【数学】2020届一轮复习人教版（理）第7章第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系作业 7页

A组　基础关 ‎1．如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过(　　)‎ A．点A B．点B C．点C但不过点M D．点C和点M 答案　D 解析　因为M∈AB⊂平面ABC，C∈平面ABC.M∈l⊂β，C∈β，所以γ∩β＝直线CM.‎ ‎2．(2016·山东高考)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b.又a⊂α，b⊂β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．‎ ‎3．(2018·华南师大附中模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是线段BC上的动点，F是线段CD1上的动点，且E，F不重合，则直线AB1与直线EF的位置关系是(　　)‎ A．相交且垂直 B．共面 C．平行 D．异面且垂直 答案　D 解析　如图所示，AB1⊥平面BCD1，EF⊂平面BCD1，故AB1⊥EF且AB1与EF异面．‎ ‎4．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是BD1的中点，直线A1C交平面 AB1D1于点M，则下列结论错误的是(　　)‎ A．A1，M，O三点共线 B．M，O，A1，A四点共面 C．A1，O，C，M四点共面 D．B，B1，O，M四点共面 答案　D 解析　由正方体的性质知，O也是A1C的中点，因此A1，M，O三点共线，又直线与直线外一点确定一个平面，所以B，C中的结论正确．由BB1与A1C异面知D中的结论错误，故选D.‎ ‎5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线(　　)‎ A．不存在 B．有且只有两条 C．有且只有三条 D．有无数条 答案　D 解析　在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点，如图：‎ 所以D正确．‎ ‎6．下列各图是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是(　　)‎ 答案　D 解析　①在A中易证PS∥QR，‎ ‎∴P，Q，R，S四点共面．‎ ‎②在C中易证PQ∥SR，‎ ‎∴P，Q，R，S四点共面．‎ ‎③在D中，∵QR⊂平面ABC，‎ PS∩面ABC＝P且P∉QR，‎ ‎∴直线PS与QR为异面直线．‎ ‎∴P，Q，R，S四点不共面．‎ ‎④在B中P，Q，R，S四点共面，证明如下：‎ 取BC中点N，可证PS，NR交于直线B1C1上一点，∴P，N，R，S四点共面，设为α，‎ 可证PS∥QN，∴P，Q，N，S四点共面，设为β.‎ ‎∵α，β都经过P，N，S三点，∴α与β重合，‎ ‎∴P，Q，R，S四点共面．故选D.‎ ‎7．如图所示，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　)‎ A. B． C. D． 答案　D 解析　连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，设AB＝1，则AA1＝2，A1C1＝，A1B＝BC1＝，故cos∠A1BC1＝＝.故选D.‎ ‎8．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为________．‎ 答案　3‎ 解析　平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面直线的有3对．‎ ‎9．如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB的中点为M，DD′的中点为N，则异面直线B′M与CN所成的角是________．‎ 答案　90°‎ 解析　取AA′的中点Q，连接QN，BQ，且BQ与B′M相交于点H，则QN 綊AD綊BC，从而有四边形NQBC为平行四边形，所以NC∥QB，则有∠B′HB为异面直线B′M与CN所成的角．‎ 又∵B′B＝BA，∠B′BM＝∠BAQ＝90°，BM＝AQ，‎ ‎∴△B′BM≌△BAQ，∴∠MB′B＝∠QBM.而∠B′MB＋∠MB′B＝90°，从而∠B′MB＋∠QBM＝90°，‎ ‎∴∠MHB＝90°.‎ B组　能力关 ‎1．正四棱锥P－ABCD中，四条侧棱长均为2，底面ABCD是正方形，E为PC的中点，若异面直线PA与BE所成的角为45°，则该四棱锥的体积是(　　)‎ A．4 B．2 C． D． 答案　D 解析　如图，连接AC，BD.设AC∩BD＝O，连接PO，OE，∵O，E分别是AC和PC的中点，∴OE∥PA，OE＝PA＝1，则∠BEO即为异面直线PA，BE所成的角，即∠BEO＝45°，‎ 易证PO⊥平面ABCD，OB⊥平面PAC，所以PO⊥OB，△BOE是等腰直角三角形，所以OB＝OE＝1，BC＝，PO＝＝，所以四棱锥的体积V＝×BC2×PO＝×2×＝.‎ ‎2．(2018·西安模拟)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．‎ 答案　②③④‎ 解析　还原成正四面体A－DEF，其中H与N重合，A，B，C三点重合．易知GH与EF异面，BD与MN异面．又△GMH为等边三角形，‎ ‎∴GH与MN成60°角，易证DE⊥AF，MN∥AF，∴MN⊥DE.‎ 因此正确的序号是②③④.‎