【数学】2020届一轮复习人教B版解析几何作业(9) 6页

‎(六十六)‎ ‎1．已知集合A＝{(x，y)|－＝1，x，y∈R}，B＝{(x，y)|－＝1，x，y∈R}，则A∩B中元素的个数为(　　)‎ A．0　　　　　　　　　　　 B．1‎ C．2 D．3‎ 答案　B 解析　集合A表示双曲线，顶点为(±3，0)，其渐近线方程为±＝0，集合B表示直线，与x轴的交点为(3，0)，且与其中一条渐近线平行，与双曲线有且只有一个交点，所以A∩B中元素的个数为1.故选B.‎ ‎2．直线l过点(，0)且与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，这样的直线有(　　)‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 答案　C 解析　该点为双曲线的顶点，与双曲线相切的直线有一条，与渐近线平行的直线有两条，共3条．‎ ‎3．已知F1，F2是双曲线－y2＝1的左、右焦点，P，Q为右支上的两点，直线PQ过F2且倾斜角为α，则|PF1|＋|QF1|－|PQ|的值为(　　)‎ A．8 B．2 C．4 D．随α的大小而变化 答案　C 解析　由双曲线定义知：|PF1|＋|QF1|－|PQ|＝|PF1|＋|QF1|－(|PF2|＋|QF2|)＝(|PF1|－|PF2|)＋(|QF1|－|QF2|)＝4a＝4.‎ ‎4．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为(　　)‎ A. B．2 C．4 D．8‎ 答案　C 解析　抛物线y2＝16x的准线方程是x＝－4，所以点A(－4，2)在等轴双曲线C：x2－y2＝a2(a>0)上，将点A的坐标代入得a＝2，所以C的实轴长为4.‎ ‎5．若直线x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2‎ ‎＋y2＝5上，则m的值为(　　)‎ A．± B．±2‎ C．±1 D．± 答案　C 解析　设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．由得x2－2mx－m2－2＝0(Δ>0)，∴x0＝＝m，y0＝x0＋m＝2m，∵点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝5上，∴m2＋(2m)2＝5，∴m＝±1.‎ ‎6．(2019·山东青岛二模)直线l：x－2y－5＝0过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点且与其一条渐近线平行，则该双曲线的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－y2＝1 D．x2－＝1‎ 答案　A 解析　根据题意，令y＝0，则x＝5，则c＝5.又＝，所以a2＝20，b2＝5，所以双曲线的方程为－＝1.‎ ‎7．已知直线y＝kx＋1与双曲线x2－＝1交于A，B两点，且|AB|＝8，则实数k的值为(　　)‎ A．± B．±或± C．± D．± 答案　B 解析　由直线与双曲线交于A，B两点，得k≠±2.将y＝kx＋1代入x2－＝1得(4－k2)x2－2kx－5＝0，则Δ＝4k2＋4(4－k2)×5>0，k2<5.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－，所以|AB|＝·＝8，解得k＝±或±.‎ ‎8．(2019·东北三校一模)已知双曲线－＝1，过其右焦点F的直线交双曲线于P，Q两点，PQ的垂直平分线交x轴于点M，则的值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　依题意，将直线PQ特殊化为x轴，于是有点P(－3，0)，Q(3，0)，M(0，0)，F(5，0)，＝.‎ ‎9．(2019·宁夏银川第二中学统练)过双曲线x2－＝1的右支上一点P，分别向圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2－|PN|2的最小值为(　　)‎ A．10 B．13‎ C．16 D．19‎ 答案　B 解析　由题意可知|PM|2－|PN|2＝(|PC1|2－4)－(|PC2|2－1)，因此，|PM|2－|PN|2＝|PC1|2－|PC2|2－3＝(|PC1|－|PC2|)·(|PC1|＋|PC2|)－3＝2(|PC1|＋|PC2|)－3≥2|C1C2|－3＝13，故选B.‎ ‎10．(2017·天津)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ 答案　B 解析　由F(－c，0)，P(0，4)，得kPF＝＝，又e＝，所以e＝＝＝，所以a＝b，c＝4，故a2＝b2＝8，故选B.‎ ‎11．(2019·长沙调考)过双曲线－＝1(b>a>0)的右顶点A作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C，若A，B，C三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意可知，经过右顶点A的直线方程为y＝－x＋a，联立解得x＝‎ eq f(a2,a＋b).联立解得x＝.因为b>a>0，所以<0，且>0，又点B的横坐标为等比中项，所以点B的横坐标为，则a·＝()2，解得b＝3a，所以双曲线的离心率e＝＝＝.‎ ‎12．(2019·山西省实验中学质量监测)若直线l与双曲线－y2＝1相切于点P，l与双曲线的两条渐近线分别交于M，N两点，则·的值为(　　)‎ A．3 B．4‎ C．5 D．与点P的位置有关 答案　A 解析　设切点P的坐标为(x0，y0)，则切线l的方程为x0x－y0y＝1.由双曲线的方程，得两条渐近线的方程分别为y＝x，y＝－x.分别联立切线方程和渐近线方程，得M(，)，N(，)，∴·＝＝.∵x02－4y02＝4，∴·＝＝3.故选A.‎ ‎13．(2018·课标全国Ⅰ)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝(　　)‎ A. B．3‎ C．2 D．4‎ 答案　B 解析　因为双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的直线与直线y＝x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°，又直线MN过点F(2，0)，所以直线MN的方程为y＝－(x－2)，‎ 由得所以M(，)，所以|OM|＝＝，所以|MN|＝|OM|＝3，故选B.‎ ‎14．(2015·江苏)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．‎ 若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为________．‎ 答案　 解析　设P(x，y)，(x≥1)，因为直线x－y＋1＝0平行于渐近线x－y＝0，所以c的最大值为直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0之间距离，为＝.‎ ‎15．(2019·山西一模)过双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，且斜率为2的直线与E的右支有两个不同的公共点，则双曲线E的离心率的取值范围是________．‎ 答案　(1，)‎ 解析　∵斜率为2的直线与双曲线E的右支有两个交点，∴<2.又b2＝c2－a2，∴<2.整理，得c1，∴双曲线E的离心率的取值范围是(1，)．‎ ‎16．已知点M(－2，0)，N(2，0)，动点P满足条件|PM|－|PN|＝2，记动点P的轨迹为W.‎ ‎(1)求W的方程；‎ ‎(2)若A和B是W上的不同两点，O是坐标原点，求·的最小值．‎ 答案　(1)－＝1(x≥)　(2)2‎ 解析　(1)由|PM|－|PN|＝2知动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，实半轴长a＝.‎ 又焦距2c＝4，所以虚半轴长b＝＝.‎ 所以W的方程为－＝1(x≥)．‎ ‎(2)设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．‎ 当AB⊥x轴时，x1＝x2，y1＝－y2，‎ 从而·＝x1x2＋y1y2＝x12－y12＝2.‎ 当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m(k≠±1)，与W的方程联立，消去y得(1－k2)x2－2kmx－m2－2＝0，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝，所以·＝x1x2＋y1y2‎ ‎＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2‎ ‎＝＋＋m2＝＝2＋.‎ 又因为x1x2>0，所以k2－1>0.‎ 所以·>2.‎ 综上所述，当AB⊥x轴时，·取得最小值2.‎ ‎17．已知圆C1：(x＋)2＋y2＝，圆C2：(x－)2＋y2＝，动圆P与已知两圆都外切．‎ ‎(1)求动圆的圆心P的轨迹E的方程；‎ ‎(2)直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹E交于不同的两点A，B，AB的中垂线与y轴交于点N，求点N的纵坐标的取值范围．‎ 答案　(1)2x2－y2＝1(x>0)　(2)(－∞，－)‎ 解析　(1)已知两圆的圆心、半径分别为C1(－，0)，r1＝；C2(，0)，r2＝.‎ 设动圆P的半径为r，由题意知|PC1|＝r＋，|PC2|＝r＋，‎ 则|PC1|－|PC2|＝<|C1C2|＝.‎ 所以点P在以C1，C2为焦点的双曲线右支上，其中2a＝，2c＝，所以b2＝1.‎ 故轨迹E的方程为2x2－y2＝1(x>0)．‎ ‎(2)将直线y＝kx＋1代入双曲线方程，并整理，得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，‎ 依题意，直线l与双曲线的右支交于不同两点，故 所以－2