2)f(x)=|2x+4|+|x-a|≥|(2x+4)-(x-a)|=|x+a+4|,
当且仅当(2x+4)(x-a)≤0时,等号成立,
所以若f(x)=|x+a+4|,则
当a<-2时,x的取值范围是{x|a≤x≤-2};
当a=-2时,x的取值范围是{x|x=-2};
当a>-2时,x的取值范围是{x|-2≤x≤a};
7.(2020·四川绵阳诊断)设函数f(x)=|x-m|+|x+1|-5(x∈R).
(1)当m=2时,求不等式f(x)≥0的解集;
(2)若f(x)≥-2,求实数m的取值范围.
[解析] (1)当m=2时,f(x)=|x-2|+|x+1|-5,
当x≤-1时,f(x)=-(x-2)-(x+1)-5≥0,
解得x≤-2;
当-1