【数学】2020届一轮复习（理）课标通用版2-2函数的单调性与最值作业 4页

第二节　函数的单调性与最值 A组　基础题组 ‎1.已知函数f(x)=x‎2‎‎-2x-3‎,则该函数的单调递增区间为(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.(-∞,1] B.[3,+∞)‎ C.(-∞,-1] D.[1,+∞)‎ 答案　B　设t=x2-2x-3,由t≥0得x2-2x-3≥0,解得x≤-1或x≥3.所以函数的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).因为函数t=x2-2x-3的图象的对称轴为直线x=1,所以函数t在(-∞,-1]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增.所以函数f(x)的单调递增区间为[3,+∞).‎ ‎2.定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(x)在(-∞,2)上是增函数,则(　　)‎ A.f(-1)f(3)‎ C.f(-1)=f(3) D.f(0)=f(3)‎ 答案　A　依题意得f(3)=f(1),因为-1<1<2,函数f(x)在(-∞,2)上是增函数,所以f(-1)1‎对任意的x1≠x2都有(x1-x2)[f(x2)-f(x1)]>0成立,则实数a的取值范围是(　　)‎ A.(-∞,3] B.(-∞,3) C.(3,+∞) D.[1,3)‎ 答案　D　由(x1-x2)[f(x2)-f(x1)]>0,得(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,所以函数f(x)在R上单调递减,所以a-3<0,‎‎3(a-3)+2≥-4a,‎解得1≤a<3.故选D.‎ ‎5.函数y=x-x(x≥0)的最大值为　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎4‎ 解析　令t=x,则t≥0,y=t-t2=-t-‎‎1‎‎2‎‎2‎+‎1‎‎4‎,当t=‎1‎‎2‎,即x=‎1‎‎4‎时,ymax=‎1‎‎4‎.‎ ‎6.设函数f(x)=‎1,x>0,‎‎0,x=0,‎‎-1,x<0,‎g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的递减区间是　　　　. ‎ 答案　[0,1)‎ 解析　易知g(x)=x‎2‎‎,x>1,‎‎0,x=1,‎‎-x‎2‎,x<1.‎画出g(x)的图象如图所示,其递减区间是[0,1).‎ ‎7.若函数f(x)=‎1‎x在区间[2,a]上的最大值与最小值的和为‎3‎‎4‎,则a=　　　　. ‎ 答案　4‎ 解析　易知f(x)=‎1‎x在(0,+∞)上是减函数,‎ ‎∵[2,a]⊆(0,+∞),∴f(x)=‎1‎x在[2,a]上也是减函数,‎ ‎∴f(x)max=f(2)=‎1‎‎2‎, f(x)min=f(a)=‎1‎a,‎ ‎∴‎1‎‎2‎+‎1‎a=‎3‎‎4‎,∴a=4.‎ ‎8.已知函数f(x)=‎1‎a-‎1‎x(a>0,x>0).‎ ‎(1)求证: f(x)在(0,+∞)上是增函数;‎ ‎(2)若f(x)在‎1‎‎2‎‎,2‎上的值域是‎1‎‎2‎‎,2‎,求a的值.‎ 解析　(1)证明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x2>x1,则x2-x1>0,x1x2>0,‎ f(x2)-f(x1)=‎1‎a‎-‎‎1‎x‎2‎-‎1‎a‎-‎‎1‎x‎1‎=‎1‎x‎1‎-‎1‎x‎2‎=x‎2‎‎-‎x‎1‎x‎1‎x‎2‎>0,∴f(x2)>f(x1),‎ ‎∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.‎ ‎(2)∵f(x)在‎1‎‎2‎‎,2‎上的值域是‎1‎‎2‎‎,2‎,‎ f(x)在‎1‎‎2‎‎,2‎上单调递增,‎ ‎∴f‎1‎‎2‎=‎1‎‎2‎, f(2)=2.易得a=‎2‎‎5‎.‎ ‎9.判断并证明函数f(x)=ax2+‎1‎x(其中10,20,故f(x2)-f(x1)>0,‎ 即f(x2)>f(x1),‎ 故当a∈(1,3)时, f(x)在[1,2]上单调递增.‎ B组　提升题组 ‎1.(2019山东青岛模拟)若f(x)=-x2+4mx与g(x)=‎2mx+1‎在区间[2,4]上都是减函数,则m的取值范围是(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.(-∞,0)∪(0,1] B.(-1,0)∪(0,1]‎ C.(0,+∞) D.(0,1]‎ 答案　D　函数f(x)=-x2+4mx的图象开口向下,且以直线x=2m为对称轴,若在区间[2,4]上是减函数,则2m≤2,解得m≤1;g(x)=‎2mx+1‎的图象由y=‎2mx的图象向左平移一个单位长度得到,若在区间[2,4]上是减函数,则2m>0,解得m>0.综上可得,m的取值范围是(0,1].故选D.‎ ‎2.(2018甘肃肃南调研)已知函数f(x)=ln x+2x,若f(x2-4)<2,则实数x的取值范围是　　　　　　　　. ‎ 答案　(-‎5‎,-2)∪(2,‎5‎)‎ 解析　因为函数f(x)=ln x+2x在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=ln 1+2=2,所以由f(x2-4)<2得f(x2-4)0),且f(x)在[0,1]上的最小值为g(a),求g(a)的最大值.‎ 解析　f(x)=a-‎‎1‎ax+‎1‎a,‎ 当a>1时,a-‎1‎a>0,‎ 此时f(x)在[0,1]上为增函数,‎ ‎∴g(a)=f(0)=‎1‎a.‎ 当00且f(x)在(1,+∞)上单调递减,求a的取值范围.‎ 解析　(1)证明:任取x1,x2∈(-∞,-2),且x10,x1-x2<0,‎ 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)0,x2-x1>0,又由题意知f(x1)-f(x2)>0,‎ 所以(x1-a)(x2-a)>0在(1,+∞)上恒成立,所以a≤1.‎ 所以0