【数学】2021届一轮复习人教版（理）第10章第7讲离散型随机变量及其分布列作业 7页

对应学生用书[练案76理]‎ 第七讲　离散型随机变量及其分布列(理)‎ A组基础巩固 一、选择题 ‎1．设随机变量X的概率分布列如下表所示：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P a F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1,2)时，F(x)＝(　D　)‎ A．　 B．　‎ C．　 D． ‎[解析]　∵a＋＋＝1，∴a＝.‎ ‎∵x∈[1,2)，∴F(x)＝P(X≤x)＝＋＝.‎ ‎2．(2019·合肥模拟)设某项试验的成功率是失败率的2倍，试验一次要么成功要么失败，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于(　C　)‎ A．0　 B．　‎ C．　 D． ‎[解析]　X可能取值为0或1，而P(X＝1)＝2P(X＝0)，且P(X＝1)＋P(X＝0)＝1.所以P(X＝0)＝.故选C．‎ ‎3．(2019·陕西西安高三检测)已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝，k＝1,2，…，则P(2<ξ≤4)等于(　A　)‎ A．　 B．　‎ C．　 D． ‎[解析]　P(2<ξ≤4)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝＋＝.故选A．‎ ‎4．(2019·孝感模拟)已知袋中有3个白球，2个红球，现从中随机取出3个球，其中取出1个白球计1分，取出1个红球计2分，记X为取出3个球的总分值，则E(X)＝(　B　)‎ A．　 B．　‎ C．4　 D． ‎[解析]　由题意知，X的所有可能取值为3,4,5，且P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，所以E(X)＝3×＋4×＋5×＝.‎ ‎5．(2020·安徽六校联考)‎2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”．现有4名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为(　B　)‎ A．　 B．　‎ C．　 D． ‎[解析]　4名同学去旅游的所有情况有：44＝256种，恰有一个地方未被选中共有：C·C·A＝144种情况，∴恰有一个地方未被选中的概率：P＝＝.故选B．‎ 二、填空题 ‎6．(2019·吉林质检)设随机变量的概率分布为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎1－p 则ξ的数学期望的最小值是　.‎ ‎[解析]　E(ξ)＝0×＋1×＋2×(1－)＝2－p，‎ 又∵1>≥0,1≥1－p≥0，∴0≤p≤.‎ ‎∴当p＝时，E(ξ)的值最小，E(ξ)＝2－＝.‎ ‎7．(2019·泉州模拟)在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为 .‎ ‎[解析]　‎ η ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎8.从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回任取3件，则取得次品数为ξ的分布列为 .‎ ‎[解析]　‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 设随机变量ξ表示取出次品的个数，则ξ服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3.它的可能的取值为0,1,2，相应的概率依次为 P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.‎ 三、解答题 ‎9．(2019·湖北模拟)随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化．某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于网购，2名倾向于实体店购物，5名女性购物者中有2名倾向于网购，3名倾向于实体店购物．‎ ‎(1)若从这10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少有1名倾向于实体店购物的概率；‎ ‎(2)若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于网购的男性购物者的人数，求X的分布列和数学期望．‎ ‎[解析]　(1)设“随机抽取2名，其中男、女各一名，至少有1名倾向于实体店购物”为事件A，则表示“随机抽取2名，其中男、女各一名，都倾向于网购”，‎ 则P(A)＝1－P()＝1－＝.‎ ‎(2)X所有可能的取值为0,1,2,3，‎ 且P(X＝k)＝，‎ 则P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，‎ P(X＝3)＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎10．(2019·山东临沂模拟)甲、乙两人轮流射击，每人每轮射击一次，先射中者获胜，射击进行到有人获胜或每人都已射击3次时结束．设甲每次射击命中的概率为 ‎，乙每次射击命中的概率为，且每次射击互不影响，约定甲先射击．‎ ‎(1)求甲获胜的概率；‎ ‎(2)求射击结束时甲的射击次数X的分布列和数学期望E(X)．‎ ‎[解析]　(1)记甲第i次射击中获胜的事件为Ai(i＝1,2,3)，‎ 则A1，A2，A3彼此互斥，甲获胜的事件为A1＋A2＋A3，‎ P(A1)＝，P(A2)＝××＝，‎ P(A3)＝()2×()2×＝.‎ 故P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.‎ ‎(2)X的所有可能取值为1,2,3.‎ P(X＝1)＝＋×＝，‎ P(X＝2)＝××＋×××＝，‎ P(X＝3)＝()2×()2×1＝.‎ X的分布列为：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 故E(X)＝1×＋2×＋3×＝.‎ B组能力提升 ‎1．(2019·西安质检)已知随机变量ξ的分布列如下：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P a b c 其中a，b，c成等差数列，则函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点的概率为(　B　)‎ A．　 B．　‎ C．　 D． ‎[解析]　由题意知a，b，c∈[0,1]，且 解得b＝，又函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点，‎ 故对于方程x2＋2x＋ξ＝0，Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，‎ 所以P(ξ＝1)＝.‎ ‎2．(2019·长沙模拟)一只袋内装有m个白球，n－m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，下列概率等于的是(　D　)‎ A．P(X＝3)　 B．P(X≥2)‎ C．P(X≤3)　 D．P(X＝2)‎ ‎[解析]　由超几何分布知P(X＝2)＝，故选D．‎ ‎3．(2019·吉林模拟)已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球，设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P(ξ＝2)＝　.‎ ‎[解析]　P(ξ＝2)＝＝.‎ ‎4．设离散型随机变量X的分布列为 X ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.3‎ m 则|X－1|的分布列为 .‎ ‎[解析]　∵0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3，‎ ‎|X－1|的取值为0,1,2，‎ P(|X－1|＝0)＝P(X＝1)＝0.1，‎ P(|X－1|＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.4，‎ P(|X－1|＝2)＝P(X＝－1)＋P(X＝3)＝0.5，‎ ‎∴|X－1|的分布列为 ‎|X－1|‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0.1‎ ‎0.4‎ ‎0.5‎ ‎5.(2019·海南模拟)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．‎ ‎(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；‎ ‎(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列．‎ ‎[解析]　(1)由题意知，在7张卡片中，编号为3的卡片有2张，故所求概率为P＝1－＝1－＝.‎ ‎(2)由题意知，X的可能取值为1,2,3,4，且 P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，‎ P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.‎ 所以随机变量X的分布列是 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎6.(2019·惠州市调研考试)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其中7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．‎ ‎(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；‎ ‎(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列．‎ ‎[解析]　(1)所求概率P＝＝；‎ ‎(2)X的取值为0,1,2,3，‎ P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，‎ ‎∴随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎7.(2020·重庆巴蜀中学月考)为庆祝新中国成立七十周年，巴蜀中学将举行“歌唱祖国，喜迎国庆”歌咏比赛活动，《歌唱祖国》《精忠报国》《我和我的祖国》等一系列歌曲深受同学们的青睐，高二某班就是否选择《精忠报国》作为本班参赛歌曲进行投票表决，投情况如下表.‎ 小组 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 赞成人数 ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎3‎ 总人数 ‎7‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎(1)若从第1组和第8组的同学中各随机选取两人进行调查，求所选取的4人中至少有2人赞成《精忠报国》作为本班参赛曲目的概率；‎ ‎(2)若从第五组和第七组的同学中各随机选取2进行调查，选取的4人中不赞成《精忠报国》作为本班参赛曲目的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．‎ ‎[解析]　(1)P1＝1－＝.‎ ‎(2)各小组人员情况：‎ 小组 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 赞成人数 ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎3‎ 不赞成人数 ‎3‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 总人数 ‎7‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎6‎ X的可能取值为0,1,2,3,4，且 P(X＝0)＝＝，‎ P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，‎ P(X＝3)＝＝，‎ P(X＝4)＝＝，‎ 随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P E(X)＝0＋＋2×＋3×＋4×＝.‎