【数学】2020届一轮复习（文理合用）第4章第4讲平面向量的综合应用作业 7页

对应学生用书[练案31理][练案30文]‎ 第四讲　平面向量的应用 A组基础巩固 一、选择题 ‎1．若O为△ABC内一点，||＝||＝||，则O是△ABC的(　B　)‎ A．内心　　　 B．外心　　　‎ C．垂心　　　 D．重心 ‎[解析]　由向量模的定义知O到△ABC的三顶点距离相等，故O是△ABC的外心，故选B．‎ ‎2．在矩形ABCD中，||＝4，||＝2，则|＋＋|＝(　C　)‎ A．　　　 B．3　　　‎ C．4　　　 D．2 ‎[解析]　由平行四边形法则可得＋＝，则原式＝2||＝2＝4．‎ ‎3．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为(　A　)‎ A．等腰三角形　　　 B．直角三角形 C．正三角形　　　 D．等腰直角三角形 ‎[解析]　∵(－)·(＋－2)＝0，∴·[(－)＋(－)]＝·(＋)＝0，由此可得△ABC中，BC与BC边上的中线垂直，∴△ABC为等腰三角形，故选A．‎ ‎4．已知向量a＝(1，sinθ)，b＝(1，cosθ)，则|a－b|的最大值为(　B　)‎ A．1　　　 B．　　　‎ C．　　　 D．2‎ ‎[解析]　∵a＝(1，sinθ)，b＝(1，cosθ)，∴a－b＝(0，sinθ－cosθ)．‎ ‎∴|a－b|＝＝．‎ ‎∴|a－b|最大值为.故选B．‎ ‎5．已知A，B是圆心为C半径为的圆上两点，且||＝，则·等于(　A　)‎ A．－　　　 B．　　　‎ C．0　　　 D． ‎[解析]　由于弦长|AB|＝与半径相等，则∠ACB＝60°⇒·＝－·＝－||·||·cos∠ACB＝－··cos60°＝－．‎ ‎6．在△ABC中“·<0”是“△ABC为锐角三角形”的(　B　)‎ A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件 C．充要条件　　　 D．既不充分又不必要条件 ‎[解析]　·<0⇒·>0⇒B为锐角，但得不出△ABC为锐角三角形；反之，△ABC为锐角三角形，B一定为锐角⇒·>0⇒·<0，∴“·<0”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件，故选B．‎ ‎7．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则·的最小值为(　D　)‎ A．　　　 B．　　　‎ C．　　　 D． ‎[解析]　·＝(＋)·(＋)＝(＋λ)·(＋)＝＋＋≥，当且仅当＝，即λ＝1时取等号，故选D．‎ ‎8．(安徽省黄山市2019届高三第一次质量检测数学试题)如图，在△ABC中，∠BAC＝，＝2，P为CD上一点，且满足＝m＋，若△ABC的面积为2，则||的最小值为(　B　)‎ A．　　　 B．　　　‎ C．3　　　 D． ‎[解析]　＝m＋＝m＋，由于P、C、D共线，所以m＝，设AC＝b，AB＝c，S△ABC＝bcsinA＝bc＝2，∴bc＝8，||2＝2＝(AC＋)2＝(b2＋9×c2＋2×b×2c×)＝(b2‎ ‎＋4c2＋2bc)≥×6bc＝3，∴||≥，故选B．‎ 二、填空题 ‎9．已知向量a＝(λ，－6)，b＝(1，－2)，若a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是__(－12,3)∪(3，＋∞)___．‎ ‎[解析]　a·b＝λ＋12>0⇒λ>－12，若a、b夹角为0，则存在k>0使a＝kb，即(λ，－6)＝(k，－2k)，∴∴λ＝3，∴使a、b夹角为锐角的λ的取值范围是(－12,3)∪(3，＋∞)．‎ ‎10．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点.·的最大值为__1___．‎ ‎[解析]　(1)解法一：如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，设E(t,0)，0≤t≤1，则D(0,1)，C(1,1)，＝(t，－1)，＝(1,0)，∴·＝t≤1．‎ 解法二：选取{，}作为基底，设＝t，0≤t≤1，则·＝(t－)·＝t≤1．‎ 解法三：设＝t，‎ 则·＝·＝||·1·cos∠AED＝||＝|t|||＝|t|≤1．‎ ‎11．已知向量m＝(sin，1)，n＝(cos，cos2)．若m·n＝1，则cos(－x)＝　－ 　．‎ ‎[解析]　m·n＝sincos＋cos2 ‎＝sin＋＝sin(＋)＋，‎ 因为m·n＝1，所以sin(＋)＝．‎ 因为cos(x＋)＝1－2sin2(＋)＝，‎ 所以cos(－x)＝－cos(x＋)＝－.故填－．‎ ‎12．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是最高点、最低点，O为坐标原点，且·＝0，则函数f(x)的最小正周期是__3___．‎ ‎ [解析]　由图象可知，M(，1)，N(xN，－1)，所以·＝(，1)·(xN，－1)＝xN－1＝0，解得xN＝2，所以函数f(x)的最小正周期是2×(2－)＝3.故填3．‎ 三、解答题 ‎13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(c－2b，a)，n＝(cosA，cosC)，且m⊥n．‎ ‎(1)求角A的大小；‎ ‎(2)若a＝，b＋c＝3，求△ABC的面积．‎ ‎[解析]　(1)由m⊥n，得m·n＝0，‎ 即(c－2b)cosA＋acosC＝0．‎ 由正弦定理，得(sinC－2sinB)cosA＋sinAcosC＝0，‎ 所以2sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA，‎ ‎2sinB·cosA＝sin(A＋C)，‎ ‎2sinB·cosA＝sinB．‎ 因为0