- 135.00 KB
- 2021-06-16 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
三角函数的图象与性质
建议用时:45分钟
一、选择题
1.下列函数中,周期为2π的奇函数为( )
A.y=sin cos B.y=sin2x
C.y=tan 2x D.y=sin 2x+cos 2x
A [y=sin2x为偶函数;y=tan 2x的周期为;y=sin 2x+cos 2x为非奇非偶函数,故B、C、D都不正确,故选A.]
2.函数y=|cos x|的一个单调增区间是( )
A. B.[0,π]
C. D.
D [将y=cos x的图象位于x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方,x轴上方(或x轴上)的图象不变,即得y=|cos x|的图象(如图).故选D.
]
3.如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点对称,那么|φ|的最小值为( )
A. B.
C. D.
A [由题意得3cos=3cos=3cos=0,
所以+φ=kπ+,k∈Z.
所以φ=kπ-,k∈Z,取k=0,
得|φ|的最小值为.]
4.函数y=cos2x-2sin x的最大值与最小值分别为( )
A.3,-1 B.3,-2
C.2,-1 D.2,-2
D [y=cos2x-2sin x=1-sin2x-2sin x
=-sin2x-2sin x+1,
令t=sin x,
则t∈[-1,1],y=-t2-2t+1=-(t+1)2+2,
所以ymax=2,ymin=-2.]
5.已知函数f(x)=4sin(ωx+φ)(ω>0).在同一周期内,当x=时取最大值,当x=-时取最小值,则φ的值可能为( )
A. B. C. D.
C [T==2=π,故ω=2,又2×+φ=2kπ+,k∈Z,所以φ=2kπ+,k∈Z,所以φ的值可能为.故选C.]
二、填空题
6.函数y=cos的单调递减区间为________.
(k∈Z) [因为y=cos=cos,
所以令2kπ≤2x-≤2kπ+π(k∈Z),解得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),
所以函数的单调递减区间为(k∈Z).]
7.已知函数f(x)=2sin+1(x∈R)的图象的一条对称轴为x=π,其中ω为常数,且ω∈(1,2),则函数f(x)的最小正周期为________.
[由函数f(x)=2sin+1(x∈R)的图象的一条对称轴为x=π,可得ωπ-=kπ+,k∈Z,
∴ω=k+,又ω∈(1,2),∴ω=,
从而得函数f(x)的最小正周期为=.]
8.函数f(x)=cos(3x-θ)-sin(3x-θ)是奇函数,则tan θ等于________.
- [f(x)=cos(3x-θ)-sin(3x-θ)=2sin=-2sin,
因为函数f(x)为奇函数,
则有--θ=kπ,k∈Z,
即θ=-kπ-,k∈Z,
故tan θ=tan=-.]
三、解答题
9.已知f(x)=sin.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)当x∈时,求函数f(x)的最大值和最小值.
[解] (1)令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
故f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)当x∈时,≤2x+≤,
所以-1≤sin≤,
所以-≤f(x)≤1,
所以当x∈时,函数f(x)的最大值为1,最小值为-.
10.已知a=(sin x,cos x),b=(cos x,-cos x),函数f(x)=a·b+.
(1)求函数y=f(x)图象的对称轴方程;
(2)若方程f(x)=在(0,π)上的解为x1,x2,求cos(x1-x2)的值.
[解] (1)f(x)=a·b+
=(sin x,cos x)·(cos x,-cos x)+
=sin x·cos x-cos2x+
=sin 2x-cos 2x=sin.
令2x-=kπ+(k∈Z),得x=+π(k∈Z),
即函数y=f(x)图象的对称轴方程为x=+π(k∈Z).
(2)由(1)及已知条件可知(x1,f(x1))与(x2,f(x2))关于x=对称,
则x1+x2=,
∴cos(x1-x2)=cos
=cos=cos
=sin=f(x1)=.
1.已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)+b对任意实数x有f=f(-x)恒成立,且f=1,则实数b的值为( )
A.-1 B.3
C.-1或3 D.-3
C [由f=f(-x)可知函数f(x)=2cos(ωx+φ)+b关于直线x=对称,又函数f(x)在对称轴处取得最值,故±2+b=1,∴b=-1或b=3.]
2.(2019·太原模拟)已知函数f(x)=2sin的图象的一个对称中心为,其中ω为常数,且ω∈(1,3).若对任意的实数x,总有f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2|的最小值是( )
A.1 B.
C.2 D.π
B [因为函数f(x)=2sin的图象的一个对称中心为,所以ω+=kπ,k∈Z,所以ω=3k-1,k∈Z,由ω∈(1,3),得ω=2.由题意得|x1-x2|的最小值为函数的半个周期,即==.]
3.已知函数f(x)=则下列结论正确的是( )
A.f(x)是周期函数
B.f(x)是奇函数
C.f(x)的图象关于直线x=对称
D.f(x)在处取得最大值
C [作出函数f(x)的图象,如图所示,则由图象可知函数f(x
)不是周期函数,所以A不正确;同时图象不关于原点对称,所以不是奇函数,所以B不正确;
若x>0,则f=cos=(cos x-sin x),
f=sin=(cos x-sin x),此时f=f,若x≤0,则f=sin=(cos x+sin x),f=cos=(cos x+sin x),此时f=f,综上,恒有f=f,即图象关于直线x= 对称,所以C正确;当x=时,f=cos=0不是函数的最大值,所以D错误,故选C.
]
4.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π.
(1)求当f(x)为偶函数时φ的值;
(2)若f(x)的图象过点,求f(x)的单调递增区间.
[解] 由f(x)的最小正周期为π,则T==π,所以ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ).
(1)当f(x)为偶函数时,f(-x)=f(x),
所以sin(2x+φ)=sin(-2x+φ),
展开整理得sin 2xcos φ=0,
由已知上式对∀x∈R都成立,
所以cos φ=0.因为0<φ<,所以φ=.
(2)因为f=,
所以sin=,即+φ=+2kπ或+φ=+2kπ(k∈Z),
故φ=2kπ或φ=+2kπ(k∈Z),
又因为0<φ<,所以φ=,
即f(x)=sin,
由-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z)
得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
故f(x)的递增区间为(k∈Z).
1.设函数f(x)=sin,若方程f(x)=a恰好有三个根,分别为x1,x2,x3(x1<x2<x3),则2x1+3x2+x3的值为( )
A.π B.
C. D.
D [由题意x∈,则2x+∈,
画出函数的大致图象,如图所示.
由图可得,当≤a<1时,方程f(x)=a恰有三个根.由2x+=得x=,
由2x+=得x=,
由图可知,点(x1,a)与点(x2,a)关于直线x=对称,点(x2,a)与点(x3,a)关于直线x=对称,
所以x1+x2=,x2+x3=,
所以2x1+3x2+x3=2(x1+x2)+(x2+x3)=.]
2.已知函数f(x)=a+b.
(1)若a=-1,求函数f(x)的单调增区间;
(2)当x∈[0,π]时,函数f(x)的值域是[5,8],求a,b的值.
[解] f(x)=a(1+cos x+sin x)+b
=asin+a+b.
(1)当a=-1时,f(x)=-sin+b-1,
由2kπ+≤x+≤2kπ+(k∈Z),
得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z),
∴f(x)的单调增区间为(k∈Z).
(2)∵0≤x≤π,∴≤x+≤,
∴-≤sin≤1.依题意知a≠0,
①当a>0时,∴a=3-3,b=5;
②当a<0时,∴a=3-3,b=8.
综上所述,a=3-3,b=5或a=3-3,b=8.