【数学】2020届一轮复习（文理合用）第5章第2讲等差数列及其前n项和作业 6页

对应学生用书[练案 35 理][练案 34 文] 第二讲　等差数列及其前 n 项和 A 组基础巩固 一、选择题 1．数列{2n－1}的前 10 项的和是(　C　) A．120　　　 B．110　　　 C．100　　　 D．10 [解析]　∵数列{2n－1}是以 1 为首项，2 为公差的等差数列， ∴S10＝ (a1＋a10) × 10 2 ＝ (1＋19) × 10 2 ＝100.故选 C． 2．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四 斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金缍，长 5 尺，头部 1 尺， 重 4 斤，尾部 1 尺，重 2 斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多 少斤？”(　D　) A．6 斤　　　 B．7 斤　　　 C．8 斤　　　 D．9 斤 [解析]　设这根金锤从头到尾每一尺的重量构成等差数列{an}，由已知得 a1＝4，a5＝2， 求 a2＋a3＋a4，∵a2＋a3＋a4＝3a3＝3×a1＋a5 2 ＝9，故选 D． 3．设等差数列{an}的公差为 d，且 a1a2＝35,2a4－a6＝7，则 d＝(　C　) A．4　　　 B．3　　　 C．2　　　 D．1 [解析]　∵{an}是等差数列，∴2a4－a6＝a4－2d＝a2＝7，∵a1a2＝35，∴a1＝5，∴d＝a2 －a1＝2，故选 C． 4．在等差数列{an}中，若 a1，a2015 为方程 x2－10x＋16＝0 的两根，则 a2＋a1008＋a2014＝ (　B　) A．10　　　 B．15　　　 C．20　　　 D．40 [解析]　因为 a1，a2015 为方程 x2－10x＋16＝0 的两根，所以 a1＋a2015＝10.由等差数列的 性质可知，a1008＝a1＋a2015 2 ＝5，a2＋a2014＝a1＋a2015＝10，所以 a2＋a1008＋a2014＝10＋5＝15. 故选 B． 5．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S5＝50，S10＝200，则 a10＋a11 的值为(　D　) A．20　　　 B．40　　　 C．60　　　 D．80 [解析]　设等差数列{an}的公差为 d， 由已知得{S5＝5a1＋5 × 4 2 d＝50， S10＝10a1＋10 × 9 2 d＝200， 即{ a1＋2d＝10， a1＋9 2d＝20，解得{a1＝2， d＝4. ∴a10＋a11＝2a1＋19d＝80.故选 D． 6．设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 an＝－2n＋1，则数列{Sn n }的前 11 项和为(　D　) A．－45　　　 B．－50　　　 C．－55　　　 D．－66 [解析]　∵an＝－2n＋1，∴数列{a n}是以－1 为首项，－2 为公差的等差数列，∴Sn＝ n[－1＋(－2n＋1)] 2 ＝－n2，∴Sn n ＝ －n2 n ＝－n，∴数列{Sn n }是以－1 为首项，－1 为公差的等差 数列，∴数列{Sn n }的前 11 项和为 11×(－1)＋11 × 10 2 ×(－1)＝－66，故选 D． 7．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数 列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为(　B　) A．1 升　　　 B．67 66升　　　 C．47 44升　　　 D．37 33升 [解析]　设该等差数列为{an}，公差为 d， 由题意得{a1＋a2＋a3＋a4＝3， a7＋a8＋a9＝4， 即{4a1＋6d＝3， 3a1＋21d＝4， 解得{a1＝13 22， d＝ 7 66. ∴a5＝13 22＋4× 7 66＝67 66.故选 B． 8．等差数列{an}的公差为 d，关于 x 的不等式 dx2＋2a1x≥0 的解集为[0,9]，则使数列{an} 的前 n 项和 Sn 取得最大的正整数 n 的值是(　B　) A．4　　　 B．5　　　 C．6　　　 D．7 [解析]　由 dx2＋2a1x≥0 的解集为[0,9]得，d<0 且 9d＋2a1＝0，∴a1＝－9 2d，Sn＝d 2n2＋ (a1－d 2)n＝d 2n2－5dn＝d 2(n2－10n)，当 n＝5 时，Sn 取得最大值，故选 B． 二、填空题 9．中位数为 1011 的一组数构成等差数列，其末项为 2019，则该数列的首项为 __3___． [解析]　设首项为 a1，则 a1＋2019＝2×1011，解得 a1＝3.故填 3． 10．已知数列{an}中，a1＝1 且 1 an＋1＝ 1 an＋1 3(n∈N*)，则 a10＝　1 4 　． [解析]　由已知得 1 a10＝ 1 a1＋(10－1)×1 3＝1＋3＝4，故 a10＝1 4． 11．记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a3＝0，a6＋a7＝14，则 S7＝__14___． [解析]　解法一：设数列{an}的公差为 d， 则 a6＋a7＝2a3＋7d＝14， 又∵a3＝0，∴d＝2，∴a7＝a3＋4d＝8， 又 a3＝a1＋2d，∴a1＝－4， ∴S7＝7(a1＋a7) 2 ＝7 × (－4＋8) 2 ＝14． 解法二：设数列{an}的公差为 d， 则 a6＋a7＝2a3＋7d＝14，又∵a3＝0， ∴d＝2，∴a4＝a3＋d＝2． ∴S7＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝7a4＝14． 12．在等差数列{an}中，若 S4＝1，S8＝4，则 a17＋a18＋a19＋a20 的值为__9___． [解析]　解法一：∵S4＝1，S8＝4，∴S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12，S20－S16 成首项为 1，公差为 2 的等差数列，∴a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝1＋2×(5－1)＝9． 解法二：由等差数列的性质知{Sn n }是等差数列，且其公差 d＝ S8 8 －S4 4 8－4 ＝ 1 2－1 4 4 ＝ 1 16 ∴S20 20＝S8 8 ＋12d＝1 2＋3 4＝5 4，∴S20＝25，同理 S16＝16，∴a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝ 9． 三、解答题 13．设{an}是等差数列，且 a1＝ln2，a2＋a3＝5ln2． (1)求{an}的通项公式； (2)求 ea1＋ea2＋…＋ean． [解析]　(1)设{an}的公差为 d． 因为 a2＋a3＝5ln2，所以 2a1＋3d＝5ln2． 又 a1＝ln2，所以 d＝ln2． 所以 an＝a1＋(n－1)d＝nln2． (2)因为 ea1＝eln2＝2， ean ean－1＝ean－an－1＝eln2＝2， 所以{ean}是首项为 2，公比为 2 的等比数列． 所以 ea1＋ea2＋…＋ean＝2 × (1－2n) 1－2 ＝2(2n－1)． 14．记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，已知 a1＝－7，S3＝－15． (1)求{an}的通项公式； (2)求 Sn，并求 Sn 的最小值． [解析]　(1)设{an}的公差为 d， 由题意得 3a1＋3d＝－15． 由 a1＝－7 得 d＝2． 所以{an}的通项公式为 an＝2n－9． (2)由(1)得 Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16． 所以当 n＝4 时，Sn 取得最小值，最小值为－16． [方法总结]　求等差数列前 n 项和 Sn 的最值的方法： (1)函数法：利用等差数列前 n 项和的函数表达式 Sn＝an2＋bn(a≠0)，通过配方或借助图 象求二次函数的最值． (2)邻项变号法： ①当 a1>0，d<0 时，满足{am ≥ 0， am＋1 ≤ 0的项数 m 使得 Sn 取得最大值，为 Sm(当 am＋1＝0 时， Sm＋1 也为最大值)； ②当 a1<0，d>0 时，满足{am ≤ 0， am＋1 ≥ 0的项数 m 使得 Sn 取得最小值，为 Sm(当 am＋1＝0 时， Sm＋1 也为最小值)． B 组能力提升 1．已知{ 1 an}是等差数列，且 a1＝1，a4＝4，则 a10＝(　A　) A．－4 5　　　 B．－5 4　　　 C． 4 13　　　 D．13 4 [解析]　由题意，得 1 a1＝1， 1 a4＝1 4，所以等差数列{ 1 an}的公差为 d＝ 1 a4－ 1 a1 3 ＝－1 4，由此可 得 1 an＝1＋(n－1)×(－1 4)＝－n 4＋5 4，因此 1 a10＝－5 4，所以 a10＝－4 5.故选 A． 2．(2018·内蒙古巴彦淖尔一中期中)已知等差数列{a n}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则 a12 的 值是(　A　) A．15　　　 B．30　　　 C．31　　　 D．64 (理)(2018·湖北咸宁联考)等差数列{a n}的前 n 项和为 Sn，若 S2＝3，S5＝10，则{an}的公 差为(　C　) A．2 3　　　 B．1 2　　　 C．1 3　　　 D．1 4 [解析]　(文)解法一：由等差数列性质知 a7＋a9＝a4＋a12，即 16＝1＋a12，∴a12＝15，故 选 A． 解法二：由题意知{2a1＋14d＝16， a1＋3d＝1， 解得{a1＝－17 4 d＝7 4， ∴a12＝a1＋11d＝15.故选 A． 解法三：∵a7＋a9＝16，{an}为等差数列， ∴a8＝8，∵a4，a8，a12 成等差数列， ∴a12＝2a8－a4＝15． (理)由题意知 a1＋a2＝3①，S5＝5(a1＋a5) 2 ＝10，即 a1＋a5＝4②，②－①得 3d＝1，∴d＝ 1 3，故选 C． 3．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S11＝22，则 a3＋a7＋a8＝(　D　) A．18　　　 B．12　　　 C．9　　　 D．6 [解析]　由题意得 S11＝11(a1＋a11) 2 ＝11(2a1＋10d) 2 ＝22，即 a1＋5d＝2，所以 a3＋a7＋a8＝ a1＋2d＋a1＋6d＋a1＋7d＝3(a1＋5d)＝6，故选 D． 4．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则 m＝(　C　) A．3　　　 B．4　　　 C．5　　　 D．6 [解析]　由 Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，得 am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3， 所以等差数列的公差为 d＝am＋1－am＝3－2＝1， 由{ am＝a1＋(m－1)d＝2， Sm＝a1m＋1 2m(m－1)d＝0， 得{ a1＋m－1＝2， a1m＋1 2m(m－1)＝0，解得{a1＝－2， m＝5. 故选 C． 5．(2018·山东五校联考)已知等差数列{a n}为递增数列，其前 3 项的和为－3，前 3 项的 积为 8． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn． (理)(河南省信阳高中、商丘一中 2019 届高三上学期第一次联考(1 月)数学试题)已知数列 {an}的前 n 项和 Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且 an＝bn＋bn＋1． (1)求数列{bn}的通项公式； (2)令 cn＝ (an＋1)n＋1 (bn＋2)n ，求数列{cn}的前 n 项和 Tn． [解析]　(文)(1)设等差数列{an}的公差为 d，d>0， ∵等差数列{an}的前 3 项的和为－3，前 3 项的积为 8， ∴{3a1＋3d＝－3， a1(a1＋d)(a1＋2d)＝8， ∴{a1＝2， d＝－3 或{a1＝－4， d＝3. ∵d>0，∴a1＝－4，d＝3，∴an＝3n－7． (2)∵an＝3n－7，∴a1＝3－7＝－4， ∴Sn＝n(－4＋3n－7) 2 ＝n(3n－11) 2 ． (理)(1)当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5， 当 n＝1 时 a1＝S1＝11，符合上式，所以 an＝6n＋5， 则{a1＝b1＋b2 a2＝b2＋b3，得{b1＝4 d＝3 ， 所以 bn＝3n＋1． (2)由(1)得 cn＝ (an＋1)n＋1 (bn＋2)n ＝3(n＋1)·2n＋1， Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1] 2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]， 两式作差 Tn＝3n·2n＋2．