【数学】2020届一轮复习人教版（理）第3章第7讲解三角形应用举例作业 7页

A组　基础关 ‎1．如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)‎ A．北偏东10° B．北偏西10°‎ C．南偏东80° D．南偏西80°‎ 答案　D 解析　由题意可知∠ACD＝40°，∠DCB＝60°.‎ ‎∵两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，‎ ‎∴CA＝CB，∴∠CAB＝∠CBA.‎ ‎∵∠ACD＝40°，∠DCB＝60°，‎ ‎∴∠CAB＝∠CBA＝×(180°－40°－60°)＝40°.‎ ‎∵∠BCD＝60°，∠CDB＝90°，‎ ‎∴∠CBD＝90°－60°＝30°，‎ ‎∴∠DBA＝40°－30°＝10°.‎ 故灯塔A在灯塔B南偏西80°.‎ ‎2．如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案：①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为(　　)‎ A．①② B．②③ C．①③ D．①②③‎ 答案　D 解析　知两角一边可用正弦定理解三角形，故方案①③可以确定A，B间的距离，知两边及其夹角可用余弦定理解三角形，故方案②可以确定A，B 间的距离．‎ ‎3．(2019·东北三校联考)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　)‎ A．a km B.a km C．2a km D.a km 答案　D 解析　由图可知∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，‎ 在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝a2＋a2－2a2·＝3a2.‎ 所以AB＝a，即灯塔A与灯塔B的距离为a km.‎ ‎4．如图所示，一座建筑物AB的高为(30－10) m，在该建筑物的正东方向有一座通信塔CD.在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为(　　)‎ A．30 m B．60 m C．30 m D．40 m 答案　B 解析　在Rt△ABM中，AM＝＝＝＝20(m)．过点A作AN⊥CD于点N，如图所示．易知∠MAN＝∠AMB＝15°，所以∠MAC＝30°＋15°＝45°.又∠AMC＝180°－15°－60°＝105°，所以∠ACM＝30°.在△AMC中，由正弦定理得＝，解得MC＝40(m)．在Rt△CMD中，CD＝40×sin60°＝60(m)，故通信塔CD的高为60 m.‎ ‎5．如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km以内(含450 km)的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为(　　)‎ A．10 h B．15 h C．10 h D．20 h 答案　B 解析　记现在热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达B点位置，在△OAB中，OA＝600，AB＝20t，∠OAB＝45°，根据余弦定理得OB2＝6002＋400t2－2×600×20t×，令OB2≤4502，即4t2－120t＋1575≤0，解得≤t≤，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为－＝15.‎ ‎6．如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20 n mile的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30 min后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向上，则海轮的速度为________ n mile/min.(　　)‎ A. B. C．3 D．10 答案　A 解析　由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°，‎ 由正弦定理得＝，‎ 所以AC＝＝＝10，‎ 所以海轮航行的速度为＝(n mile/min)．‎ ‎7．如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C处测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于(　　)‎ A．5 B．15 C．5 D．15 答案　D 解析　在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.‎ 由正弦定理得＝，‎ 所以BC＝15.‎ 在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15.‎ ‎8．(2018·惠州调研)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进50 m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得cosθ＝________.‎ 答案　－1‎ 解析　由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°，可得 ‎∠DBA＝135°，∠ADB＝30°.‎ 在△ABD中，根据正弦定理可得 ＝，即＝，‎ 所以BD＝100sin15°＝100×sin(45°－30°)‎ ‎＝25(－)．‎ 在△BCD中，由正弦定理得＝，‎ 即＝，解得sin∠BCD＝－1.‎ 所以cosθ＝cos(∠BCD－90°)＝sin∠BCD＝－1.‎ B组　能力关 ‎1．如图所示，为了了解某海域海底构造，在海平面上取一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB＝50 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝80 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝110 m，则∠DEF的余弦值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　如图所示，作DM∥AC交BE于N，交CF于M，则DF＝＝＝10(m)，DE＝＝＝130(m)，‎ EF＝ ‎＝＝150(m)．‎ 在△DEF中，由余弦定理，得 cos∠DEF＝ ‎＝＝.‎ ‎2．为测出所住小区的面积，某人进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积是(　　)‎ A. km2‎ B. km2‎ C. km2‎ D. km2‎ 答案　D 解析　连接AC，根据余弦定理可得AC＝ km，故△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，故△ADC为等腰三角形，设AD＝DC＝x km，根据余弦定理得x2＋x2＋x2＝3，即x2＝＝3×(2－)，所以所求的面积为×1×＋×3×(2－)×＝＝(km2)．‎ ‎3．(2018·湖北武汉模拟)A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要的时间为________小时．‎ 答案　1‎ 解析　由题意知AB＝5(3＋)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝45°，所以∠ADB＝105°.‎ 在△DAB中，由正弦定理得＝，‎ 所以DB＝＝＝10(海里)．‎ 又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，‎ BC＝20海里，‎ 在△DBC中，由余弦定理得 CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC ‎＝300＋1200－2×10×20×＝900，‎ 所以CD＝30海里，则该救援船到达D点需要的时间 t＝＝1(小时)．‎