【数学】2020届一轮复习人教B版基本不等式及其应用课时作业 7页

‎【课时训练】基本不等式及其应用 一、选择题 ‎1．(2018内蒙古包头模拟)已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是(　　)‎ A．a＋b≥2　　 B．＋≥2‎ C．≥2 D．a2＋b2>2ab ‎【答案】C ‎【解析】因为和同号，所以＝＋≥2.‎ ‎2．(2018郑州外国语学校月考)下列不等式一定成立的是(　　)‎ A．lg>lg x(x>0)‎ B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)‎ C．x2＋1≥2|x|(x∈R)‎ D.>1(x∈R)‎ ‎【答案】C ‎【解析】当x>0时，x2＋≥2·x·＝x，‎ 所以lg≥lg x(x>0)．‎ 故选项A不正确；‎ 运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，‎ 而当x≠kπ，k∈Z时，sin x的正、负不定，‎ 故选项B不正确；‎ 由基本不等式可知，选项C正确；‎ 当x＝0时，有＝1，故选项D不正确．‎ ‎3．(2018汉中一模)“a≥0，b≥‎0”‎是“≥”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】由a≥0，b≥0可得≥，当且仅当a＝b时取等号．反之，若≥，则ab≥0，可得a≥0，b≥0，故选C.‎ ‎4．(2018湖南长沙质检)设x＞0，y＞0，且2x＋y＝6，则9x＋3y有(　　)‎ A．最大值27 B．最小值27‎ C．最大值54 D．最小值54‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为x＞0，y＞0，且2x＋y＝6，所以9x＋3y≥2＝2＝2＝54，当且仅当x＝，y＝3时，9x＋3y有最小值54.故选D.‎ ‎5．(2018杭州一模)若a>0，b>0且a＋b＝7，则＋的最小值为(　　)‎ A． B．1‎ C．　 D． ‎【答案】B ‎【解析】本题考查利用基本不等式求最值．因为b＝7－a，所以 ＋＝＋＝(a＋9－a)·＝≥(4＋1＋4)＝1，当且仅当＝时取得等号，故选B.‎ ‎6．(2018吉林东北师大附中等校联考)函数f(x)＝ax－1－2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx－ny－1＝0上，其中m>0，n>0，则＋的最小值为(　　)‎ A．4 B．5‎ C．6 D．3＋2 ‎【答案】D ‎【解析】由题意，知A(1，－1)，因为点A在直线mx－ny－1＝0上，所以m＋n＝1.所以＋＝(m＋n)＝3＋＋，‎ 因为m>0，n>0，‎ 所以＋＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，‎ 当且仅当＝时，取等号．故选D.‎ ‎7．(2018吉林九校第二次联考)若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值是(　　)‎ A．1 B．6‎ C．9 D．16‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵正数a，b满足＋＝1，∴b＝>0，解得a>1.同理可得 b>1，∴＋＝＋＝＋9(a－1)≥2＝6，当且仅当＝9(a－1)，即a＝时取等号，∴最小值为6.故选B.‎ ‎8．(2018陕西西安模拟)若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx－2在x＝1处有极值，则ab的最大值为(　　)‎ A．2 B．3‎ C．6 D．9‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数f(x)＝4x3－ax2－2bx－2的导数f′(x)＝12x2－2ax－2b，由于函数f(x)＝4x3－ax2－2bx－2在x＝1处有极值，则有f′(1)＝0，即有a＋b＝6(a，b＞0)，由于a＋b≥2，即有ab≤2＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号．故选D.‎ ‎9．(2018东北育才学校模拟) 已知不等式(x＋y)·≥9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)‎ A．2 B．4‎ C．6 D．8‎ ‎【答案】B ‎【解析】(x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2＝(＋1)2(x，y，a>0)，当且仅当y＝x时取等号，所以(x＋y)·的最小值为(＋1)2，于是(＋1)2≥9恒成立，所以a≥4.‎ ‎10．(2018沈阳质量监测)设向量＝(1，－2)，＝(a，－1)， ‎＝(－b,0)(a>0，b>0，O为坐标原点)，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是(　　)‎ A．4　　　　　　 B．　　　　‎ C．8　　　　　 D．9‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵＝－＝(a－1,1)，＝－＝(－b－1,2)，若A，B，C三点共线，则有∥，∴(a－1)×2－1×(－b－1)＝0.∴‎2a＋b＝1.又a>0，b>0，∴＋＝·(‎2a＋b)＝5＋＋≥5＋2 ＝9，当且仅当 即a＝b＝时取等号．‎ ‎11．(2018贵州六校联考)已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－1) B．(－∞，2－1)‎ C．(－1,2－1) D．(－2－1,2－1)‎ ‎【答案】B ‎【解析】由32x－(k＋1)3x＋2>0恒成立，得k＋1<3x＋.∵3x＋≥2，当且仅当3x＝，即x＝log32时，取等号，∴k＋1<2，即k<2－1.‎ ‎12．(2018辽宁五校联考)若直线ax＋by－1＝0(a>0，b>0)过曲线y＝1＋sin πx(00，b>0，由条件，得a2＋b2＝2(a＋b)，∵(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)，当且仅当a＝b时取等号，∴(a＋b)2≤4(a＋b)．∴a＋b≤4.又(a＋b)2－2(a＋b)＝2ab>0，∴a＋b>2.∴20且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线＋－4＝0(m>0，n>0)上，则m＋n的最小值为________．‎ ‎ 【答案】1‎ ‎ 【解析】由题意可知函数y＝loga x＋1的图象恒过定点A(1,1)，∵点A在直线＋－4＝0上，∴＋＝4.∵m>0，n>0，∴m＋n＝(m＋n)＝≥＝‎ ‎1，当且仅当m＝n＝时取等号，∴m＋n的最小值为1.‎